Теорема Вариньона и её применение к решению задач

Опубликовано Минеева Ирина Анатольевна вкл 18.09.2021 - 18:56

Автор:

Андриянова Татьяна ученица 10 класса

В математике самыми трудными считаются геометрические задачи. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении.

Скачать:

Вложение	Размер
Теорема Вариньона и её применение к решению задач	498.69 КБ

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки РБ

МОУ «Иволгинская средняя общеобразовательная школа»

Республиканская научно- практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция «Геометрия»

Направление : преобразование фигур

Теорема Вариньона

и её применение к решению задач.

Работу выполнила

Андриянова Татьяна

ученица 10 класса.

Научный руководитель

Минеева Ирина Анатольевна,

учитель математики,

конт.тел. 8 950 382 7857

2016 год

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………….3

Основная часть

Глава 1. Пьер Вариньон и его теорема……………………………………….4

1. 1. Историческая справка…………………………………………………….4

1. 2. Доказательство теоремы Вариньона…………………………………….4

Глава 2. Применение теоремы Вариньона……………………………………6

2. 1. Применение теоремы Вариньона к доказательству основного

свойства медиан треугольника……………………………………………......6

2. 2. Применение теоремы Вариньона к решению задач………………….7

Заключение…………………………………………………………………....10

Список использованной литературы………………………………………..11

Приложение

Введение.

Крупное научное открытие даёт

решение крупной проблемы,

но и в решении любой задачи

присутствует крупица открытия.

Д. Пойа, венгерский математик

Цель работы: показать, что теорема Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач.

Актуальность и новизна работы состоит в том, что область применения теоремы Вариньона не раскрыта в школьных учебниках и не показана её роль в решении задач.

Задачи работы:

1. Рассмотреть доказательство теоремы Вариньона для различных видов четырёхугольников (выпуклого, вогнутого, пространственного);

2. Продемонстрировать применение теоремы Вариньона для решения важных планиметрических задач.

Методы исследования:

1. Анализ, систематизация и обобщение данных из различных источников информации (основные источники информации – статьи из периодических изданий по математике (журналы: «Квант», «Математика в школе», «Математика»), энциклопедии, Интернет);

2. Самостоятельное решение задач.

3. Моделирование.

Практическая и теоретическая значимость работы состоит в том, что данное исследование можно использовать при проведении уроков, кружков, факультативов, подготовке к олимпиадам и экзаменам. Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект.

Основная часть.

1. Пьер Вариньон и его теорема.

1. 1. Историческая справка.

Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой,

истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия.

Ле Карбюзье

Пьер Вариньон, руководивший «Журналом учёных» в Париже и написавший учебник по элементарной геометрии, по-видимому, первым заострил внимание на, казалось бы, довольно очевидном факте: середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пьер Вариньон (1654 — 22.12.1722), французский механик и математик, родился в г. Каенне во Франции. Изучал философию и математику. Работал профессором математики в коллеже Мазарини с 1688 г., с 1704 г. – в Коллеже де Франс, член Парижской Академии наук с 1688 г. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. Наибольшее значение имеют работы Вариньона по геометрической статике. В 1687 г. в работе «Проект новой механики...» Вариньон дал чёткую формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел, так называемую, теорему Вариньона.

1. 2. Доказательство теоремы Вариньона.

Теорема Вариньона вытекает из теоремы о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны) и гласит: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны (многоугольник – простая замкнутая ломаная). Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Рассмотрим доказательство теоремы для выпуклого четырёхугольника.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

рис. 1

Доказательство:

рис. 2

1) К и L – середины сторон АD и AB, значит КL – средняя линия треугольника

АВD, поэтому отрезок КL параллелен диагонали BD и равен её половине.

2) M и N – середины сторон BC и CD, значит MN – средняя линия треугольника BDС, поэтому отрезок MN параллелен диагонали BD и равен её половине.

3) Таким образом, MN || KL и KL = MN , значит четырехугольник KLMN –

параллелограмм по признаку. Теорема доказана.

Следствие. В любом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

Действительно, в этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма, а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка – центр симметрии параллелограмма).

Заметим, что:

1) Если ABCD – прямоугольник, то KLMN – ромб;

2) Если ABCD - ромб, то KLMN – прямоугольник;

3) Если ABCD - квадрат, то KLMN - квадрат;

4) Если ABCD – равнобедренная трапеция, то KLMN - ромб.

Однако обратные утверждения нельзя считать верными.

Справедливость теоремы Вариньона не зависит от выпуклости четырёхугольника. Теорема Вариньона и следствие из неё остаются верными и для невыпуклого четырехугольника, и для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной (рис. 3, 4); в последнем случае может оказаться, что параллелограмм KLMN «вырожденный» - точки K, L, M, N лежат на одной прямой) (доказательство аналогично рассмотренному выше).

рис. 3

рис. 4

рис. 5

Оказывается, что даже не обязательно, чтобы исходный четырёхугольник был плоский, т. е. его вершины не обязаны попадать в одну плоскость, а теорема Вариньона всё равно верна! (рис. 5). Четырёхугольник, вершины которого не лежат в одной плоскости, называют пространственным.

Пространственный четырёхугольник можно получить, вырезав из бумаги четырёхугольник ABCD и согнув его по диагонали под некоторым углом. при этом ясно, что средние линии KL и MN треугольников ABC и ADC остаются по-прежнему их средними линиями и будут параллельны отрезку АС и равны АС/2 (здесь используется тот факт, что для пространства остаётся верным основное свойство параллельных прямых: если две прямые KL и MN параллельны третьей прямой AC, то KL и MN лежат в одной плоскости и параллельны между собой).

Таким образом, точки K, L, M, N – вершины параллелограмма; тем самым отрезки KM и LN пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Вместо четырехугольника здесь можно говорить о тетраэдре - треугольной пирамиде АВСD: середины К, L, М, N его ребер АВ, АС, СD и DА всегда лежат в одной плоскости. Разрезав тетраэдр по этой плоскости (рис. 6), получается параллелограмм KLMN, две стороны которого параллельны ребру АС и равны AC/2, а две другие - параллельны ребру ВD и равны BD/2.

рис. 6

Такой же параллелограмм – «среднее сечение» тетраэдра – можно построить и для других пар противоположных рёбер. Каждые два из этих трёх параллелограммов имеют общую диагональ. При этом середины диагоналей совпадают.

рис. 7

Таким образом, получаем интересное свойство тетраэдра: в тетраэдре 3 отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам (на чертеже отрезки KM, LN и PQ).

Итак, мы показали, что теорема Вариньона верна для выпуклого, невыпуклого, пространственного четырёхугольников, а также для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной и тетраэдра.

2. Применение теоремы Вариньона.

2. 1. Применение теоремы Вариньона к доказательству основного свойства медиан треугольника.

Продемонстрируем применение теоремы Вариньона к доказательству теоремы об основном свойстве медиан треугольника.

рис. 8а

Теорема.

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство: проведём две медианы AK и BL треугольника ABC. Пусть О – точка их пересечения. Середины сторон невыпуклого четырехугольника АCBО – точки K, L, M и N (рис. 8а) – вершины параллелограмма, причем точкой пересечения его диагоналей KM и LN для этой конфигурации будет точка пересечения медиан О. Итак, AM = MO = OK и BN = NO = OL, т.е. точка О делит каждую из медиан AK и BL в отношении 2:1.

Аналогично доказывается для медианы, проведённой из вершины С.

Для сравнения рассмотрим доказательство этой теоремы, использованное в учебнике геометрии Атанасяна Л.С.

Доказательство: рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 8б). Обозначим буквой О точку пересечения его медиан AА1 и ВВ1 и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника. Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ, поэтому и как накрест лежащие при пересечении

рис. 8б

параллельных прямых АВ и А1В1 секущими АА1 и ВВ1 . Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:.

Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1 считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Теорема доказана.

На наш взгляд, доказательство с помощью теоремы Вариньона проще.

2. 2. Применение теоремы Вариньона к решению задач.

Рассмотрим применение теоремы Вариньона к решению планиметрических задач повышенной трудности. Дело в том, что планиметрические задачи на олимпиадах встречаются значительно чаще.

Мы будем называть параллелограмм KLMN параллелограммом Вариньона, а отрезки КМ и LN, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника АВСD - средними линиями этого четырёхугольника.

Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р-середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P – параллелограмм, А1С1 – его диагональ и К – середина А1С1, значит, К – середина и второй

диагонали параллелограмма В1Р. Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1, но PD1 –

рис. 9

средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

Задача 2. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии треугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей?

Решение: верно, так как параллелограмм Вариньона существует для любого выпуклого четырёхугольника. Например, условию задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN на рис. 10.

рис. 10

Задача 3. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60˚. Найдите диагонали четырёхугольника.

Решение: пусть KM=a, LN=b, (рис. 10). Тогда NM=, а LT=.

Из треугольника LTM по теореме косинусов . Но LM= BD, поэтому , откуда BD=. Аналогично из треугольника TNM найдём MN, потом вычислим AC: AC=.

Ответ: ;

Задача 4. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Доказательство: в параллелограмме Вариньона, как и в

любом другом параллелограмме, сумма квадратов рис. 11 диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т.е. Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD (рис. 11), получим: KM2+LN2=1/2(AC2+BD2), AC2+BD2=2(KM2+LN2).

Задача 5. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Доказательство:

(рис. 12).

Учитывая, что , KL=1/2 AC и KN=1/2 BD, получим: рис. 12

Задача 6. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины

сторон, равновелики.

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников (задача 5), тем самым их равновеликость доказана.

Задача 7. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство: в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис. 13), а

площадь ромба равна половине произведения диагоналей: рис. 13

, тогда .

Задача 8. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d1 и d2, а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение: из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны (рис. 12). Значит, KLMN – прямоугольник и SKLMN= d1d2, а с другой стороны, SKLMN=1/2 SABCD, следовательно, SABCD= d1d2.

Ответ: SABCD= d1d2.

Задача 9. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Доказательство: согласно рис. 14 необходимо доказать, рис. 14

что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. (). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .

Задача 10. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середину его диагоналей.

Доказательство: согласно рис. 11 надо доказать, что. Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда . Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, (задача 7).

Итак, получаем: , откуда:

AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2+4EF2.

Задача 11. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Решение: пусть в трапеции ABCD, которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD, отрезка LN и величина угла А (рис. 15). Поскольку и , нетрудно построить

по трём сторонам треугольник KLN. Далее построим его до параллелограмма рис. 15

Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

В ходе работы мы прорешали более двадцати пяти задач, формулировки и решения наиболее интересных из них дополнительно приведены в приложении. Мы убедились в том, что теорема Вариньона помогает красиво, оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников.

Заключение.

В процессе исследования мы узнали о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрели доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показали, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировали применение теоремы; убедились в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнали много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Таким образом, мы считаем, что цель работы достигнута.

Наше исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии. Работа перспективна, т.к. геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё большую роль в познании мира.

Список использованной литературы.

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: учебник. – М.: Просвещение, 2002.

2. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учебник. – М.: Просвещение, 2003.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к школьному учебнику 8 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Вита-Пресс, 2002.

4. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к школьному учебнику 9 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Вита-Пресс, 2002.

5. Вагутен В.Н. Средние линии// Журнал «Квант». – 1989. – № 6.

6. Глейзер Г.И. История математики в школе, 9-10 кл. – М.: Просвещение, 1983.

7. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 кл. – СПб: АКАЦИЯ, 1995.

8. Ильин В. Применение теоремы о средней линии треугольника к решению задач// Газета «Математика». Объединение педагогических изданий «1 сентября». – 1998. – № 48.

9. Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1997.

10. Филипповский Г.Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи// Журнал «Математика в школе». – 2006. – № 4.

11. Шарыгин И.Ф. Решение задач. Пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

12. Энциклопедический словарь юного математика// Сост. Савин А.П. –

М.: Педагогика, 1985.

13. Энциклопедия. Т.11. Математика. – М.: Аванта +, 2000.

Приложение

ЗАДАЧИ, КОТОРЫЕ РЕШАЮТСЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ

ТЕОРЕМЫ ВАРИНЬОНА.

Задача 1. В выпуклом шестиугольнике середины сторон соединены через одну. Доказать, что центры тяжести двух образовавшихся треугольников совпадают.

Задача 2. Докажите, что периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей четырёхугольника ABCD.

Задача 3. Докажите, что средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 4. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии четырёхугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей? (Ответ: верно).

Задача 5. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60°. Найдите диагонали четырёхугольника. (Ответ: ).

Задача 6. Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Задача 7. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Задача 8. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Задача 9. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.

Задача 10. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Задача 11. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Задача 12. В четырёхугольник ABCD вписывают всевозможные параллелограммы, стороны которых параллельны диагоналям четырёхугольника. Какой из этих параллелограммов имеет наибольшую площадь? (Ответ: параллелограмм Вариньона).

Задача 13. Внутри четырёхугольника ABCD, имеющего площадь S, берётся точка E и отражается относительно середин всех его сторон. Получается новый четырёхугольник A1B1C1D1. Докажите, что SA1B1C1D1=2S .

Задача 14. В четырёхугольнике ABCD отмечены точки E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажите, что SELFN<1/2 SABCD

Задача 15. Докажите, что средние линии четырёхугольника ABCD и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 16. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Задача 17. Восстановите пятиугольник по серединам его сторон.

Задача 18. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Задача 19. Восстановите параллелограмм по серединам его сторон.

Задача 20. Докажите, что точка пересечения средних линий четырёхугольника есть центроид системы четырёх точек, лежащих в его вершинах.

Задача 21. При последовательном соединении середин сторон трапеции получился квадрат со стороной а. Найдите площадь трапеции (Ответ: 2а2).

Задача 22. Даны трапеция ABCD и точка Е на её средней линии. С помощью одной линейки постройте параллелограмм Вариньона для трапеции ABCD.

Задача 23. Вершины четырёхугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом 120°. Определите вид четырёхугольника и найдите его площадь. (S=).

Задача 24. Восстановите (2n+1)-угольник по серединам его сторон.

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.

Доказательство: стороны параллелограмма Вариньона и параллелограмма A1B1C1D1 соответственно параллельны (рис. 16), KL=A1B1, KN=A1D1 (по свойству средней линии треугольника), тогда .

Задача 14. В четырёхугольнике ABCD отмечены точки E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажите, что SELFN< SABCD.

Доказательство: так как SKLMN= SABCD, достаточно доказать, что точки E и F находятся строго внутри параллелограмма KLMN.

Очевидно, что ТТ1=KL= AC и AE=EC= AC. Допустим, что точка Е совпадает с G и находится вне KLMN, тогда GC= AC >T1T2, но это противоречит равенству Т1Т2= АС. Если же точка Е совпадает с Т1, то Т1С= АС=Т1Т2, чего так же быть не может. Значит, точка Е находится внутри параллелограмма Вариньона. Аналогично можно показать, что и точка F находится внутри KLMN. Тогда

SELFNKLMN= SABCD.

Доказательство: заметим, что отрезок LN является диагональю и в параллелограмме Вариньона, и в параллелограмме ELFN (см. рис. к задаче 18). Пусть точка Т—середина диагонали LN, тогда в этой точке пересекаются отрезки LN и КМ, а также LN и EF и каждый из них, будучи диагональю параллелограмма, делится точкой T пополам.

Утверждение доказано.

Задача 21. При последовательном соединении середин сторон трапеции получился квадрат со стороной а. Найдите площадь трапеции.

Решение: четырёхугольник KLMN-параллелограмм Вариньона (квадрат). (AD+BC)/2=KM (средняя линия трапеции). Треугольник KLM прямоугольник KM= . KM||AD||BC, и LN диагонали квадрата, следовательно, LN, LN—высота трапеции. Площадь ABCD равна 2а2. Ответ: 2а²

Задача 23. Вершины четырёхугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом 120˚. Определите вид четырёхугольника и его площадь.

Решение: Параллелограмм Вариньона KLMN—прямоугольник, так как диагонали ромба AC и BD пересекаются под прямым углом, а значит и параллельные им стороны KN и KL. SKLMN= SABCD (см. задачу 5). SKLMN= AB2 sin ABC. Площадь KLMN равна

Ответ:

Рецензия на работу

«Теорема Вариньона и ее применение к решению задач»

Работа строится на хорошем знании теоретического материала и излагается в доступной форме.

Автор изучила теорему Вариньона, которая не изучается в школьном курсе геометрии, и ее доказательство для различных видов четырехугольников, самостоятельно решила достаточное количество задач, показав на практике преимущество этой теоремы перед другими способами решения. В процессе своей работы автор систематизировала и обобщила данные из различных источников информации.

Все части работы связаны по смыслу, располагаются последовательно, имеется вывод.

Работа рекомендуется на научно- практическую конференцию «Шаг в будущее».

Научный руководитель: Минеева И .А. , учитель математики Иволгинской СОШ

3 загадки Солнечной системы

Самый главный и трудный вопрос

Одна беседа. Лев Кассиль

Хрюк на ёлке

Иван Васильевич меняет профессию