Исследование способов решения линейных уравнений с параметрами, содержащих вложенные модули

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение

Иройская СОШ

Районная научно исследовательская конференция школьников «Шаг в будущее»

Секция «Алгебра»

Исследование способов решения линейных уравнений

с параметрами, содержащих вложенные модули

Исполнитель Сунгурапова С., учащияся 8 класса

Руководитель Чултумова И.Н., учитель математики

высшей  категории

                                                                2017 г

Оглавление

       Введение                                                                                                                3

1. Понятие модуля в математике……………………………………………. 4
2. Свойства модуля……………………………………………………………4
3. Решение линейных уравнений с модулем. Вложенные модули………  5
4. Понятие  параметра в математике…………………………………………5

      4.1. Решение линейных  уравнений с параметрами……………………………6

5. Различные способы решения уравнений с модулем,

 содержащих параметр…………………………………………………………..        9

6. Уравнения с параметрами на итоговой аттестации, ЕГЭ………………  12

Заключение ……………………………………………………………………..          13

Список литературы ……………………………………………………………..         15

Приложение………………………………………………………………………        16

Введение

Исследование многих процессов в жизни осуществляется с использованием параметров. Например, состояние больного терапевт определяет с помощью параметров температуры, давления. Для оценки состояния спортсмена в качестве параметра используется частота сердечных сокращений. Но  ни в энциклопедии элементарной математики, ни государственном образовательном стандарте нет понятия «уравнение  с параметром», не представлены методы их решения.

В школьных учебниках есть  задания с параметрами, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса; способы, приемы или методы решения не рассматриваются.  Задания относятся к заданиям повышенного уровня сложности, часто они приводятся без решения.

При этом часто нужно просто применить свой здравый смысл и потренироваться на простых задачах, тогда решать задачи с параметром станет пусть не всегда легко, но возможно. На решение таких заданий отводится незначительное количество времени. Задания с параметрами включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ. Отсюда актуальность этой проблемы обусловлена не столько потребностями Государственной итоговой аттестации, сколько необходимостью создания целостной методики обучения, включающей обеспечение развития у школьников продуктивного уровня усвоения учебного материала по многим темам, в частности, по решению уравнений с параметрами.

 Объект  исследования: изучение различных способов решения линейных уравнений с параметрами, содержащих вложенные модули.

 Предмет исследования: линейные уравнения с параметрами,  содержащие вложенные модули.

Цель работы: рассмотреть типовые способы решения уравнений с модулем и показать их использование при решений уравнений с модулем, содержащих параметры.

Задачи исследования: изучить исторический и теоретический материалы по интересующему вопросу; рассмотреть известные определения модуля числа, типовые способы решения задач с модулем и показать использование этих знаний при решении уравнений с модулем, содержащих параметры,  выявить практическое применение таких задач.

 Практическая значимость работы.  Данный способ решения линейных уравнений с параметрами, содержащих вложенные модули будет интересен  выпускникам 9 и  11 класса, которым нужно сдать ЕГЭ и ОГЭ.

1. Понятие модуля в математике

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках. Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

 Существует следующие определения понятия модуля.

Определение 1. Модулем числа а называется само число, если оно не отрицательно и  ему противоположное, если число отрицательное.

                             |a|=a, если а≥0,

                             |a|=-a, если а<0.

Определение 2. Модулем называется расстояние от начало координат до соответствующей числу а точки на числовой прямой.

2.  Свойства модуля.

Свойство 1. Модули противоположных чисел равны, т.е. для всех        |a| = |-a|.

Свойство 2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа, т.е. для всех а

                               √|а|² = а²

Свойство 3. Арифметический корень из квадрата любого числа есть модуль этого числа, т.е.              √а² = |a|

Свойство 4. Модуль любого числа есть число неотрицательное, т.е. для всех а                                 |a|≥0

Свойство 5. Модуль числа не меньше этого числа, т.е. для всех а               |a|≥a.

Свойство 6.Модуль числа а равен максимальному из противоположных чисел а и –а .

                                |a| = -max (a;-a).

Свойство 7. Модуль числа равен расстоянию на числовой оси от начала отсчета до данного числа, т.е. для любого а            |a| =  (o; a). 

3. Решение линейных уравнений с модулем. Вложенные модули.

Распространенными примерами с модулями является линейное уравнение типа модуль в модуле.  Двойной модуль можно записать в виде формулы  ||ax-b|-c|=kx+m. 
Если k=0 то такое уравнение с модулем легче решать графическим методом. Классическое  раскрытие модулей в таких ситуациях громоздкое и не всегда  дает желаемого эффекта. Графический метод позволяет за короткое время выполнить построение модульных функций и найти количество корней уравнения.

Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

Методы решения уравнений с модулем:

1.По определению модуля - «снятие модуля». Решение происходит на основе определения.

2.Аналитический метод - решение уравнений с использованием преобразований выражений, входящих в уравнение  и свойств модуля.

3.Метод интервалов: раскрытие модуля на интервалах и полуинтервалах, образованными «нулями» модулей.

         4.Графический метод. Суть  этого способа  заключается в том, чтобы  построить графики данных функций, представляющих левую и правую часть уравнения. В случае, если графики пересекутся, то абсциссы  точек пересечений данных графиков  будут являться  корнями  данного уравнения.

Методы построения графиков функции с модулем:

По определению. Строятся две прямые у=кх+в, где х>0, у=-кх+в, где х <0

Метод симметрии. Строится график у=кх+в, при х>0.

Часть прямой при х <0 отображается относительно оси абцисс.

Преобразование функций:

         а) у=|x|+n график сдвигается вверх по оси ординат на в единиц

         б) у=|x|-n график сдвигается вниз по оси ординат

         с) у=|x+n| график сдвигается влево по оси абсцисс

         d )у=|x-n|  график сдвигается вправо по оси абсцисс

 Алгоритм построения двойного, тройного модуля достаточно прост и из приведенных ниже примеров понравится многим

Пример 1.  Решить уравнение ||x-3|-5|=3. 

I способ: Аналитический

1. Найдем нуль внутри модуля  x-3=0 ; х=3
2. Раскроем внутренний модуль при  x>3

 |x-3-5|=3; |x-8|=3:

 а) х-8=3 ; х=11;       б) при х<8 : -(х-8)=3 ; -х+8=3; -х=-5; х=5.

3.  Раскроем внутренний модуль при х<3

|-(x-3)-5|=3 ; |-x+3-5|=3 |-x-2|=3

а) –х-2=3 ; -х=5 ; х=5; б) -(-х-2)=3 ; х+2=3 ; х=1

Ответ: -5; 1; 5; 11

II способ: Графический        

1) Построим  график функций : 1) y=|x| ; 2) y=|x-3| ; 3) y=|x-3|-5 ; 4) y=||x-3|-5|

2) Построим график y=3

3) Найдем точки пересечения

      Преимущество графического метода над раскрытием модулей для простых уравнений очевидно. Однако графически неудобно искать корни, когда правая сторона имеет вид kx+m, то есть является прямой наклоненной к  оси абсцисс под углом.
 

4.  Понятие  параметра в математике

Толковый словарь определяет  параметр как величину, характеризующую              какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или  явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю.  Толковый словарь русского языка. Москва. 1999).

    Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, возьмем за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

 Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.       

     Параметр (от греческого parametron – отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.  Например, уравнение у = kx c параметром k определяет множество прямых, проходящих через начало координат. Уравнение  (х – а)2 + (у – b)2 = 25  с параметрами   а,b   определяет множество окружностей радиуса 5.

 Что означает «решить задачу с параметром»?

Решить уравнение с параметром - это значит, на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающегося из данного уравнения при всех действительных значениях параметра.

1.    Решение линейных  уравнений с параметрами.

      Уравнение F(a, х) = 0 с двумя переменными а и х называется уравнением с параметром а и переменной х, если для каждого значения переменной а необходимо решить соответствующее уравнение с переменной х.

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, поиск решений линейных  уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

      Класс линейных уравнений с параметром выделяется с помощью двух характеристик:

1. В уравнении переменная х находится в первой степени;

2. При помощи равносильных преобразований на области допустимых значений параметра уравнение приводится к стандартному виду

f(a)·x + g(a) = 0.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметрами

1. Найти область допустимых значений параметра.
2. Привести уравнение к стандартному виду.
3. Найти контрольные значения параметра.
4. Для контрольных значений параметра решить частные уравнения .

Для остальных значений параметра найти общие решения по формуле      

5. Записать ответ.

В зависимости от вида уравнения некоторые пункты алгоритма могут быть опущены.

Пример 1. Решить уравнение 2а(а – 2) · х = а – 2, если а - параметр.

1. Область допустимых значений параметра – вся числовая прямая.
2. Приведем уравнение к виду 2а(а – 2) · х –  а + 2 = 0.
3. Контрольными являются те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в нуль. Такими значениями будут  а = 0 и а = 2.
4. Если а = 0, то уравнение примет вид 0 ·  х = - 2. Это уравнение не имеет корней.

Если а = 2, то уравнение примет вид 0 · х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

5. Если а ≠  0  и а  ≠ 2, то      ,  

Ответ: если а = 0, то корней нет;             если а = 2, то х – любое действительное число;

             если а ≠  0  и а  ≠ 2, то    .

5. Различные способы решения уравнений с модулем, содержащих параметр. Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

     Решение уравнения  может включать в себя несколько методов решения, соответствующих каждому виду уравнения при определенных значениях параметра. Например, при каком-то значении параметра уравнение линейное, поэтому решаем его аналитически тождественными преобразованиями; при остальных значениях параметра уравнение квадратичное, – решаем его функционально-графическим способом.

Пример 2. |ax-1|=2

Решение уравнения с помощью определения модуля.

1)    Если а=0, то уравнение примет вид |-1|=2 – неверное равенство, значит уравнение не имеет корней.

2)    Если а≠0, то уравнение имеет два корня.                                                                          

       а)ax-1=2            б)ax-1=-2

                ax=3                   ax=-1

                x=3/a                   x=-1/a

Пример 3.|x-1|+|x-3|=a

1 способ:  Графический.

Построим график функции y=|x-1|+|x-3|

x≤1                   1≤x≤3                  x≥3

y=1-x+3-x = -2х+4        y=x-1+3-x=2      y=x-1+x-3=2x-4

график

Если а<2, то ломанная и прямая y=a не пересекаются.

Если а=2, то ломанная и прямая y=a совпадают 1≤x≤3.

Если а>2, то ломанная и прямая y=a имеют две точки пересечения. Абциссу одной из них можно найти из уравнения 4-2x=a, откуда x=(4-a)/2. Абциссу другой точки пересечения можно найти из уравнения 2x-4=a, откуда x=(a+4)/2. 

2 способ :  Метод интервалов.

|x-1|+|x-3| = a

x≤1                    1≤x≤3              x≥3

1-x+3-x = a       x-1+3-x = a      x-1+x-3 = a

4-2x = a             2 = a                 2x-4 = a

-2x = a-4           x [1; 3]              x = (a+4)/2

x = (a-4)/-2

x = (4-a)/2

Ответ.x = (4-a)/2, x [1; 3], x = (a+4)/2.

    Пример 1. Найти все значения р, при которых уравнение |x-3|+|x-4|=p имеет  1 корень, 2 корня, не имеет  корней.

Решение:

1)y=|x-3|+|x-4|; y=p

y=|x-3|+|x-4|

Метод промежутков: x-3=0    ;    x-4=0

                                     x=3             x=4

(–∞ ;3)  : y=-(x-3)-(x-4)=-x+3-x+4=-2x+7

[3;4]  :  y=|x-3|+|x-4|=1

(4;+ ∞) : y=(x-3)+(x-4)=2x-7

Ответ: p=1, 1 корень ; р>1, 2 корня; р<1, нет

корней

Пример 2. При каком значении параметра a уравнение с модулем

|||x+1|-2|-5|=a имеет 5 решений? 
Решение: Имеем уравнение с тремя вложенными модулями. Найдем ответ с графического анализа. Начнем, как всегда, из внутреннего модуля. Он обращается в нуль
|x+1|=0 x=-1 в точке x=-1. Строим график модуль функции в этой точке

Далее график опускаем вниз на двойку и отрицательные значения (y< 0)симметрично переносим  вверх. Получим график функции y=||x+1|-2|

Повторно выполним смещение графика модуль функции вниз на 5 и симметрично переносим отрицательные значения функции. В результате получим левую сторону уравнения с модулями
y=|||x+1|-2|-5|.

Параметр а соответствует значению параллельной прямой, которая должна пересечь график модуль функции в 5 точках. Сначала проводим такую прямую, далее  ищем точку пересечения ее с осью Oy.
Это прямая y=3, то есть искомый параметр равен a=3. 
Методом раскрытия модулей данную задачу можно было решать целый урок, если не больше. Здесь все свелось к нескольким графикам. 
Ответ: a=3. 

6. Уравнения с параметрами на итоговой аттестации, ЕГЭ

Пример 1. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение |

|x-1| -2|=2+ |3x-a| имеет единственное решение.

Решение: |x-1| -2|-2 |3x-a|

y=|3x-a| ; y=||x-1|-2|-2

1) Построим график функций: 1)y=|x| ; 2) y=|x-1| ; 3) у=|x-1|-2 ; 4)||x-1|-2| ;

5) y-||x=1|-2|-2

y=|3x-a| - «уголок», вершина которого движется по оси абцисс. Очевидно, что единственное решение будет в точках A,B,C. А(-3;0) ; В(1;0) ; С(5;0)

у=|3x-a|  ; 0=|-9-a|=>a=-9 ;  0=|3-a|=>a=3 ;  0=|15-a|=>a=15

. Пример 2. ЕГЭ 2010г.  При каком значении параметра уравнение имеет 4 корня  а=|||х|-2|-2|?

 Решение: применив поэтапно метод симметрию:

 Первый раз: у=

 Второй раз: у==|||х|-2|-2|

 Построим прямую у=а

            Ответ: при а=2 уравнение имеет 4корня

Пример 3. ЕГЭ 2009г. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение , имеет ровно 1 корень.

Решение: ,

Преобразуем:-4+а=3           и-4+а=-3

                       - +7=а             -   -1=а

Построим графики функций у = а, ,  .

При  а =7 прямая пересекает график только в одной точке. Значит, данное уравнение имеет ровно один корень при а =7.           Ответ: 7.

Заключение

    Я познакомилась с аналитическими и графическими решениями линейных уравнений с модулями и параметром, научилась строить графики линейных функций, содержащих выражение с параметром под знаком модуля. А для этого прочитала и изучила немало дополнительной литературы. Получив эти знания, мне будет совсем нетрудно выбирать рациональный способ решения уравнений.

   В результате анализа и сравнения методов построения графиков получила следующие выводы:

- перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать громоздких решений;

 - при решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым;

 - при построении графиков, содержащих 2 или более модулей практичнее метод симметрии;

 - хотя графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д., но этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений для решения уравнений с параметром.

  Учитывая, что уравнения с модулем и параметром есть в заданиях ГИА,  главным моим результатом  является то, что я могу решать линейные уравнения с модулем и параметром графическим способом.

         Список использованной литературы

1. Горбачев В.И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. -Брянск: Издательство БГПУ, 1998.-264с.
2. Горнштейн П.И., Полонский  В.Б.,  Якир  М.С. Задачи с параметром. Киев: РИА «Текст», 1992.-320с.
3. Мордкович А.Г. и др. Алгебра.8кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений.-3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001.
4. Советский энциклопедический словарь/ Гл. ред. А.М. Прохоров. – 4- е изд. – М .: Сов. Энциклопедия, 1986.- 1600 с., ил.
5. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.- М.: Просвещение, 1972.-128с.

Приложение

Задание 1.

Решить уравнение    у2х = у(х + 2) – 2      с параметром у.

1. Область допустимых значений параметра – вся числовая прямая.
2. Приведем уравнение к виду     y(у – 1)х -  2(у – 1) = 0.
3. Контрольные значения параметра: у = 0 и у = 1.
4. Если у=  1, то уравнение примет вид   0 · х = 0, х – любое число.

Если у = 0, то уравнение примет вид   0 · х = - 2. Это уравнение корней не имеет.

       5.  Если у ≠  0  и у  ≠ 1, то   х = 2(у-1)/ у(у-1),,.

Ответ: если у =1, то х – любое число;

             если у = 0, то корней нет;

             если у ≠  0  и у  ≠ 1,  то   х = 2(у-1)/ у(у-1).

Задание 2.  Решить уравнение 4        

Решение. Перепишем уравнение (1) в виде 4  и построим графики функций

 у =  и у = . Отметим, что угол между лучами ВА и ВС прямой, а угол между лучами ОМ и ОN острый.

График функции   у =  является графиком функции у = 4  при a = 0. График функции у = 4  при а0 будет получаться сдвигом вправо на а единиц при а > 0 и влево на  единиц при а < 0. При  этом вершина острого угла будет оставаться на оси Ох.

А) Два графика не будут иметь общих точек, если вершина острого угла окажется между точками  А и С, т.е. уравнение (1) не имеет корней при -2 < а < 2.

Б) Два графика будут иметь единственную общую точку, если вершина острого угла совпадает или с точкой А, или с точкой С, т.е. уравнение (1) имеет единственный корень и при а = -2, и при а = 2.

В) Два графика будут иметь две общие точки, если вершина острого угла окажется левее точки А или правее точки С, т.е. уравнение (1) имеет два корня и при а < -2, и при а > 2.

Ответ. а) при а  (-2; 2); б) при а = -2 и при а = 2; в) при а < -2 и при а > 2.

Задание 3.

Задание 4.   Сколько корней имеет уравнение ||2x-3|-2|=2?
Решение: Правая сторона равна постоянной, поэтому скорее найти решение можно графическим методом. Внутренний модуль обращается в нуль 
|2x-3|=0 x=3/2=1,5 
в точке x=1,5. 
Значит в эту точку смещаем график функции y=|2x|. Для того, чтобы его построить подставьте несколько точек и проведите через них прямые. От полученной функции вычитаем 2 то есть график опускаем на двойку вниз и, чтобы получить модуль переносим отрицательные значения (y< 0)симметрично относительно оси Ox.

Далее остается построить правую сторону (прямую y=2) и подсчитать количество точек пересечения. График модуль функции и прямой приведен ниже

Ответ:  три решения.