Число действительных корней многочлена с действительными коэффициентами

V Региональной открытой научно-практической конференции для обучающихся «Открытие»

Работа на тему:

«Число действительных корней многочлена с действительными коэффициентами» 

Подготовил

Поплавский Михаил Андреевич

Ученик 102 класса

Муниципального автономного

общеобразовательного учреждения

«Лицей математики и информатики»

 Кировского района г. Саратова.

Руководитель проекта: Ларионова Н. Е.

Саратов 2020

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ………………………………………………………………….......2

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………3

ГЛАВА I. Границы корней…………………………………………………………4

ГЛАВА II. Число действительных корней…………………………………………7

ГЛАВА III. Приближённое вычисление значений корней…………...…………...9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………........10

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………...……………...11

Введение

Самые различные проблемы механики, физики и всевозможных отраслей техники сводятся к вопросу о корнях многочленов, притом иногда достаточно высоких степеней. Но мы знаем, что не существует метода разыскания точных значений корней многочленов с числовыми коэффициентами. Это явилось поводом для многочисленных исследований, целью которых являлось научиться делать те или иные высказывания о корнях многочлена с числовыми коэффициентами, не зная этих корней. Для многочленов с действительными коэффициентами разрабатывались методы определения числа их действительных корней, разыскивались границы, между которыми могут находиться корни и т. д. Так же много исследований было посвящено методам приближенного вычисления корней с заданной точностью. Все эти исследования составляли в свое время основное содержание высшей алгебры.

Цель работы: представление теоретического материала о действительных корнях многочленов с действительными коэффициентами.

Задачи:

1. Познакомиться с вопросом определения границ корней;
2. Познакомиться с вопросом о числе действительных корней многочленов с действительными коэффициентами;
3. Научиться вычислять приближенные значения корней.

Глава I. Границы корней.

Исследование действительных корней многочлена  с действительными коэффициентами начнём с рассмотрения графика этого многочлена: действительными корнями многочлена будут абсциссы точек пересечения его графика с осью x и только они. Рассмотрим, например, многочлен

.

Построим график этого многочлена (рисунок 1), беря лишь целые значения x и вычисляя соответствующие значения : 

По графику видно, что многочлен  имеет по крайней мере три действительных корня – два отрицательных корня  и  и положительный корень , причем , , .

Мы нашли 3 действительных корня данного многочлена . Однако остаётся сомнение, действительно ли нами найдены все корни. Так, в рассмотренном примере не было показано, что левее точки  и правее точки  корней нет. Более того, так как мы брали только целочисленные значения , то можно допустить, что построенный нами график не вполне точно отражает истинное поведение функции , не учитывает ее более мелкие колебания и поэтому упускает некоторые корни.

Отсюда вытекает потребность в более совершенных методах для разыскания границ, между которыми расположены действительные корни многочлена с действительными коэффициентами, и для определения числа этих корней.

Для следующих теорем будем пользоваться многочленом:

Начнем с теоремы, дающей наиболее грубую оценку границы корней данного многочлена.

Теорема 1.

Пусть . Тогда все корни уравнения удовлетворяют следующему неравенству:

Доказательство данной теоремы представлено не будет за ненадобностью (см. список литературы/1/).

Теорема 2.

Пусть  – максимум абсолютных величин отрицательных коэффициентов, и пусть , первый отрицательный коэффициент. Тогда все положительные корни многочлена меньше  . Если отрицательных коэффициентов нет, то нет и положительных корней.

Теорема 3(метод Ньютона).

Пусть , тогда если при  и все его последовательны производные  принимают положительны значения, то число c служит верхней границей положительных корней многочлена.

Теперь мы можем определить границы положительных корней многочлена. Покажем, что в самом деле достаточно находить лишь верхнюю границу положительных корней многочлена. Рассмотрим многочлены:

Пусть верхние границы их положительных корней соответственно равны  , а  равна . Если  – положительный корень многочлена , то  – положительный корень многочлена , тогда . Аналогично числа  служат соответственно нижней и верхней границами отрицательных корней многочлена . Значит, все положительные корни многочлена  удовлетворяют неравенства , а отрицательные неравенствам .

Вернемся к многочлену  и найдем границы его корней.

Воспользуемся последним представленным методом определения всех границ.

По теореме 2 верхние границы положительных корней многочленов  равны соответственно

Таким образом положительные корни находятся между числами  , а отрицательные между числами .

Для этого же многочлена найдем границы корней с помощью метода Ньютона.

Легко проверить что это многочлены принимают положительные значения при  . Таким образом, число 2 является верхней границей положительных корней многочлена .

Аналогично для многочленов  найдем верхние границы положительных корней, применяя метод Ньютона. Это будут числа соответственно 1, 5, 4. Значит все положительные корни расположены между числами 1 и 2, а отрицательные между числами -5 и . Этот результат очень хорошо согласуется с тем, что было найдено при рассмотрении графика.

Заметим, что метод Ньютона дает более точные границы корней, чем предыдущий метод.

Глава II. Число действительных корней.

Теперь перейдем к вопросу о числе действительных корней многочлена с действительными коэффициентами. Существует несколько методов для разыскания точного числа корней, однако все они довольно громоздки; среди них более удобным является метод Штурма.

Для начала введем одно определение. Пусть дана некоторая упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля, например:

Выпишем последовательно знаки этих чисел:

Заметим, что в системе знаков три раза стоят рядом противоположные знаки. Ввиду этого говорят, что система имеет три перемены знака.

Рассмотрим многочлен  с действительными коэффициентами, не имеющий кратных корней. Конечная упорядоченная система отличных от нуля многочленов с действительными коэффициентами  называется системой Штурма для многочлена , если выполняются следующие условия:

1)Соседние многочлены системы не имеют общих корней.

2)Последний многочлен, , не имеет действительных корней.

3)Если α– корень одного из промежуточных многочленов системы, то два соседних к нему многочлена имеют разные знаки.

4)Произведение  меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через корень

Теорема Штурма. Если действительные числа  и , , не являются корнями многочлена , не имеющего кратных корней, тогда число корней, заключенных между  и , равно разности между числом перемен знака в системе Штурма при  и числом перемен знака при .

Построим систему Штурма для нашего многочлена.

В качестве чисел  и  можно взять нижнюю границу отрицательных и верхнюю границу положительных корней. Проще, однако, в качестве  и  взять следующие значения. Для достаточно больших положительных значений x знак многочлена будет совпадать со знаком старшего члена. То есть существует такое , быть может и очень большое, что при  знаки всех многочленов системы будут совпадать со знаками их старших членов. Это значение x, вычислять которое не имеет смысла, условно обозначают символом . С другой стороны, существует столько большее по абсолютной величине отрицательное значение , для которого знаки многочленов системы совпадает со знаками их старших коэффициентов для многочленов четной степени и противоположный знак для многочленов нечетной степени, обозначим это значение . Очевидно, что в промежутке  содержатся все действительные корни всех многочленов системы Штурма.

Теперь, определим знаки многочленов при  и .

Следовательно, по теореме Штурма число действительных корней многочлена  равно разности числа перемен знаков при  и , что равно трем. Отсюда видно, что при построении графика этого многочлена мы не упустили ни одного корня.

Глава III. Приближённое вычисление значений корней.

Указанные в предыдущих главах методы позволяют отделить действительные корни многочлена с действительными коэффициентами, т. е. указать для каждого корня указать границы, между которыми находится только один этот корень. Таким образом, после того как были найдены такие рациональные числа a и b, что между ними находится только один корень многочлена с действительными коэффициентами, остается задача настолько сузить эти границы до таких чисел a’ и b’, которые имеют заданное число совпадающих первых десятичных знаков, тем самым корень будет вычислен с заданной точностью.

Рассмотрим два таких метода. Будем считать дальше, что α простой корень многочлена , и что он уже отделен границами  и , , следовательно  и  имеют разные знаки.

В качестве приближенного значения α можно было принять, например, полусумму границ  и , , т. е. середину отрезка . Но логичнее предположить, что корень лежит ближе к той границе, которой соответствует меньшее по абсолютной величине значение многочлена. Таким образом, в качестве приближенного значения корня α берется такое число β, делящее отрезок (a,b) на части пропорциональные абсолютным величинам чисел  и , т.е. ; знак минус в провой части поставлен, т.к.  и  имеют разные знаки. Отсюда . Этот метод называется методом линейной интерполяции.

Применим этот метод к нашему многочлену .

Рассмотрим корень . Тогда . Тогда .

Также существуют другие методы, но этот наиболее удобен и прост в использовании.

Заключение

Изучили теоретический материал о действительных корнях многочленов с действительными коэффициентами, а также научились им пользоваться.

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Литература

1.Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, Т.2. М.: ГИФМЛ, 1959. - 620 с.

2.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М., 1965.

3.Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М., 1979.

Интернет-ресурсы

1.https://old.math.tsu.ru/EEResources/cm/

Вспомогательные сайты и программы

1.https://www.desmos.com/calculator

2.https://www.wolframalpha.com/