Поговорим о средних

   Проектно-исследовательская олимпиада Красносельского района Санкт-Петербурга

по математике

Исследовательская работа по теме:

«Поговорим о средних»

Выполнила ученица 8 «В» класса

ГБОУ СОШ № 548 Красносельского района

Дудина Дарья

Руководитель исследования:

Учитель высшей категории школы

Шкромада Елена Алексеевна

Санкт-Петербург

2022

Оглавление

1.Введение                                                                                                                          3

2.Цели и задачи работы                                                                                                     4

3. Глава 1. Понятие и виды средних                                                                                5

   1.1. История средних                                                                                                      6

   1.2. Среднее арифметическое                                                                                        7

   1.3.Среднее геометрическое                                                                                          8

   1.4.Среднее гармоническое двух и более чисел                                                          9

   1.5. Средняя квадратическая                                                                                         11

4. Глава 2. Доказательство свойства средних                                                                 12

8. Выводы                                                                                                                           16

9. Использованная литература                                                                                         17

Введение

  Представьте, что вы рассказываете историю о четырех людях, с которыми познакомились в интернете. Одному из них вы бы дали 20 лет, другому — 10, третьему — 40, а четвертому — 60. Что вы скажете об их возрасте в своей истории?

Скорее всего, вы назовете их средний возраст.

Среднее значение часто используется для передачи информации о чем-либо, а также для описания некоего множества измерений. Технически, среднее значение — это то, что математики называют «средним арифметическим» — сумма всех измерений, разделенная на число измерений. Хотя слово «среднее» (average) часто используется как синоним слова «медианное» (median), последним чаще обозначается середина чего-либо. Это слово происходит от латинского «medianus», что значит «середина». Но не среднее арифметическое этих величин.

В своей работе я рассмотрю различные виды средних в решении практических задач, чтобы понять, как часто нам приходиться обращаться к этим величинам, разобраться в целесообразности использования или неиспользования того или иного новшества  нашей жизни.  Для оценки состояния здоровья, окружающей среды, можно ли спрогнозировать последствия разрушений или побед в соревнованиях. Дадут ли представления о средних исчерпывающий ответ на эти и другие вопросы?

Цель работы:  изучить понятия средних величин и показать необходимость этих знаний для применения на практике.

Задачи:

1. Изучить понятия средних величин и их свойств.

2. Показать связь математических величин с другими отраслями деятельности.

3. Исследовать применение средних величин на практике через решение задач.

4. Доказать зависимость средних величин между собой.

5. Изучить специальную литературу по теме исследования.

Объект исследования: средние величины.

Предмет исследования: необходимость знаний средних величин.

Гипотеза: знание средних величин существенно облегчает нам организацию профессиональной и бытовой сфер жизни.

Актуальность изучения темы в современном мире увеличилась в разы в связи с желанием людей контролировать всё: своё питание, вес, здоровье как личное, так и общества в целом. Экономия ресурсов и внедрение новых материалов существенно влияют на наш сегодняшний быт, каждый момент жизни просчитывается и анализируется, информация сводится в статистические базы данных и делаются выводы о целесообразности или доказывается обратное.

Глава 1. Понятие и виды средних

Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой. Если мы говорим об экономике, это может быть товарооборот и рентабельность, если это планирование семейного бюджета, то речь может идти о выгодных кредитах, ипотеке или выгодного планирования отдыха, если спорт – то объективность судейства и т.п.

Говоря простым языком математики - Средняя величина – это своеобразная числовая характеристика множества функций и чисел. Также есть и другое значение: средняя величина – это некоторое число, которое заключено между наибольшим и наименьшим значением.

   Выбор вида средней определяется экономическим или иным содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д. Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при разных значениях степени ш ):

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

 при m = - 1 - средняя гармоническая хгар;

 при m = 0 - средняя геометрическая хг;

 при m =1 - средняя арифметическая х ;

при m =2 - средняя квадратическая хкв ;

при m =3 - средняя кубическая хкуб .

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

1.1.История средних

   Изучение средних величин началось еще в Древней Греции, когда Пифагор и ученики его школы изучали и исследовали пропорции.

Строгого различия между понятиями «средняя величина» и «пропорция» тогда не проводилось. С арифметической точки зрения , значительный толчок в теории пропорций был дан греческими математиками Паппом Александрийским и Никомахом Герасским. Однако нас интересует все-таки средняя величина, а не математическое понятие пропорции. Первым этапом развития «средней величины», как отдельного понятия является этап, когда эта средняя величина стала считаться центральным членом пропорции. Следующим же этапом был переход от непрерывных пропорций к прогрессии – геометрической, арифметической и гармонической.

   Если мы заглянем в истории статистики, то увидим, что широкое употребление такого понятия, как «средние величины» впервые ввел английский математик и ученый Уильям  Петти. Именно он впервые постарался придать средней величине статистический смысл, связав ее, при этом, с экономикой. Однако теория средних величин все-таки связана не с У. Петии, а с другим именем - Адольфом. Кетле, который последовательно стал разрабатывать теорию средних величин, одновременно пытаясь подвести под нее математическую базу, рассматривая наблюдаемые статистикой единичные явления в жизни людей, как проявления законов и считал исследования этих законов единственной задачей достойной статистики как науки.  Поэтому Адольфа Кетле по праву называют родоначальником научной статистики. У А. Кетле было выделено два вида средних величин:

-собственно средние;

-средние арифметические.

   Собственно средние величины представляют число, вещь, которые действительно существуют. С задачами на нахождение среднего арифметического двух и более величин мы знакомились ещё в пятом классе школы. Другие средние пока остаются в поле исследования.

 Новые научные средства почти всегда возникают из необходимости решить определенную задачу в какой-либо дисциплине. Необходимость найти лучшее значение среди множества измерений возникло из потребности точно определить в истории человечества географическое положение или рассчитать понесённые убытки при стихийных бедствиях.

1.2.Среднее арифметическое

   Средней арифметической величиной в математике называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значении признаков отдельных ее единиц. Чтобы вычислить среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. Поставим перед собой задачу выяснить, какой из выбранных предметов в языковой школе для  моего 8 класса является наиболее трудным для изучения и вычислим значение средней арифметической величины обученности класса в полугодии. Для сравнения возьмём показатели окончания полугодия по английскому языку, алгебре, геометрии и истории, химии и физической культуре.

Как видим по результату полугодия самым трудным предметом для ребят  стала- химия, а наиболее лёгкой- физическая культура. Если мы хотим узнать среднюю величину обученности по данной выборке предметов, то надо применить формулу взвешенного среднего арифметического, т.е. такую величину, которая является обобщающим средним арифметическим:

Теперь можно сделать вывод, что первое полугодие класс закончил хорошо. Но есть к чему стремиться.

1.3. Среднее геометрическое

Среднее геометрическое между положительными числами равно корню  n-степени их количества из их произведения.

Среднее геометрическое также известно как среднее пропорциональное, т.к. обладает свойством  (g - геометрическое среднее двух чисел a1 и a2)

Формула для вычисления среднего геометрического выглядит так:

Средняя геометрическая применяется при определении средних относительных изменений. Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения X.

Сферы применения среднего геометрического:

      -    Темпы роста

Среднее геометрическое используется в финансах для расчета средних темпов роста и называется совокупным годовым темпом роста. 

• В доходности портфеля

Среднее геометрическое обычно используется для расчета годовой доходности портфеля ценных бумаг.

• В фондовых индексах и прочее.

Решим задачу 

Рассчитать средний темп роста успеваемости по английскому языку  класса за последние шесть четвертей 2020-22 учебных годов.

То есть можно сделать вывод, что наша успеваемость по языку подтянулась почти в 2 раза.

Иногда расчет таких показателей в отдельно взятом классе может быть очень полезным для спокойствия родителей и использован на родительских собраниях в качестве весомого аргумента успешности.

1.4.Среднее гармоническое двух и более чисел

Средняя гармоническая двух чисел - это величина обратная среднему арифметическому обратных величин к данным, один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел.

Чтобы стало более понятным, решим для наглядности простую задачу на движение.

Задача.

Катер прошёл расстояние в 1 километр по реке из пункта А в пункт В за 2 часа и вернулся обратно за 3 часа. Какова средняя скорость движения катера во время движения?

Решение.

Скорость - эта величина,  равная отношению некоторого расстояния в единицу времени. Если S= 1 км, то v по течению= v собст.катера + v течения  =

                    v против теч.= v собст.катера – v течения  = , сложим

                                           2 v собст.катера =   +       / : 2

                                                                               +      2х2х3

                                              v собст.катетера = -------- = -------- это и есть средняя гармоническая

                                                                                  2           2+3      величина для чисел 2 и 3.        

Если досчитать собственную скорость катера, то v =  = 2,4 (км/час) , но среднее арифметическое чисел 2 и 3 =  = 2,5

Можно сделать первый важный вывод:  2,5> 2,4 т.е.

Среднее арифметическое > Среднего гармонического двух чисел

Применение среднего гармонического в практических задачах

   Расчёты среднего гармонического позволяют определять средние значения затрат как общих так и индивидуальных, например времени и спрогнозировать результативные выводы.

В феврале 2022 года в Пекине стартовали зимние олимпийские игры. По выступлениям наших фигуристов - заслуженных чемпионов мира и Европы, я поняла, что добиться успехов им помогло появление в выступлениях сложнейших технических четверных прыжков, хотя 10 лет назад даже двойные прыжки давались не всем. А что с результатами в лыжных соревнованиях?

Вопрос: были ли улучшены показатели в индивидуальной гонке среди женщин на 15 километров?

Решение. Возьмём результаты золотых чемпионов за 2002 год ( США XIX игры, Солт Лейк Сити), женский скиатлон на 15км, золото у Стефании Бельмондо, результат- 39 мин.54,4 сек.,

2014 год (Россия, Сочи) золото у Марит Вьёрген из Норвегии, результат- 38мин.33,6 сек. Видно, что результат почти за 10 лет мало изменился. Рассчитаем среднее гармоническое по изменению средних скоростей гонки.

     39 мин.54,4 сек = 0,659 час.

    38 мин.33,6 сек = 0,638 час.                                    

                                                                     2х 0,659х0,638

                                                        v ср.=    0,659+ 0,638       = 0,648 ,

                 что соответствует 38 мин 87 сек.

Лучший результат на зимних играх в Пекине для женского скиатлона на 15 км составил 44 мин13,7 сек. Его показала норвежка Тереза Йохауг. Наша Наталья Непряева проиграла ей 30 секунд.  Но среднее геометрическое золотых результатов показал:

vср.= = 22,76 (км/час)    ,  vср.=  = 23,51 (км/час)

      среднее геометрическое   Х =   = 23,13 это темп роста показателей скорости  почти за 10 лет. Видим, что технически мало что может повлиять на скорость спортсмена в этом виде олимпийских игр, но прогресс есть.

Задача.

На доске в лаборатории записаны два числа. Каждый день научный сотрудник Петя стирает оба числа и записывает вместо них произведение их среднего арифметического и среднего гармонического. Найти произведение чисел, которое получит Петя на 1999го дня вечером, если утром первого дня были записаны числа 1 и 2.

Решение. Среднее арифметическое чисел = =

                  Среднее гармоническое чисел =  , произведение средних = 1х2 и не зависит от количества шагов. Ответ : 2. (математическая олимпиада)

Вывод: владение знаниями по средней гармонической, решение сводится к двум шагам) .

Если применять среднюю гармоническую величину нескольких величин, то результат может измениться не в лучшую сторону, в зависимости от того какую величину (большую или меньшую) брать следующей. Это логично для математических расчётов средних величин. Но общий вывод для средней гармонической: позволяет получить результат по довольно скудным условиям задач и упрощает расчёты.

1.5. Средняя квадратическая

   Число равное корню квадратному из среднего арифметического квадратов  данных чисел.

 Средняя квадратическая величина, как самостоятельный вид средних, имеет ограниченное применение.

Задача.

Две нестандартные цилиндрические емкости для хранения нефтепродуктов с диаметрами оснований 2 и 5 м необходимо заменить двумя новыми, равными по объему емкостями с одинаковым в основании диаметром. При расчёте среднего диаметра оснований новых емкостей по способу средней арифметической простой величины, т.е.

полученный результат оказывается заниженным, и по этому диаметру объёмы новых емкостей будут меньше объемов имеющихся емкостей, что не соответствует условию задания. Дело в том, что площади оснований цилиндрических емкостей соотносятся между собой не линейно, а как квадраты их радиусов. Поэтому рассчитывать средний диаметр новых емкостей целесообразно по средней квадратической простой величине:

Таким образом, диаметр оснований новых емкостей должен быть не 3,5, а 3,8 м.

Если же исходные данные представлены в виде изменяющегося ряда, то целесообразно применить способ средней квадратической взвешенной величины. 

Свойство:

 Среднее  квадратическое  набора неотрицательных чисел  лежит между минимальным и максимальным числами из этого набора.

Глава 2. Доказательство свойства средних

Дано: Среднее арифметическое :

            Среднее геометрическое:

             Cреднее гармоническое :    2                                             

                                                         +

            Cредняя квадратическая  

Доказать:    PM= a, QM= b, причем PM> QM>0 (a>b>0)                                                                      

 ( Неравенство Коши : среднее геометрическое небольше среднего арифметического)

https://docs.google.com/presentation/d/1S4XDsNkcrxSf3aa9TIu63sCVHYqgs12Bt120EJnHxXs/edit?

Доказательство:( Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника и свойствами пропорциональных отрезков для прямоугольного треугольника)  

Доказательство алгебраическое

    Доказательство проведём для n=2

1) Левая часть неравенства - среднее геометрическое, правая - среднее арифметическое Пусть (   )

                                    Тогда        

Умножив каждую часть на 2 ,    получим:            и           

Но, так как последнее выражение- это квадрат какого-либо числа , то отсюда вытекает истинность равенства .

Что и требовалось доказать

2)

Докажем для n=2

Получим неравенство в виде :

Решаем его :

И в итоге получим неравенство :

    , а это верно для любых x.

3)

У данного неравенства в левой части среднее арифметическое , а в правой среднее квадратичное .

Докажем для n=2

Упрощаем его:

( мы можем возвести обе части во 2-ю      степень, так как они неотрицательны)  

что верно при всех х .

Выводы

   Исследуя средние величины, я поняла, что они играют не последнюю роль в современной математике, давая простое объяснение при доказательстве сложных практических задач. Но область применения их значительно больше: алгебра, геометрия, математический анализ, физика и астрономия, статистика и теория вероятностей, экономика и  демография страны, здоровье и экология. Я выполнила все заявленные задачи

- представила формулы их расчета и характеристики;

- раскрыла математический смысл средних величин;

- доказала неравенство средних величин;

 -рассмотрела область их применения.

   Выдвинутая гипотеза полностью подтвердилась. Действительно, знание формул и зависимостей  средних величин значительно упрощают решение задач, особенно, где количество исходных данных недостаточно.

Программа по математике общеобразовательной школы включает в себя лишь малую часть понятия средних величин, что свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения. Более подробное знакомство со средними величинами, проведённое в исследовании, позволяет не только расширить кругозор, но и повысить уровень моих знаний в области математики при решении задач, что позволяет по-новому посмотреть на задачи, предлагаемые на экзаменах и олимпиадах.

Используемая литература

1.Джини Коррадо «Средние величины» -М., 1970 .-447с.

2. Измайлова М. О. «Категория "средняя величина" и ее методологическое значение в научном исследовании» / И. Ш. Рахманкулов. - Казань : Издательство Казанского университета, 1982. - 143 с.

3. Мир математики: в 40т. Т.5:  «Секта чисел. Теорема Пифагора» Клауди Альсина./Пер. с англ.яз.- М.:Де Агостини,2014.- 160с.

4.  Г.И. Фалин А.И. Фалин Неравенства для средних. / Г.И. Фалин А.И. Фалин // Издательский Дом «Первое Сентября», 2006, №10, стр.25-36.

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Среднее_значение 

6. https://resh.edu.ru/subject/lesson/24/ Российская электронная школа.Урок 65.

7. https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/folder/90dnt4oo7a/direct/122228300 Основные методы статистики.

8. https://infourok.ru/nauchno-issledovatelskaya-rabota-srednie-velichiny-ih-obosnovanie-i-primenenie-4140404.html