Исследовательская работа по математике "Прогрессии вокруг нас"

МОУ «Крутовская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа по математике

«Прогрессии вокруг нас»

Выполнил учащийся 9 класса

Кочетков Михаил

Руководитель проекта: учитель математики

        Кочеткова Е. Н.

с   Крутое

                      2017

СОДЕРЖАНИЕ

        ВВЕДЕНИЕ

Иоганн Гёте говорил: «Недостаточно только получить знание, надо найти ему приложение».

В школе мы ежедневно получаем огромное количество информации, о которой затем составляем свое мнение. На уроках алгебры в 9 классе мы познакомились с интересной, на мой взгляд, темой «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Вывели основные формулы, а затем применяли их, решая разнообразные примеры. Выполняя упражнения по данной теме, я задался вопросом: «А зачем мы изучаем эту тему? Имеет ли практическое применение знание прогрессий? Где в жизни мы встречаемся с прогрессиями?». И я решил выяснить имеют ли прогрессии практическое значение и как давно люди знают последовательности.

Объектом моего исследования стали арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий в нашей жизни.

Гипотеза исследования:  прогрессии должны иметь практическое применение в жизни: существует множество сфер жизни человека, где встречаются прогрессии.

Цель проекта: найти сведения из истории, касающиеся прогрессий и установить, что многие явления в природе подчиняются законам арифметической или геометрической прогрессии.

Задачи:

1. Найти сведения о прогрессиях, когда и в связи с какими потребностями возникло понятие последовательности, понятие прогрессии, какие ученые занимались данной темой;
2. Проанализировать действующие учебники алгебры 9 класса на наличие задач прикладного характера на арифметическую и геометрическую прогрессию.
3. Найти примеры существования и применения прогрессий в нашей жизни.
4. Выполнить подборку задач для учащихся по теме: «Прогрессии».

Методы исследования:

1. Анализ источников информации.

2. Сравнение различных сведений, касающихся темы проекта.

3. Систематизация и обобщение информации

Практическая значимость заключается в расширении знаний о прогрессиях. Данный материал можно будет использовать на уроках, на факультативных занятиях, внеклассных мероприятиях, при подготовке к ГИА по математике.

Проектным продуктом станет презентация «Прогрессии вокруг нас»

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Теоретические сведения о прогрессиях

Арифметическая прогрессия.

Определение.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Арифметическая прогрессия имеет вид: (a): a, a+d, a + 2d, a + 3d, ..., а+d(n-1)

Свойства.

• Любой член арифметической прогрессии находится по формуле n – ого члена: a = a1 + d(n - 1)
• Арифметическая прогрессия обладает характеристическим свойством:

an = , т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предыдущим и последующим членом.

• Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.
• Арифметическая прогрессия может быть конечной или бесконечной.
• Сумму n –первых  членов арифметической прогрессии вычисляют по формуле  S = или  Sn=

Геометрическая прогрессия.

Определение.

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия имеет вид: (bn):b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…  

Свойства.

• Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предыдущему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.
• Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, при условии, что b1 = 3, q = -2 (q< 0)получаем геометрическую прогрессию (bn): 3, -6, 12, -24, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей.
• Любая геометрическая прогрессия обладает характеристическим свойством: квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, т. е.   ,  где  и n> 1.              
• Для нахождения любого члена геометрической прогрессии применяется формула n –ого члена: , где  .    
• Сумму n –первых  членов геометрической  прогрессии вычисляют по формуле:.Если в данную формулу вместо bn подставить его выражение в виде b1qn-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы n – первых членов геометрической прогрессии:       .
• При ǀqǀ < 1,  геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии, т.е. какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле

Формулы:

 Арифметическая прогрессия              Геометрическая прогрессия

2. История прогрессий

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях появились у древних народов. Ещё в Древнем Риме диаметры колес в водопроводах были выбраны в соответствии с геометрической прогрессией. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Одной из самых старинных задач является задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ахмеса. Папирус этот часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца, он был обнаружен в конце 19 века, составлен около 2000 лет до н.э. и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения.

Задача Ахмеса (Ахмес - египетский жрец и писец, составитель первого дошедшего до нас руководства по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанного около 1650 г. до н.э.): «Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры. Сколько получит каждый?».

Рассмотрим решение этой задачи.

Пифагор Самосский в IV веке до н.э. рассматривал последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, он получал:

- последовательность треугольных чисел 1;3;6;10;15

- последовательность квадратных чисел 1;4;9;16;25

- последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...

                                                                1, 4, 9, 16, 25, ... ;

1, 3, 6, 10, 15, ... .

Архимед,  (около 287 - 212 до н. э.), древнегреческий учёный, математик и механик. В ходе своих исследований он нашёл сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда.

Индийский астроном и математик Ариабхата (V в.) применял формулы общего члена, суммы n членов арифметической прогрессии.

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии также встречается в сочинении «Книга абака» итальянского математика Леонардо Пизанского, наиболее известного под именем Фибоначчи. В XII главе приводятся задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий.

Наиболее известной из сформулированных им задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой «рядом Фибоначчи».

Задача о кроликах: «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения».

Ответ: 377 пар. В первый месяц кроликов окажется уже 2 пары: 1 первоначальная пара, давшая приплод, и 1 родившаяся пара. Во второй месяц кроликов будет 3 пары: 1 первоначальная, снова давшая приплод, 1 растущая и 1 родившаяся. В третьем месяце - 5 пар: 2 пары, давшие приплод, 1 растущая и 2 родившиеся. В четвертом месяце - 8 пар: 3 пары, давшие приплод, 2 растущие пары, 3 родившиеся пары. Продолжая рассмотрение по месяцам, можно установить связь между количествами кроликов в текущий месяц и в два предыдущих. Если обозначить количество пар через N, а через m - порядковый номер месяца, то Nm = Nm-1 + Nm-2 . С помощью этого выражения рассчитывают количество кроликов по месяцам года: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и т.д. Здесь геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. В результате получилось 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Чтобы представить себе всю огромность этого числа-великана, прикинем, какой величины потребуется амбар, чтобы вместить все это зерно. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна занять объем в 12000000000000 куб. м, или 12000 куб. км. При высоте амбара 4м и ширине 10м его длина должна была бы простираться на 300000000км, т.е. вдвое дольше, чем от Земли до Солнца!

Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Николы Шюке «Наука о числах», которая была выпущена в свет в 1484 году.

Несколькими математиками (среди них был французский математик Пьер де Ферма) в первой половине XVII века, была выведена общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей прогрессии.

В Германии молодой Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.

1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100) +(2+99) +(3+98) +…+(50+51) =101x50 = 5050.

Существует много старинных задач, дошедших до нас, связанных с прогрессией.

1. Задача Фибоначчи.  («Книга об абаке", написана в 1202г). 

«Задача о семи старухах".

Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?  

В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

 Решение: 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649–это геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7.

 bn= b1 qn-1.  b6= 7·76-1= 7 ·75= 76= 117649.

 Sn=(b1qn-1)/(q-1);  

S6 = (7*76-1)/(7-1) = (7*(117649 -1))/6=(7 ·117648):6=137256

Ответ: общая сумма 137256.        

2. Задачи из папируса Ринда. «У семи лиц по 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка съедает по 7 колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Эта задача повторялась много раз  с разными вариациями в разное время .

3.Шли семь старцев.
У каждого старца по семь костылей;
На каждом костыле по семь сучков;
На каждом сучке по семь кошелей;
В каждом кошеле по семь пирогов;
В каждом пироге по семь воробьёв.
Сколько всего воробьёв?

Решение: 76 = 117649 воробьёв 

Сколько всего?

Решение.

7+72+73+74+75+76=7+49+343+2401+16807+117649=137256

Ответ: 117649 воробьев, общая сумма137256.

Вывод: прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1.Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределением продуктов, делением наследства и другими. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли и т.д. В развитие теории о прогрессиях внесли вклад такие ученые, как Пифагор Самосский, Ариабхата, Боэций, Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Карл Гаусс, Пьер Ферма, Никола Шюке.

3. Прогрессии в окружающей нас жизни

Примеров на применение прогрессий  в разных областях жизни много. Они встречаются повсюду. Но мы даже этого не замечаем. Рассмотрим эти примеры.

3.1.  Прогрессии в биологии.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ…    Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.    Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т.д.  (геометрическая прогрессия). Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Задача. Предположим, что в кабинете математики численность бактерий равняется 1000 ед. на мм2.  Какой будет численность бактерий к концу рабочего дня?

Решение. При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через каждые 20-30 минут.

Вычислим последовательно численность колонии бактерий 1-ого, 2-ого, 3-его, 4-ого, 5-ого, 6-ого поколений. Имеем дело с геометрической прогрессией, где:

Если рассматривать, что общая продолжительность учебных занятий 5 часов, то за это время колония бактерий даст 10 поколений. И тогда численность 10 поколения можно рассчитать по формуле.

Мы можем рассчитать численность бактерий в кабинете к концу учебных занятий, используя формулу суммы 10 членов геометрической прогрессии:

Ответ: через 5 часов бактерий в классе станет 1023000.

При таком быстром размножении потомство одной бактерии за 5 суток способно образовать массу, которой можно было бы заполнить все моря и океаны. Однако в природе этого не происходит, так как большинство бактерий быстро погибает под   действием солнечного света, при высушивании, под действием дезинфицирующих веществ. Вот почему в период эпидемий необходимы   профилактические меры. Также ежедневно после каждого урока необходимо проветривать помещения, т.к. после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока.

Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

К сожалению, интенсивность размножения бактерий играет свою негативную роль, например, в период эпидемии гриппа.

ОДУВАНЧИК…….       “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”. Климент Аркадьевич Тимирязев.

Задача: Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?  

Ответ: 1012 км2.

б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?

Ответ: нет, S суши = 148 млн км2 .

Решение:   Имеем геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 100.
Через 10 лет при заданных условиях потомство этого одуванчика займёт
м2  или  км2
На 11й год потомство будет занимать 
м2 или км2.
Площадь суши примерно 148 млн. км2, это 1,48*км2. Таким образом, поверхности суши земного шара не хватит

ТЛЯ…….   Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн.  потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.  

МУХИ……   “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”.   Карл Линней.  Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. (Пример геометрической прогрессии).

ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.  

3.2. Прогрессии в медицине.

Прогрессии применяются в медицине.  

Задача. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?(Данная задача содержится в учебнике Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов, -М.: Мнемозина, 2014)

Решение. Составим математическую модель задачи:

  5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

  ап=а1+d(n-1),    

  40=5+5(п-1),     

   п=8,            

  Sп=((a1+aп)n)/2,  S8 =(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. Ответ: 2 пузырька

Еще один пример задачи: Человек, заболевший гриппом, может заразить 4 человек. Через сколько дней заболеет все население села Крутое, в котором  живу я, если в нем проживает  примерно 760 жителей?

Решение: эта задача на геометрическую прогрессию.

b1=1,q=4, Sn=760

4n-1=2280,    4n = 2281, 5

Ответ: через 6 дней.

3.3. Прогрессии в спорте.

1. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? (Данная задача содержится в учебнике Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014)

Решение. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов (количество промахов) равна 7. Найдем число промахов n.

Sn=

7=

n2+3n-28=0, n=-7,n=4, n≥0. Число промахов – 4. Значит, в цель попал 21 раз. Ответ 21.

2.  Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м? (Данная задача содержится в учебнике Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов, -М.: Мнемозина, 2014)

Решение. Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1).

a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Sn=

5000=;            

10000= (2800-100 n+100) n;  

10000= (2900-100 n) n;  

100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n2-29n+100=0; n=25, n=4.  

Условию задачи удовлетворяетn=4 (приn=25 аn=-1000, но аn>0)

Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

3.4. Прогрессии в банковских расчетах.

В банке предлагают открыть вклад в сумме a рублей под р% годовых на t лет. Есть две стратегии поведения: снимать проценты по вкладу в конце каждого кода хранения денег, т.е. полученную прибыль в размере ∙а рублей или прийти в банк один раз  - в конце срока хранения вклада. Какой доход можно получить в том и в другом случае.

Математическая модель первой ситуации.

а1=а, первоначальный вклад

а2= а+∙а

а3=а+ ∙а

а4=а+∙а

….

at=a+ ∙a

Математической моделью данной ситуации является арифметическая прогрессия, где а1=а- первоначальный вклад, d=

at+1 = a+= a(1+) руб. можно получить за t лет. Эта формула называется формулой простых процентов.

Рассмотрим теперь математическую модель второй ситуации.

b1=b – первоначальный вклад

b2=b1+1=b1(1+)

b3= b1(1+) (1+) =  b1(1+)2

b4= b1(1+)3

….

bt = b1(1+)t

Математической моделью этой ситуации является геометрическая прогрессия, где b1=b – первоначальный вклад

q=1+

bt = b1(1+)t рублей можно получить за t лет. Эта формула называется формулой сложных процентов.

Рассмотрим задачу. Сбербанк в конце года начисляет 8 % к сумме, находящейся на счету в начале года. Какова будет прибыль по вкладу в 12000 рублей на срок в 4 года, если снимать проценты в конце каждого года; по истечении срока хранения вклада?

Решение:

1. S= 12000(1+8∙0,01∙4) = 15840 (руб.)
2. S= 12000(1+8∙0,01)4= 16325, 87(руб)

Ответ: 15840 руб, 16325,87 руб.

3.5. Прогрессии в литературе и музыке

Даже в литературе мы встречаемся с прогрессиями! Вспомним строки из"Евгения Онегина".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...   

 Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Дактиль – это трехсложный стихотворный размер с ударением  на первый слог, а два других – безударные.

Примеры:

Ямб:«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...» А.С. Пушкин

Арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; 8;..., где а1 = 2, d = 2

Хорей:«Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак

Арифметическая прогрессия: 1; 3;5; 7;... , где а1 = 1, d = 2

Дактиль:«ТУчки небЕсные, вЕчные стрАнники…»М.Ю. Лермонтов

Арифметическая прогрессия:1; 4; 7;…, где а1 = 1, d = 3

Прогрессия существует также в музыке.

Я окончил музыкальную школу по классу фортепиано. Могу привести примеры применения прогрессий в музыке.  Прогрессии присутствуют в громкости звучания нот, их длительности, длительности пауз, в построении ладов. В музыке существует множество различных длительностей: целая половинная, четверть, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая и шестьдесят четвертая. Эти длительности можно представить в виде последовательности чисел:1,  ,  , , ,, .  Это есть геометрическая прогрессия, где b1=1,q =

q=b2÷b1 =b3÷b2 = 1,12

Данная последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Симметричные лады – лады, звукоряды которых основаны на равнодольном делении октавы.

В музыке термин «прогрессия» («секвенция») означает постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. Секвенция является последовательным повторением данной мелодической фразы или гармонического оборота на другой высоте.

3.6. Процессы, где встречаются прогрессии

• Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.
• При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.
• Вписанные друг в друга правильные треугольники, вершинами которых являются середины предыдущих треугольников— стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ½. это геометрическая прогрессия.
• Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.
• Возведение многоэтажного дома – пример арифметической прогрессии. При возведении каждого этажа высота дома увеличивается на 3 метра.

Вывод: Прогрессии - это мощный инструмент для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни: в банковских расчетах, в микробиологии и медицине, в строительстве, спорте и даже в музыке и в литературе.

4. Задачи на прогрессии в различных  источниках по математике        

4. 1. Задачи на прогрессии в старинных учебниках.

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

В школьном обиходе задачи на прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Л.Ф. Магницкого, изданном 300 лет назад и служившим целых полвека основным  руководством для школьного обучения, имелись задачи на прогрессии.

1. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Задача на арифметическую прогрессию.

Решение: а14=а1+13d, a1=59-13·4=7,
S14=(7+59)/2·14=462.
Ответ: все чарки весят 462 лата.

2. Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблоки ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Задача на геометрическую прогрессию.

Пусть у садовника было х яблок.

1 покупатель:  =

2 покупатель:  =

3 покупатель =

...

7 покупатель

Составим уравнение:  +  +  +…+  = х

 +  +   + …+   - геометрическая прогрессия, где b1 = , q = , n = 7/

Найдя сумму данных членов, получаем: S7 = ,

Тогда уравнение примет вид (х + 1)• = х.

Решением данного уравнения является число 127. Ответ: у садовника было 127 яблок.

В «Сборнике алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапошников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз,1949) содержатся задачи на прогрессии.

1. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?

Решение. a1=40, d=15, Sn=1690. Найти n.

Sn=(2a1+d(n-1)) ∙n/2; n>0;

1690=(80+15(n-1)) ∙n/2;

1690=(80+15(n-1)) ∙n/2;

3380=(65+15n) ∙n;

15n2+65n-3380=0;

3n2+13n-676=0;

n1=-52/3; n2=13.

Так как по условию задачи n>0, то n=13.

Работники выкопали колодец глубиной 13 аршин.

Аршин – старинная русская мера длины. Один аршин равен 0, 7112м

2.Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит пятью футами больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?

Решение.  Второе тело пройдет за n сек

Sn=(2a1+d(n-1)) ∙n/2= (2·3+5 ·(n-1)) ∙n/2=(1+5n) ∙n/2 (фут),

а первое тело - 10n фут,

((1+5n) ∙n/2+ 10n) фут – расстояние между телами в начальный момент, по условию оно равно 153 футам.

(1+5n) ∙n/2+ 10n=153.

n=6, n=-10,2.  Так как n>0, то n=6.

Значит, тела встретятся через 6 секунд.

Фут – английская мера длины, один фут равен 0, 3048м.

Ответ: 6 секунд.

2. Задачи на прогрессии в современных учебниках.

Проанализировав современные учебники по алгебре разных авторов, я убедился, что в них содержатся задачи на прогрессии с практическим содержанием. Вот несколько примеров.

1. Алгебра, 9.  Учебник для общеобразовательных учреждений. Под редакцией Г.В. Дорофеева. М.: «Просвещение», 2010.

Задачи на арифметическую прогрессию:

№ 600. В школе-новостройке учится сейчас 200 человек. Допустим, каждый год их число будет увеличиваться на 20. Сколько человек будет в школе через 5 лет, если тенденция сохранится? Школа рассчитана на 350 человек. Через сколько лет будет достигнута норма?

№ 620. Продолжительность прогулки для грудного ребенка составляет в первый день 20 мин. Затем она увеличивается ежедневно на 10 мин и доводится до 2 ч в день. На какой по счету день длительность прогулки составит 2 ч и сколько всего времени проведет ребенок на воздухе за эти дни?

А также: № 586, № 599, № 618, № 619, № 630, № 631.

Задачи на геометрическую прогрессию

№ 646. Фирма, выпускающая игрушки, начала изготовлять для детей набор столярных инструментов, который стал пользоваться популярностью у покупателей. В первый год фирма выпустила 2000 наборов, а в каждый следующий год число выпущенных наборов увеличивалось в 1,5 раза по сравнению с предыдущим. Сколько наборов было выпущено в течение пятого года?

№ 672. При поступлении на работу будущий сотрудник был ознакомлен с условиями оплаты: в первый год его годовой заработок составит 120000руб, а затем в каждый следующий год будет увеличиваться в 1,2 раза по сравнению с предыдущим. Сотрудник планирует проработать на этом месте не менее 10 лет. Сколько он заработает за 10 лет?

А также: № 647, № 648, № 649, № 650, № 668, № 674, № 676.

Имеются задачи на простые и сложные проценты (целый раздел).

2. Ю. Н. Макарычев.  Алгебра, 9.  Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: «Просвещение», 2012.

Задачи на арифметическую прогрессию:

№ 582. Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце двадцатой минуты?

№ 614. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5с после начала падения.

А также: № 581, № 615.

Задачи на геометрическую прогрессию

№ 637. Ежегодный доход по вкладу «Юбилейный» составляет 9%. Каким станет этот вклад через 4 года, если первоначально он был равен 8000р.?

А также: № 638, № 639, № 640.

3. Ш. А. Алимов.  Алгебра, 9.  Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: «Просвещение», 2012.

Задачи на арифметическую прогрессию:

№ 249. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45мин?

№ 264. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Задачи на геометрическую прогрессию

№ 280. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

А также: № 278, № 318, № 319, № 324, № 326.

4.  А. Г.  Мордкович.  Алгебра, 9, в 2 частях. Часть2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: «Просвещение», 2012.

Задачи на арифметическую прогрессию:

№ 16.65. Улитка ползет вверх по дереву , начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30см, а за каждую следующую – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25м?

А также: № 16.63, № 16.64, № 16.66

Задачи на геометрическую прогрессию

№ 17.35. Клиент взял в банке кредит в размере 50000рублей на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть  в банк в конце срока, если условия погашения таковы:

а) проценты возвращаются в банк ежегодно;

б) весь кредит вместе с процентами возвращается в банк в конце срока?

А также: № 17.51, № 17.52, № 17.57, № 17.58.

Вывод: в разных учебниках содержатся задачи на прогрессии с практическим содержанием.

3. Задачи из открытого банка заданий для подготовки к ГИА по математике

Задачи на прогрессии являются одним из обязательных заданий в работе ОГЭ по математике. Это задачи на применение основных формул прогрессий. В заданиях ЕГЭ по математике также есть задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий, но уже с практическим содержанием.  Рассмотрим некоторые из них.

Задача № 1.  Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

Sn = 240, a1 + an = 60

60•

30n = 240

n = 8

Ответ: 8 дней

Задача № 2.  Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение:

Sn = 500, a1 = 3

3 + an = 100

an = 100-3

an = 97

Ответ: 97 метров

Задача № 3.  Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день они выложили 3м2. Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше, чем в предыдущий. Сколько м2 уложат студенты в 15 день?

Решение:

а1 = 3, a2 = 5

a2 = a1 + d

5 = 3 + d, d = 2

a15 = a1 + 14d,         a15 = 3 + 14*2,         a15 = 31.

Ответ: 31 тонн

Задача № 4. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200 % от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400 % от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение:

1250000 – 1215000 = 35000. На 35000$ капитал одной компании был больше другой

Ответ: на 35000$

Задача № 5. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Решение:

n = 14, S14 = 490

sn = , S14 = (5 + а14)•7

5 + а14 = 70

а14 = 65

Ответ: 65 задач

Задача № 6. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

Решение:

а1 = 30, d = 5,Sn = 525,

1050 = (60 + 5n – 5)n

n2 + 11n – 210 = 0

n = 10илиn = – 21 – не удов. условию задачи

Ответ: за 10 минут

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Начиная работать над своим проектом, я поставил перед собой цель, для достижения которой выдвинул задачи. В заключении могу сказать, что задачи решены, цель достигнута. Я рассмотрел исторические сведения о практическом применении арифметической и геометрической прогрессии; основные определения и формулы; рассмотрел примеры применения арифметической и геометрической прогрессии в различных отраслях, решил задачи из разных источников на применение арифметической и геометрической прогрессии с практическим содержанием по отраслям. Исследуя различные отрасли человеческой деятельности, а также окружающий нас мир, я пришел к выводу, что мы живём среди прогрессий.

Практическая значимость работы – расширение знаний о прогрессиях. Данный материал можно будет использовать на уроках, на факультативных занятиях, во время проведения предметной неделе, на консультациях при подготовке к ГИА по математике.

Я считаю, что материал моей работы будет полезен многим обучающимся, и не только нашей школы. Планирую выступить с этой информацией в своей школе.

        Используемая литература:

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – Москва, Просвещение, 2012. 
2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского. –Москва,  Просвещение, 2012.
3. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - Москва, Просвещение, 2010. 
4. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, И.Е. Федорова, М.И. Шабунин. - Москва, Просвещение, 2014.
5. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – Москва, Вентана-Граф, 2014.
6. Алгебра. 9 класс. Учебник. Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. – Москва, Дрофа, 2014.
7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. –Москва, Просвещение, 1990.

Интернет ресурсы

http://ru.wikipedia.org/

http://mirurokov.ru/

http://nsportal.ru/

http://festival.1september.ru/

http://wiki-linki.ru/Page/526869

http://school-collection.edu.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Магические квадраты

Занимательное свойство арифметической прогрессии. Рассмотрим одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Нам дана “стайка девяти чисел” 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Она представляет собой арифметическую прогрессию, где а1 = 3, d =2. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33

Что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом – constanta.

Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат

Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа. Расположим её члены в таблицу

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d. Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d

2. Задача о размножении кроликов

В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год? (Ответ: 233 пар). Для поиска ответа используется рекуррентная числовая последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих; ответом, в соответствии с условиями задачи, является тринадцатый член (завершение каждого месяца — это перескок к следующему члену последовательности; текущий член последовательности перед началом опыта — это первый; всего месяцев двенадцать). В честь учёного она носит название чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи нашли своё применение во многих областях математики.

Одним из важных свойств последовательности является тот факт, что предел отношения аn+1 к  аnравен золотому сечению.  Наглядно формирование последовательности можно показать следующим образом:

1: 1 + 1 = 2

2:     1 + 2 = 3

3:         2 + 3 = 5

4:             3 + 5 = 8

5:                 5 + 8 = 13

6:                     8 + 13 = 21

7:                         13 + 21 = 34

8:                              21 + 34 = 55

9:                                   34 + 55 = 89

...                                           и т. д.

3. В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь взадаче об исчислении так называемых “сложных процентов”. Если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на 1,03. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 3%, т.е. вновь умножится на 1,03. За 20 лет сумма на сберкнижке увеличится в (1,03)20 1,8 раза.

Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50% годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)10 55,7 раза. Под такой процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок, как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но не должно было быть большим 10%.

4.Задача о размножении мака

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут?

Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек. Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000 × 3000 = 9000000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9000000 × 3000 = 27000000000. А на четвертый год 27000000000 × 3000 = 81000000000000. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81000000000000 × 3000 = 243000000000000000. Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135000000000000 кв. м. - примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака.

Если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!

5.Как быстро размножаются мухи.

Одна самка комнатной мухи откладывает до 120 яиц, и в течение лета появляются 7 поколений мух, половина из которых – самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка за 20 суток развивается настолько, что сама откладывает яйца. Подсчитайте, сколько мух народится за 7 поколений (15 апреля, 5 мая, 14 июня, 5 июля, 25 июля, 13 августа, 1 сентября).

Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых - самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

•15 апреля - самка отложила 120 яиц; в начале мая - вышло 120 мух, из них 60 самок.

•5 мая - каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая - выходит 60 x 120 = 7200 мух, из них 3600 самок;

•25 мая - каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня - выходит 3600 x 120 = 432 000 мух, из них 216000 самок;

•14 июня - каждая из 216000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня - выходит 25920000 мух, в их числе 1296000 самок;

•5 июля - 12960000 самок кладут по 120 яиц; в июле - выходит 1555200000 мух, среди них 777600000 самок;

•25 июля - выходит 93312000000 мух, среди них 46656000000 самок;

•13 августа - выходит 5598720000000 мух, среди них 2799360000000 самок;

•1 сентября - выходит 355923200000000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км - в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т. е. примерно, как от Земли до далекой планеты Уран)...

6.Интересные примеры из жизни

• Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.
• Абрахам де Муавр – английский математик, обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов. Это — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.