Исследовательская работа "Построение графиков сложных функций"

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение ………………………………………………………………………с. 3

1. Функциональная зависимость……………………………………………..с. 4

2. Исследование функции для построения её графика и порядок построения графика…………………………………………………………………………….с. 5 – 9

2.1  Область определения (существования) функции……………………….с. 5

2.2  Границы изменения функции. Область плоскости, в которой расположен график……………………………………………………………………………...с. 5

2.3  Чётность и нечётность функции. Симметрия. Периодичность………..с. 5 – 7

2.4  Точки пересечения графика с осями координат.  Интервалы знакопостоянства………………………………………………………………………………..с. 7

2.5  Граничные значения функции…………………………………………...с. 7 – 8

2.6  Максимумы и минимумы функций……………………………………...с. 8

2.7  Нахождение вертикальных и горизонтальных асимптот………………с. 8

2.8  Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба………………………………………………………………………..с. 9

3. Построение графиков сложных функций…………………………………с. 10 – 20

3.1  Графики сложных функций ……………………………………………..с. 10 – 11

3.1.1  y = 2sinx  ………………………………………………………………… с. 11 – 12

3.1.2                     ……………………………………………………………….с. 12

3.1.3   у = sin log0,5| x | …………………………………………………………с. 13

3.1.4  y = arcsin (arcsin x) ……………………………………………………...с. 13

3.2  Графики суммы и разности двух функций……………………………...с. 14

3.2.1   y = x – sinx  ……………………………………………………………..с. 14 – 15

3.2.2   у = arcsin (sin x) - √ х …………………………………………………..с. 16

3.3  Графики произведения и частного двух функций……………………...с. 16

3.3.1. у = x sin x…………………………………………………………………с. 17

3.3.2                   ………………………………………………………………...с. 18

3.4   Графики функций, заданных в неявном виде…………………………..с. 19

3.4.1  sin2(πx) + sin2(πy) = 0 ……………………………………………………с. 19

3.4.2  sin (x + y) = 0 ……………………………………………………………с. 20

Заключение…………………………………………………………………….с. 21

Литература и источники………………………………………………………с. 22

Приложения ……………………………………………………………………с. 23

В В Е Д Е Н И Е

Данная исследовательская работа предназначена для учеников X – IX классов и для лиц, готовящихся к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Этой работой могут пользоваться также студенты тех высших учебных заведений, где после изучения теории пределов и основ аналитической геометрии знание этих разделов закрепляется построением соответствующих графиков.

        Здесь излагается построение графиков средствами элементарной математики на основании исследования функций в той степени, в какой это возможно при пользовании только этими средствами.

        Известно, что методы высшей математики позволяют строить любой график. Однако знания тех элементов высшей математики, которые даются в средней школе, для этой цели недостаточно. С другой стороны, большое количество графиков, иногда весьма интересных, может быть построено средствами исключительно элементарной математики. Построение графиков средствами элементарной математики может служить материалом для закрепления и усовершенствования учениками и абитуриентами своих знаний по многим важным разделам элементарной математики.

         В данной работе основное внимание уделяется выявлению характера изучаемой функциональной зависимости, построению графика должно предшествовать исследование общих свойств заданной функции, нахождение вычислением основных, характерных точек графика и исследование поведения кривых графика на разных участках между этими точками.

        Математическая строгость формулировок в данной работе иногда сознательно приносилась в жертву наглядности и лёгкости понимания нами рассматриваемых вопросов.

3

1. Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н А Я     З А В И С И М О С Т Ь.

        Если две величины, характеризующее какой – либо процесс, изменяется в ходе процесса так, что между изменением одной и другой из этих величин имеется определённая зависимость, то говорят, что между этими величинами существует функциональная связь или функциональная зависимость. Та, переменная величина, которая в данном процессе изменяется независимо от другой величины, называется аргументом. Та же переменная величина, значения которой определяются значениями аргумента, называется функцией.

        Функциональная зависимость записывается символически так:  y = f(x)

и читается:  y есть функция от x (игрек равняется эф от икс). Здесь  x  – аргумент, т. е. независимая переменная,   y  – функция, значение которой зависит от значения x.

Определение. Переменная величина y называется функцией от переменной величины x (аргумента), если каждому допустимому значению x соответствует определённое значение y.

        Всякая функциональная зависимость между двумя величинами может быть изображена плоскостным графиком. Для этого на плоскость наносят оси координат; горизонтальная – ось абсцисс и вертикальная – ось ординат. По оси абсцисс откладываются в некотором масштабе различные значения аргумента  x  –  «абсциссы» различных точек графика, по оси ординат – соответствующие им значения функции  y – « ординаты» тех же точек графика. Каждая пара координат, абсцисса и ордината, даёт одну точку графика.

                График строится по найденным характерным точкам и с учётом выявленных общих свойств функции и поведения кривых графика на различных участках. Для контроля правильности построения графика вычисляют дополнительно координаты одной или нескольких контрольных точек и наносят их на график. Контрольные точки служат также для уточнения кривых графика на отдельных участках.

4

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ЕЁ ГРАФИКА И ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА

1.   Область определения (существования) функции.

Областью определения или областью существования функции называется совокупность всех значений аргумента, для которых функция определена (т.е. существует и имеет действительные значения).

        Совокупность всех точек числовой оси, заключённых между двумя какими-нибудь точками этой оси, называется промежутком.

        Крайние точки промежутка называются концами промежутка.

        Промежуток с включением его концов называется замкнутым или закрытым промежутком, а также отрезком или сегментом.

        Промежуток без включения его концов называется открытым промежутком или интервалом.

        Если один конец присоединяется к промежутку, а другой нет, то такой промежуток, открытый с одной стороны и замкнутый с другой, называется полуоткрытым промежутком или полуинтервалом.

(Из приведённых обозначений общепринятыми являются лишь понятия

 «промежуток», «отрезок» и «сегмент». Понятие «интервал» многими авторами применяется для обозначения всякого промежутка; тогда говорят: «открытый интервал», «закрытый интервал», «полуоткрытый интервал», так же как «закрытый, открытый промежутки».)

2.2    Границы изменения функции. Область плоскости, в которой расположен график.

Построение графиков некоторых функций облегчается, если вслед за областью определения функции найти границы, в которых изменяется сама функция (y), т. е. ввести ограничения по оси y–ов.

        Совместно область определения функции и границы, или интервалы, изменения функции определяют область значения функции (область плоскости), в которой расположен график функции.

2.3    Чётность и нечётность функции. Симметрия. Периодичность.

         Функция называется чётной, если при перемене знака аргумента она не ме-

5

няет своего значения при перемене знака аргумента:   f ( - x ) = f (x)

Функция называется нечётной, если при перемене знака аргумента она меняет свой знак, но сохраняет абсолютную величину (модуль):  f ( - x ) =  - f (x)

        График четной функции симметричен относительно оси y – ов. Например, на графике, изображающем функцию у=kх2,  левая (штрих - пунктирная) и правая ветви графика симметричны относительно оси  у-ов.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, например график функции у=kх3. Примечание. График, изображающий нечетную функцию, будем называть косо симметричным.

Из сказанного видно, что при построении графиков четных и нечетных функций достаточно построить только правую ветвь графика — для положительных значений аргумента. Левая же получится автоматически как симметричная или косо симметричная. Таким образом, четность или нечетность это особое свойство функции, облегчающее построение ее графика.

График получается симметричным относительно горизонтальной оси в том случае, если функция у  входит в четной степени или под знаком модуля, например у2=kх.

Функция называется периодической, если существуют такие  постоянные неравные нулю числа (ω, 2 ω, 3 ω и т.д.), от прибавления которых к аргументу х значение функции не изменяется f(x+k ω) = f(x) при k = +1; +2; +3; …

Наименьшее положительное число ω , от прибавления которого к аргументу не изменяется значение функции, называется периодом функции.

Примеры простейших периодических функций

1) у = sin х — период 2 π.       2) у = соsх—период 2 π..
З) у = tg х—период π              4) у = сtg х—период π.

Период суммы периодических функций равен наименьшему кратному периодов всех слагаемых. При этом не должны учитываться периоды тех подобных членов, сумма которых после приведения обращается в нуль. Например, функция

у = 2 sin 4х+3 sin х + sin(х - π)+2 sin(х + π)

после приведения принимает вид: у = 2 sin 4х,

так как 3sin х + sin (х - π) + 2 sin (х + π)=0.

6

Период заданной функции тот же, что период функции y = 2 sin 4x 

Периоды остальных слагаемых заданной функции не учитываются, так как сумма этих слагаемых тождественно равна нулю.

Функции не обладающие свойствами четности, нечетности и периодичности, будем называть функциями общего вида

2.4  Точки пересечения графика с осями координат. Интервалы знакопостоянства.

Удобнее сначала находить ординаты точек пересечения кривых графика с осью у-ов, т. е. у = (0), так как это производится весьма просто из очевидного условия х = 0. Затем находятся абсциссы точек пересечения кривых графика с осью х-ов, для чего надо приравнять нулю функцию у:  y = f(x) = 0 и из полученного уравнения вычислить х

2.5   Граничные значения функции.

        Значения функции на границах области существования, если промежуток замкнутый, находятся просто подстановкой в уравнение функции граничных значений аргумента.

Если граница промежутка области определения функции открытая, то находится предел функции, когда аргумент стремится к граничному значению:

 lim y

х → а

где а абсцисса открытого конца промежутка.

Иногда функция имеет разные пределы при приближении аргумента к граничному значению слева и справа. В этом случае находятся 2 предела:

  lim y                           lim y

х → а – 0                         х → а + 0  

где а - 0 условно означает приближение слева, а + 0 — справа.

Примечание. Если промежуток изменения функции открытый, то полезно найти предельные значения аргумента, когда функция приближается к границам открытого промежутка:

   lim y

  х → b 

где b — ордината открытой границы промежутка изменения функции. Иногда приходится находить два предела;

7

 lim y                                 lim y  
х → b – 0                                х → b + 0 

т. е. при приближении к границе снизу и сверху.

2.6   Максимумы и минимумы функций. 

         Максимум функции — это ее значение в такой точке, в которой оно является наибольшим в любой, достаточно малой окрестности этой точки.
        Минимум — это значение функции в такой ее точке, в которой оно является наименьшим в любой, достаточно малой окрестности этой точки.

          Максимум (или минимум) функции означает, что функция имеет наибольшее (наименьшее) значение по сравнению с ее значениями в  достаточно близких соседних точках с обеих сторон.

Максимумы и минимумы функции, как это следует из определения, являются вершинами кривой, изображающей функцию.
        В курсе элементарной математики изучаются максимумы и минимумы некоторых тригонометрических функций (синусов и косинусов) и параболических функций, т. е. функций, выраженных квадратным трехчленом  у = ах2 + bх + с (в частных случаях — квадратным двучлен  у = ах2+ с и одночленом  у = ах2).

2.7    Нахождение вертикальных и горизонтальных асимптот.

         Асимптотой называется прямая, к которой неограниченно приближается график, имеющий бесконечную ветвь, при удалении этой ветви в бесконечность.

Асимптоты бывают наклонные, горизонтальные и вертикальные.

         Вертикальные асимптоты обычно проходят через открытый конек области существовании функции.

         Горизонтальные асимптоты обычно проходят через открытый конец интервала изменения функции.

         Поэтому, после того как найдены интервалы области существования и изменения функции, на чертеже через точки, соответствующие концам интервалов, следует провести вертикальные и горизонтальные штриховые прямые.
        Построив асимптоты, можно исследовать, каким образом кривые, изображающие на графике функцию, приближаются к асимптотам

8

2.8    Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость кривых.

Точки перегиба.

         Функция f (х) называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большим значениям аргумента соответствуют и большие значения функции.

         Функция называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции.

         Возрастание в убывание функции обычно довольно просто устанавливается по виду функции.

         Кривую называют выпуклой в некотором промежутке, если в этом промежутке она направлена выпуклостью вверх, т. е. кривая расположена под касательной  к ней в любой точке этого промежутка.

Кривую называют вогнутой в некотором промежутке, если в этом промежутке она направлена вогнутостью вверх, т. е. кривая расположена над касательной к ней в любой точке промежутка.

         Точка графика, в которой меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба. Касательная к кривой в точке перегиба пересекает график.
        Определение направления выпуклости основано на том, что если для любой пары значений аргумента х1 и х2 в каком-либо промежутке выполняется неравенство:    

                             x1 + x2                          f(x1) + f(x2)    ,       то кривая выпуклая

                                  2                             2                    в этом промежутке

                          x1 + x2                              f(x1) + f(x2)              то кривая вогнутая

                               2                                2                      в этом промежутке

9

3.  П О С Т Р О Е Н И Е   Г Р А Ф И К О В   С Л О Ж Н Ы Х   Ф У Н К Ц И Й.

3.1  ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.

Сложной функцией в математике называют функцию от функции, когда функция зависит от аргумента не непосредственно, а через посредство «промежуточной» функции:  

y = f [ φ(х) ].                                             (1)

Здесь функция у зависит от аргумента х не непосредственно, а через посредство «промежуточной» функции  φ (х). Обозначив φ (х) через v, получим:     у = f(v),   где v = φ(х).                                              (1а)

Промежуточную функцию v = φ(х) называют внутренней, а функцию у = f(v) — внешней функцией.

Примеры сложной функции:

           у = sin arccos х,    v = arcos x;  

  у = cos√x,              v=√х.

         Можно себе представить сложную функцию и с большим количеством «ступеней».

Заметим, что термин «сложная» функция в математике не противопоставляется понятию простоты начертания или исследования функции, а указывает на вид, «конструкцию» функциональной зависимости.

Графики сложных функций можно строить, как и графики простых функций, на основании общего исследования функции. Например, функции y = 1/x2 y = 1/x3 , являются в сущности сложными функциями, здесь внутренние функции степенные    v = x2  и v = x3, а внешние — функции, выражающие обратную пропорциональность:    y = 1/v.  

При исследовании сложной функции надо быть особенно внимательным при определении области существовании функции и установлении таких общих свойств функции, как четность, нечетность, периодичность функции, а также при установлении вида графика вблизи границ и на границах области определения функции.

В область существования сложной функции (1) войдут только те значения аргумента из области существования внутренней функции      v = φ (х),  для кото-

10

рых соответствующие значения внутренней функции v, рассматриваемой как ар-

гумент внешней функции, войдут в область определения функции   у = f (v).  Для иных  х  функция (1) не имеет смысла.

Во многих случаях построение графика значительно облегчается, если предварительно вычертить штриховой линией график внутренней функции, а затем построить график заданной функции, полагая ординаты штрихового графика аргументом внешней функции.

Можно рекомендовать также следующие приемы, облегчающие построение графиков сложных функций.

а)  Построить график с помощью вспомогательного (штрихового)
графика внутренней функции, а затем произвести общее исследование функции в порядке проверки.

б) Построить график на основании общего исследования заданной
сложной функции, затем вычертить график внутренней функции с целью проверки характерных точек заданного графика.

в)  Предварительно выявить основные свойства заданной функции (периодичность, четность), облегчающие построение графика, затем построить вспомогательный график внутренней функции и график заданной функции для участка, ограниченного: одним периодом — для периодической функции, правой частью графика — для четной или нечетной функции и т. д.

г) Если график легко строится на основании общего исследования функции, то этим можно и ограничиться, проверив правильность построения одной - двумя контрольными точками.

3.1.1       y = 2sinx

Заданная функция периодическая, с периодом 2π. Поэтому достаточно построить график для одного периода, например для  0 ≤ х ≤ 2π,  как показано на чертеже утолчённой линией.

График внутренней функции  v = sinx  для периода  0 ≤ х ≤ 2π  нанесён штриховой линией. Для того же периода находим характерные точки графика заданной функции.

1)  При  х = 0, π, 2 π      v = sinx = 0;     y = 20 = 1;    точка (0; 1).

11

2)   При х = π/2         v = sinx = 1 ;     у = 21 = 2;     точка (π/2 ; 2)

3) При  х = 3 π/2       v = sinx = - 1;   у = 2-1 = ½ ;    точка (3 π/2 ; ½) .

        По этим точкам на чертеже проведена утолщённая кривая y = 2sinx  для одного периода, а затем тонкой линией – для других значений аргумента.

3.1.2     y =

x є R,   y є [ - 1; 1]

         Вспомогательный график внутренней функции  v = х/20  построен только справа от вертикальной оси, так как заданная функция нечётная. По абсциссам точек, намеченных на вспомогательном графике построена правая ветвь графика. Левая – косо симметрична ей.

12

3.1.3     у = sin log0,5| x |

Функция чётная, так как | - х | = | x |    и  sin log0,5| - x | = sin log0,5| x |. Левая часть графика симметрична правой.

3.1.4     y = arcsin (arcsin x)

Внутренняя функция v = arcsin x

Характерные точки:

1)  при  v = -1    у = arcsin(-1) = - π/2

2)  при  v = 1     у = arcsin 1 = π/2               граничные точки

3)  при  v = 0     у = arcsin 0 = 0

13

3.2    ГРАФИКИ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ФУНКЦИЙ.

Наиболее общий метод построения графиков суммы или разности двух функций заключается в том, что предварительно строятся (штриховыми линиями) два графика для обеих функций, входящих в сумму или разность, затем складываются или вычитаются ординаты этих кривых в характерных точках (пересечение кривых осями координат, максимумы и минимумы, точки перегиба кривых и т. д.). По полученным точкам строится искомый график и производится проверка несколькими контрольными точками.

Если график суммарной функции имеет экстремум (максимум минимум), то нахождение точки экстремума средствами элементарной математики возможно только при наличии каких-либо специальных свойств заданной функции. Упрощающие приемы построения графиков суммы и разности функций:
а) Если дана сумма функций, то строится график одной из них, более простой (например, линейной функции); затем к ней пристраивается  график второй функции, ординаты которого откладываются от соответствующих точек первого графика.
        б) Если задана разность функций, то строится (штриховой линией) график уменьшаемой функции и от нее откладываются ординаты вычитаемой функции, взятые с обратным знаком. Иногда удобно вычертить (штриховой линией) график вычитаемой функции с обратным знаком и ординаты обеих кривых (уменьшаемой функции и вычитаемой с обратным знаком) сложить.
        в) Сумма или разность двух функций преобразовывается в одну функцию, если это возможно и если вычерчивание графика такой функции проще.

г) Построение графика алгебраической суммы функций упрощается, если использовать свойства четности, нечетности периодичности и т. д.

3.2.1     y = x – sinx

1. x є R, y є R
2. f(x) – нечётная, так как f(-x) = – x – sin (–x) = – x + sinx = – f(x)

          T = 2π

3. (0;0) – точка пересечения с осью Оу

14

4. f(x) – принимает положительные значения на (0; + ∞)

                    f(x) – принимает отрицательные значения на (– ∞; 0)

5. f(x) – возрастает на промежутке [ π/2  + 2πn; 3π/2  + 2πn]

          f(x) – убывает на промежутке [– π/2  + 2πn;  π/2  + 2πn]

6. xmin = – π/2  + 2πn
7. xmax = π/2  + 2πn

Имеем две функции:   y1 = x  и  y2 = – sinx

Строим график первой функции, затем от него (а не от оси х – ов ) откладываем ординаты второй функции. Для облегчения построения параллельно прямой y1 = x  проведены две вспомогательные прямые у = х + 1   и у = х – 1. На этих прямых находятся вершины синусоиды.

15

3.2.2    у = arcsin (sin x) - √ х

        Для построения этого графика нам понадобиться построить некоторые вспомогательные графики   у1 = arcsin (sin x);    у2 = √ х ;    у3 = - √ х.

От точек дополнительного графика  (у3) отложены ординаты у1.

Точки А и В – точки, в которых графики функций у1 и у2 пересекаются. Эти точки снесены на ось абсцисс.

3.3  ГРАФИКИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ.

Произведение и частное двух функций поддаются общему исследованию на основании которого и может быть построен график. Часто построение графика упрощается, если предварительно построить вспомогательные графики функций, входящих в произведение или частное.

Иногда произведение или частное возможно преобразовать так, что построение графика преобразованной функции оказывается проще.

16

3.3.1   у = x sin x.

Чтобы построить график данной функции, строятся вспомогательные графики функций, входящих в заданное произведение :  у1 = х ;   у2 = sinx 

Перемножение этих графиков упрощается благодаря тому, что функция     у2 = sinх  периодически принимает значения 0 и 1. В первом случае искомый график у = x sin x  пересекает ось абсцисс, во втором – касается вспомогательной прямой у1 = х.

Так как функция   у2 = sinx периодически принимает ещё значение ( - 1), то построение облегчается, если построить ещё одну вспомогательную прямую:      у3 = - х  (штрих – пунктирная линия).

Для всех х = 2π    n - π/2    заданный график касается этой вспомогательной прямой, так как для этих значений х    sin = - 1.

Данная функция у = хsinх чётная, так как  (-x) sin(-x) = (-x)(- sin x) = xsinx Указанное построение проводится только для правой части графика;  левая часть графика строится затем симметрично правой.

17

3.3.2 

18

3.4  ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ В НЕЯВНОМ ВИДЕ.

        Если переменные  x и y связаны между собой уравнением, не разрешённым относительно y, то говорят функция задана в неявном виде  F(x, y,) = 0, например  xy – xy = 0.

3.4.1   sin2(πx) + sin2(πy) = 0

        Область определения и множество значений заданной функции находятся следующим образом: сумма квадратов двух величин может равняться нулю только тогда, когда каждая из этих величин равна нулю, т.е.:

sin2(πx) = 0    и    sin2(πy) = 0,   или  sin(πx) = 0    и    sin(πy) = 0

Отсюда находим:   πx  = πn     и     πy = πk , где   n и k – любые целые числа.

Сокращая обе части этих уравнений на  π, находим:  x = n  и  y = k, т.е. график функции представляет собой множество точек с любыми целочисленными координатами.

19

3.4.2  sin (x + y) = 0

        Находим:  (х + у) = πn, откуда  у = πn – х, где n – любое целое число.

Следовательно, график заданной функции представляет собой серию параллельных прямых:

20

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

Мы привели примеры небольшого количества графиков, весьма интересных на наш взгляд, построенных средствами исключительно элементарной математики на основании исследования функций в той степени, в какой это возможно.  

Наиболее трудные из этих графиков требуют для своего построения многих разделов элементарной математики, а подчас и остроумного применения этих знаний.

        Изучение исследования функций и построения их графиков в данной работе, нам будет хорошей подготовкой к дальнейшему нашему усвоению методов более полного исследования функций средствами высшей математики.

21

Л И Т Е Р А Т У Р А      И       И С Т О Ч Н И К И

1. Колмагоров А. Н. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений./ Под ред. А. Н. Колмагорова. – М.: Просвещение, 2006.

2. Крамор В.С., Лунгу К.Н., Лунгу А.К.  Математика: Типовые примеры на вступительных экзаменах. – М.: АРКТИ, 2001.

3. Пёрышкин А.В. Физика: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений./ Под ред. Пёрышкин А.В. – М.: Просвещение, 2006.

4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. – М.: Аквариум, 1997

5. Шарыгин И.Ф. факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989

22

П Р И Л О Ж Е Н И Я

Буклеты:

1. «Математическое» влияние на линию жизни.

2. Физическая точка зрения на линию жизни.

3. Мои биоритмы

23