Тригонометрия в окружающем мире и жизни человека

Школьная научно-исследовательская конференция «Первые шаги» учащихся МАОУ «СШ «Земля родная»

Тригонометрия в окружающем мире

и жизни человека

Исследовательская работа по математике

Холматов Исломбек Бехзодович

ученик 8 Г класса

МАОУ «СШ «Земля родная»

Мозглякова Татьяна Александровна,

учитель математики

МАОУ «СШ «Земля родная»

г. Новый Уренгой, 2021

Содержание

Стр.

Введение…………………………………………………………………………3

1. Тригонометрия и история ее возникновения………………...……..….4
2. Тригонометрия в профессиях людей……………………………………5
3. Некоторые жизненные задачи и тригонометрия……………………….7
4. Практическая часть……………………………………………………….9

Заключение………………………………………...………………………...….10

Список использованной литературы………………………………….……….11

Введение

В современном мире значительное внимание уделяют математике, как одной из областей научной деятельности и изучения. Для меня математика – один из любимых предметов. При выборе темы исследовательской работы я остановился на таком разделе математики как тригонометрия. С данным разделом я только начал свое знакомство на уроках геометрии, но уже много слышал о нем. Мне стало интересно узнать, какую роль тригонометрия играет в жизни человека и почему она изучается в школьном курсе математики. Мой дядя – летчик и говорил мне, что в его профессии тоже важно знать тригонометрию.

Актуальность моей работы заключается в том, что в ближайшем времени мне предстоит выбрать профессию, и мне интересно узнать, какую роль тригонометрия играет в различных профессиях, науках. Так же я знаю, что многие задания ОГЭ и ЕГЭ требуют знания тригонометрии и именно такие задания вызывают наибольшую сложность у учащихся.

Целью работы является изучение роли тригонометрии в жизни человека. Для достижения цели были определены следующие задачи:

1. Познакомиться с понятием «Тригонометрия».
2. Познакомиться с историей возникновения тригонометрии.
3. Изучить сферы деятельности человека, в которых тригонометрия важна.
4. На практике убедиться в необходимости знания тригонометрии при решении различных жизненных задач.

Гипотеза:        Некоторые жизненные задачи легко и быстро решаются с помощью знания тригонометрии.

Объектом исследования является раздел математики - тригонометрия.

Предмет исследования: жизненные задачи, решаемые с помощью тригонометрии.

Методы исследования: изучение теоретического материала, эксперимент, систематизация и обобщение материала.

1. Тригонометрия и история ее возникновения

 Самые первые сведения о появлении и развитии данной области мы можем увидеть в рукописях, которые находятся в древнем Египте, Вавилоне, Древнем Китае. Изучив 56-ю задачу из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.), можно увидеть, что она предлагает  найти наклон пирамиды, чья высота является высотой в 250 локтя. Длина стороны основания пирамиды равняется 360 локтям (рис.1).

    Рис.1       Египтяне называли это отношение секед. Сейчас мы используем для такого отношения понятие тангенса угла.

Термин  «тригонометрия» впервые появился в XVI веке как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613). Тригонометрия (от др.-греч. Τρίγωνον «треугольник» и μετρέω «измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции стали применять к решению уравнений, вопросов механики, оптики, электричества, радиотехники, с целью отображения колебательных действий, распространения волн, перемещения разных элементов, для исследования переменного гальванического тока и т. д. По этой причине тригонометрические функции всесторонне и глубоко изучались, и получили существенное значение для целой математики. Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. Тригонометрические функции в алгебре я изучу позже, а сейчас меня интересует тригонометрия в геометрии, и ее практическое применение в жизни.

2. Тригонометрия в профессиях людей

Современное общество характеризуется постоянными изменениями, открытиями, созданием высокотехнологичных изобретений, улучшающих нашу жизнь. Тригонометрия встречается и взаимодействует с физикой, биологией, математикой, медициной, навигацией, информатикой.

Тригонометрия оказывает прямое влияние и воздействие в физике. При погружении объектов в воду они никак не изменяют ни формы, ни объемов. Полный секрет - зрительный эффект который вынуждает наше зрение принимать предмет по-другому. Простые тригонометрические формулы и значения синуса угла падения и преломления полупрямой предоставляют вероятность высчитать постоянный показатель преломления при переходе светового луча из сферы в сферу. К примеру, радуга появляется из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sinα / sin β = n1 / n2

где: n1 является показателем преломления первой среды; n2 является показателем преломления второй среды; α-углом падения, β-углом преломления света.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по происшествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Результаты подобных исследований, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

Под навигацией мы понимаем науку, целью которой является изучение и создание наиболее удобных и полезных способов навигации.  Так, ученые разрабатывают несложные навигации, представляющие собой построение маршрута из одной точки в другую, его оценка и выбор лучшего варианта из всех предложенных. Данные маршруты необходимы мореплавателям, которые в течение своего путешествия сталкиваются с множеством трудностей, преград, вопросов по курсу движения. Также навигация необходима: летчикам, которые управляют сложными высокотехничными самолетами, ориентируются, порой в очень экстремальных ситуациях; космонавтам, чья работа связана с риском для жизни, со сложным построением маршрута и его освоением.

С помощью тригонометрии, пилоты могли рассчитывать ветряные погрешности, для наиболее точного и безопасного ведения самолета. Для того, чтобы осуществить данные вычисления, мы обращаемся к треугольнику скоростей. Данным треугольником выражаются образованный воздушной скорости (V), вектор ветра (W), вектор путевой скорости (Vп). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра (рис. 5).

Чтобы ознакомиться с видом зависимости между элементами навигационного треугольника скоростей, необходимо взглянуть ниже:

Vп =V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ  

Для решения навигационного треугольника скоростей используются счетные устройства, использующие навигационную линейку и подсчеты в уме. Вся "классическая" геодезия сформирована на тригонометрии. Так как фактически с древнейших времен геодезисты увлекаются тем, что "решают" треугольники.

3. Некоторые жизненные задачи и тригонометрия

1. Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35o с одной стороны и 41o - с другой. Найти длину скатов крыши

Решение:

По теореме синусов:

Откуда находим “a”:

 Также по теореме синусов :                                              

Ответ: 5, 912м. и 6, 762 м.

2. Пусть требуется найти расстояние от пункта А до пункта В, находящегося за рекой.

Решение

Строим при помощи астролябии при точке А прямой угол ВАС. Взяв на прямой АС произвольную точку D, с помощью астролябии измеряем угол ADB = 44°. Измеряем расстояние AD = 120 м.

Тогда  , или АВ = 120•tg 44o  120 •   0,9657  116 (м).

Ответ: 116м.

3. Расчет высоты конька крыши дома.

Условие:  Пусть известна ширина дома 10м. Оптимальным углом для ската крыши мансардного дома считается угол в 40-45 градусов. Необходимо оценить при этих условиях высоту конька крыши.

Решение:  Отношение высоты конька крыши к половине ширины дома – это тангенс угла наклона крыши к дому.

Получим tg α = . Значит, х = 5 * tg α.

Так как 40< α < 45, то 0,8 < tg α < 1.

Тогда 4 < x < 5. Ответ: 4 < x < 5

4.  Расчет угла для безопасного нахождения на пожарной лестнице  

Условие: Безопасный ли угол наклона лестницы для  передвижения человека на лестнице, если  высота здания 10м, длина от начала лестницы 8м, а безопасный угол по стандарту 35-45°.

Решение:

 = 1.25 ≈ 51°

Ответ: Данный угол будет опасный, неоптимальный для нахождения на ней.

5. Расчет высоты горки при строительстве

Условие:  Длина двора 9 м, длина спуска 4 метра, угол горки равен 30°, найдите высоту горки?

Решение:

tg30° = ;    tg =  ;       =

 Находим АС:     АС= ≈ 2,3 м

4. Практическая часть

По строительным нормам и правилам крутизна подъема лестницы внутри здания образовательного учреждения должна составлять 26-27 градусов. Я решил измерить угол наклона лестницы школьного коридора и оценить соответствует ли он нормам… Для этого я измерил высоту подъема лестничного пролета и его длину. В полученном прямоугольном треугольнике отношение высоты подъема к длине лестничного пролета является тангенсом угла наклона. 

Решение:

 Таким образом, я убедился, что лестница в нашей школе соответствует строительным нормам. Угол в 27° довольно комфортен для ежедневного спуска и подъема по лестнице.

Заключение

В ходе исследовательской работы по теме «Тригонометрия в окружающем мире и жизни человека» мною было изучено использование тригонометрии во многих отраслях. Я еще раз убедился в том, что тригонометрия очень важна в современном мире. Применение тригонометрии во многих областях науки неограниченно.

При рассмотрении жизненных задач на измерение расстояния до недоступной точки, определение высоты предмета, определении угла наклона лестницы можно просто воспользоваться тригонометрией. Решение задач с помощью тригонометрии вызвало у меня интерес и желание узнать об этом разделе математики еще больше. Моя гипотеза относительно того, что некоторые задачи просто и быстро решить при помощи тригонометрии оказалась верна.

Я планирую и дальше изучать интересные вопросы тригонометрии, решать задачи и выбирать свою профессию.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. Организаций. – М.: Просвещение, 2015.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 2012.
3. Орлова К.Д. Развитие познавательного интереса у учащихся при изучении тригонометрии.- Марийский государственный университет, 2017.
4. СНиП 2.08.02-89 от 1990-01-01 Общественные здания и сооружения.