Квадратное уравнение и способы его решения

МКОУ «Плодовитенская средняя общеобразовательная школа»

Школьная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Квадратное уравнение и способы его решения

Выполнила: Забегалова София, ученица 8 класса

МКОУ «Плодовитенская СОШ»

Руководитель: Дорджиева С.Б., учитель математики

2022 год

Оглавление

I.Введение………………………………………………………………………1

II.История развития квадратных уравнений……………………………………2

1. Квадратные уравнения в Древнем Египте………………………………2
2. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………2
3. Как составлял и решал квадратные уравнения греческий математик Диофант…………………………………………………………………….3
4. Квадратные уравнения в Древней Индии……………………………….4
5. Квадратные уравнения у аль – Хорезми…………………………………5
6. Квадратные уравнения в Европе…………………………………………6

III.Способы решения квадратных уравнений………………………………….7

IV. Заключение…………………………………………………………………..13

V. Список литературы…………………………………………………………..14

Введение

       Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи.

          Еще в древности  необходимость решать уравнения второй степени была вызвана  потребностью  решать  задачи,  связанные  с нахождением  площадей   земельных  участков  и  с  земляными   работами военного характера, а также  с  развитием  астрономии  и  самой  математики. Квадратные  уравнения  умели  решать около  2000  лет  до н. э., тем интереснее история их развития, интересны также способы их  решения.

          Являясь современным учеником, ты понимаешь, каким запасом знаний, накопленным нашими предками, ты обладаешь сегодня.

    В школьном курсе алгебры мы решали квадратные уравнения: выделением квадрата двучлена, с помощью «строгих» формул корней квадратного уравнения. А ведь имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. И они более интересны и красивы. Свою исследовательскую работу я посвятила истории развития квадратных уравнений и рассмотрела способы их решения.

I.История развития квадратных уравнений.

       1.Квадратные уравнения в Древнем Египте./слайд 2/

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а   длины равны ширине». Рассмотрим эту задачу. Пусть х – длина поля. Тогда  х – его ширина,   S =х2 – площадь. Получается квадратное уравнение:   х2 = 12.

В папирусе дано правило для его решения: «Разделим 12 на »

Итак, х2 = 16.   «Длина поля равна 4», - указано в папирусе.

2. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне./слайд 3/

           Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности  была вызвана  потребностью  решать  задачи,  связанные  с нахождением  площадей   земельных  участков  и  с  земляными   работами военного характера, а также  с  развитием  астрономии  и  самой  математики. Квадратные  уравнения  умели  решать около  2000  лет  до н. э.  вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую  запись,  можно  сказать, что  в  их клинописных текстах встречаются, кроме неполных,  и такие, например, полные квадратные уравнения:

х2 + х = ;  х2 – х = 14,5.

       Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа  и общие методы решения квадратных уравнений.

3.Как составлял и решал  квадратные уравнения греческий математик Диофант /слайд 4/

            В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Рассмотрим одну из его задач: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение  96»

    Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:   (10 + х)(10 - х) = 96,

                                     100 - х2 = 96,

                                     х2 - 4 = 0.                                             

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

        Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения:

                                            у(20 - у) = 96,

                                            у2 - 20у + 96 = 0

        Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

4. Квадратные уравнения в Индии./слайд 5/

       Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

                    ах2 + bх = с, а > 0.                                  (1)

       В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

       В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких  соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

      Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

 «Обезьянок резвых стая                        А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась.              Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая                 Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась.                         Ты скажи мне, в этой стае?»

               Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее решение  уравнения: + 12 = x.  Бхаскара записывает в виде:     х2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32)2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х1 = 16,  х2 = 48.

5. Квадратные уравнения у аль – Хорезми./слайд 6/

IX – XIIв. – это расцвет науки в арабоязычных странах. Арабский язык

стал языком науки. Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в.Мухаммеда бен Мусы аль – Хорезми. Слово «аль –джебр» из арабского названия этого трактата «Китаб аль – джебр валь – мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем  превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль – Хорезми стало отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Восстановлением («аль – джебр»)  аль – Хорезми называл операцию исключения из обеих частей уравнения отрицательных членов путем добавления равных членов, но противоположных по знаку. Противопоставление («аль – мукабала») – сокращение в частях уравнения одинаковых членов.   /слайд 7/

           В алгебраическом трактате аль - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

 1) «Квадраты равны корням», т.е.  ах2 = bх.

 2) «Квадраты равны числу», т.е.  ах2 = с.

 3) «Корни равны числу», т.е.  ах = с.

 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е.  ах2 + с = bх.

 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.  bx + с = ах2.  

       Для аль - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами «аль – джебр» и «аль – мукабала». Его решения уравнений, конечно, не совпадают полностью с нашим (уже не говоря о том, что они чисто риторические). Следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида аль - Хорезми,  как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому,  что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

        Приведем пример:

Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень.  (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: Раздели пополам число корней, получишь  5,  умножь  5 на  само  себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

        Трактат аль - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты аль – Хорезми были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVIв. алгебру в Европе называли искусством алгебры и мукабалы. Унаследованное от восточных математиков учение о линейных и квадратных уравнениях стало основой развития алгебры в Европе.

6. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв./слайд 8/

        Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.  Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

        Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с  было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

       Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

II.Способы решения квадратных уравнений.

1 способ:  Разложение левой части уравнения на множители./слайд 9/

Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

 Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0

          Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения  х2 + 10х - 24 = 0.

2 способ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета./слайд 10/

Приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + q = 0.                        (1)

По  теореме Виета:         x1 x2 = q,

                                          x1 + x2 = - p.

     Отсюда можно сделать следующие выводы: (по коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней).

     а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависит  от второго коэффициента p. Если р  0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

      Например,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2  и  x2 = 1, так как q = 2 > 0 и  p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7  и  x2 = - 1,  так как q = 7 > 0  и  p= 8 > 0.

       б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

      Например,

x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1,  так как  q= - 5 < 0  и  p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1  = 9  и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0  и p = - 8 < 0.

3 способ: Решение  с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения./слайд 11/

а) Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если  а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,

х2 =.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + x +  = 0.

 Согласно теореме Виета:

x1 + x2 = - ,

                                                        x1x2 = 1• .

2)Если  а – b +  с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

   x1 + x2 = -  = -  -1 –  ,

                                             x1x2  = - 1• (-  ),

т.е. х1 = -1 и х2 = - ,  что и требовалось доказать.

3) Если a = c, b = a2 + 1, то один корень уравнения x = - a, а второй x = - .

4) Если a = c, b = -(a2 + 1), то один корень уравнения x = a, а  второй  x = .

  Примеры:

Решим уравнение: 345х2 – 137х – 208 = 0.

Так как а + b + с = 0, (345 – 137 – 208 = 0), то   х1 = 1,      х2 =  = - .

2)Решим уравнение: 3х2 + 10х +3 = 0. 

Так как a = c,b = a2 + 1(3=3, b = 32+1= 10), то х1 = - 3, х2 = - .

5) Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

х =   можно записать в виде :  х =

Решим уравнение: 3х2 — 14х + 16 = 0.

Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D1 = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0.

 х =  = ;   х1=  ,   х2=2.

4 способ:  Графическое решение квадратного уравнения. /слайд 12/

Если в уравнении     х2 +  px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим:  х2 = - px - q.

 Построим графики функций:  у = х2   и   у = - px - q.

     График первой функции - парабола, проходящая через начало координат. График второй функции -

прямая (рис.1).

 Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

 абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры:/слайд 13/

1) Решим графически уравнение: х2 - 3х - 4 = 0 

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. (рис.2) Прямую у = 3х + 4  можно  построить по двум точкам

 М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2  = 4. Ответ: х1 = - 1;  х2  = 4

. /слайд 14/

2) Решим графически уравнение: х2 - 2х + 1 = 0. 

Решение. Запишем уравнение в виде  х2 = 2х - 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 1.(рис.3)

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N(1/2; 0).  Прямая и парабола пересекаются в точке

 А с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение:  х2 - 2х + 5 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х – 5. (рис.4) Прямую

у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. корней нет.        

5 способ:  Решение квадратных уравнений с помощью номограммы./слайд 15/

      Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный  на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

      Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. 

     Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.11): OB = ,   AB =

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из

подобия   треугольников  САН  и  CDF получим

пропорцию:  = ,

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение  z2 + pz + q = 0,

причем буква   z   означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры: /слайд 16/

1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0  и  z2 = 1,0 (рис.12). 

2) Решим  с  помощью  номограммы   уравнение 2z2 - 9z + 2 = 0.

Разделим  коэффициенты  этого уравнения на 2, получим уравнение

z2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q  выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0,

 которое решаем посредством номограммы и получим  t1 = 0,6  и  t2 = 4,4,  откуда z1 = 5t1 = 3,0  и z2 = 5t2 = 22,0.

        Номограмма дает значения положительных корней уравнения z2 + pz + q = 0. Если это уравнение имеет корни разных знаков то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из – p.В случае, когда оба корня отрицательны, берут z = - t и находят по номограмме два положительных корня t1 и t2 уравнения t2 – pt + q = 0, а затем z1 = - t1, z2 = - t2. Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z = kt и решают посредством номограммы уравнение t2 + t +  = 0, где k берется с таким расчетом,  чтобы имели место неравенства: - 12,6   +12,6.

6 способ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

      В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» аль - Хорезми.

Пример:/слайд 17/

      1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

      В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

      Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники  так,  что  другая  сторона   каждого   из   них    равна  2,5, следовательно,  площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в  углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

      Площадь  S  квадрата  ABCD  можно  представить  как сумму  площадей: первоначального  квадрата   х2,  четырех  прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S =  39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - – 2 = 3./слайд 18/

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у - 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где  у2 + 6у = 16, или  у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Выражения  у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис.16).

Заключение /слайд 19/

          На примере истории развития квадратного уравнения мы убедились в том, насколько велика роль науки, в частности математики, в развитии человеческого общества, ведь для науки нет понятий границ, наций и эпох. Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Они находят широкое применение при решении многих уравнений и неравенств.

У.Сойер в свое время говорил: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

В своей работе  я рассмотрела решение квадратного уравнения различными способами. Так как эти способы решения просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать учащихся, увлеченных  математикой.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

5. «Математика –ПС» - № 8, 2003г.