Теорема Пифагора

Ярошенко Варвара Алексеевна

Краснодарский край, Каневской район, станица Каневская

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №4 имени А.С.Пушкина, 9 класс

Теорема Пифагора

Научный руководитель: Михайленко Любовь Александровна, учитель математики МБОУ СОШ № 4 имени А.С.Пушкина

Научно-исследовательская работа

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Аннотация

Данная  работа посвящена исследованию доказательств теоремы Пифагора и её практическому применению  и рациональному использованию в решении задач и в жизни. Эти решения представляют собой познавательный интерес, позволяющий раскрыть математические  способности  человека, его логическое мышление.

В работе использован поисково-исследовательский метод. Описана история возникновения теоремы Пифагора, приведены основные её доказательства. Рассмотрены примеры практического применения в архитектуре.

Использовать рассмотренный мною геометрический материал можно как на уроках геометрии, так и при подготовке к ЕГЭ, а также на элективных курсах и факультативных занятиях математического направления, математическом кружке.

Содержание

I.   ВВЕДЕНИЕ ………………………………………….……..………..3

II.  ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ……………………………………………….. 4  

1. История возникновения……………….………………………..4
2. Основные доказательства……………………………………....4
3. Применение теоремы…………………………………………...10
4. Практическое применение в архитектуре……………………..11

III.  ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………. .13

IV.  СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………….. ..14

1. ВВЕДЕНИЕ  

Какие задачи из элементарной математики считаются самыми трудными? Я считаю, что геометрические.  Почему? Да потому, что в алгебре, тригонометрии (ее основы мы только начали изучать) разработаны целые серии алгоритмов решения типовых задач. Если есть алгоритм, значит, есть программа действий, а потому трудности, если есть, носят чаще всего технический характер – может быть объемные решения, сложные вычисления.

Другое дело — задачи геометрические. Алгоритмов их решения, как правило, нет. Выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из обширного списка теорем не просто. Поэтому основной рецепт: хочешь научиться решать геометрические задачи — решай их!  В ходе прохождения школьной программы по геометрии изучаются базовые теоремы, следствия из них. При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический — когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический — когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный — когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других — алгебраическим.

Но какой бы путь решения не был выбран, успешность его использования зависит от знания теорем и умения применять их.  В решениях геометрических задач я обратила внимание на то, что часто надо использовать теоремы, которые являются базовыми. И решить без них задачу нельзя. Поэтому цель моей работы –    выяснить историю создания  теоремы Пифагора, исследовать доказательства этой теоремы и показать её применение в решении задач и практическое применение в жизни.  

II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. История возникновения

               Исторический обзор начнем с древнего Китая. Особое внимание здесь нужно обратить на формулировку теоремы:

 "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

               Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку".

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

2.Основные доказательства.

Доказательство Евклида

Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом.

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АСКG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD

РFBC = d + РABC = РABD

Но

SABD = 1/2 S BJLD,

так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

SFBC=1\2S ABFH

(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что

SABD=SFBC,

имеем

SBJLD=SABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что

SJCEL=SACKG.

Итак,

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

что и требовалось доказать.

Доказательство Хоукинсa.

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ.

Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2

SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

Доказательство Вальдхейма.

Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.

Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Рис.1        Рис.2

Sтрапеции=(a+b)²/2                

Sтрапеции=a²b²+c²/2

При равнивая правые части получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

Доказательство индийского математика Басхары изображено на рисунке. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!".

Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:

c²=4ab/2+(a-b)²

c=2ab+a²-2ab+b²

c²=a²+b²

Теорема доказана.

Луночки Гиппократа

Для того, чтобы доказать теорему о гиппократовых луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa, Fb, Fc, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb=Fc.

Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из теории подобия:площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Если через Fa, Fb, Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a, b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:

Fa/Fb/Fc=a²/b²/c².

Эта пропорция означает,что можно найти число k (коэффицент пропорциональности) такое, что

Fa=ka² Fb=kb² Fc=kc².

Умножив обе части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим:

Fa+Fb=Fc.

Если равенство Fa+Fb=Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то

ka²+kb²=kc²

(где k имеет какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников, - нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что

а²+b²=с²,

а это влечет за собой тот факт,что равенство Fa+Fb=Fc выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.

Познакомимся с одним интересным предложением, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о Гиппократовых луночках.

Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам:

"Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла." Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.

Опишем две полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Пусть Ка,Кв,Кс- площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, рассмотренной ранее, имеем:

Ка+Кb=Кс.

Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства

А²+В²=С² на π/8.

В самом деле, равенство

(π/8)А+(π/8)В=(π/8)С

означает, что площадь полукруга С диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b. Если мы отнимем те же части(на рисунке они не заштрихованы )как от полукруга, построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.

      Векторное доказательство

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b+c=a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе части в квадрат, получим

c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

c²=a²+b² или c²=a²+b²

Нами снова доказана теорема Пифагора.

Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

3. Применение теоремы

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна 2а). Отсюда имеем

d=a+(2a), d=3a, d=3a.

Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение

d = a + b + c.

        Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду).

Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды).
Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата ???(1/2*2a). Вследствие этого имеем:

s=h+(1/2)a.

Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней.

h1= h+(1/4)a.

4. Практическое применение теоремы в архитектуре.

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

1. ширине окна (b) для наружных дуг
2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг.

Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.

Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)

или

b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p,

откуда

bp/2=b/4-bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

III.  ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование планиметрических задач с применением теоремы Пифагора на этом мною не заканчиваются. Я еще не исследовала такой большой раздел геометрии, в котором  изучается пространственная теорема Пифагора и задачи, решаемые с её помощью. Кроме того, предстоит рассмотреть физические задачи, в которых применяется геометрический материал.  Решение подобных задач способствует развитию логического мышления, умению анализировать ситуацию, использованию и апробированию разных методов их решения, повышая тем самым свою математическую культуру, геометрический кругозор.

Использовать рассмотренный мною геометрический материал можно как на уроках геометрии, так и при подготовке к ЕГЭ, а также на элективных курсах и факультативных занятиях математического направления, математическом кружке.

Список используемой литературы

1. Атанасян Л.С и др. Учебник для общеобразовательных учреждений по геометрии 7-9 классы-М: Просвещение, 2013.
2. Александров А.Д и Нецветаев Н.Ю. Геометрия – М:Наука,1990.
3. Лященко Т.В.  Планиметрия. Методическое пособие для учащихся подготовительных курсов ЦДП ТРТУ и лицея ТРТУ. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001
4. Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. - М.: АСТ-Пресс, 2001.