Проект на тему "Шутка гениев: флексагон"

       Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Заинская средняя общеобразовательная школа №3» Заинского муниципального района Республики Татарстан

Шутка гениев: флексагон

Проект

              Авторы:  Альдерханова Азалия,

                                                                                                     Жданова Диана.

                                                                                     Научный руководитель:    

                                                                                     Хасметдинова Анна Александровна

2021 г

Оглавление

1. Введение
2. Основная часть

1. История открытия флексагонов
2. Флексагоны. Виды флексагонов
3. Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона
4. Применение флексагона

3. Заключение
4. Список литературы

                                              Основная часть

Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Происходит это слово от английского toflex, что означает «складываться, гнуться». Если бы не одно случайное обстоятельство – различие в формате английских и американских блокнотов, – флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Флексагон – это математическая головоломка. Очень увлекательная, забавная игрушка, обладающая удивительными свойствами.

Флексор – вращающиеся кольца тетраэдров.  Эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.

Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Флексагоны это многоугольники, сложенные из полос бумаги прямоугольной или же более сложной, изогнутой формы, которые обладают необычным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.

Флексагон (от англ. toflex, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

История открытия флексагонов

В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик БрианТаккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - 82 способами…

Тетрафлексагоны были открыты на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и в детских игрушках. Также флексагоны натолкнули на идею создания фильма и т.д.

Флексагоны. Виды флексагонов

Флексагоны бывают следующих видов:

• Унагексафлексагон.

• Дуогексафлексагон.

• Тригексафлексагон.

• Тетрагексафлексагон.

• Гексагексафлексагон.

Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.)

Тригексафлексагон:«три» - число поверхностей, «гекса» - число углов.

Гептагексафлексагон- число поверхностей и углов (шесть поверхностей и шесть углов)

          Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона

1.Складывание тригексафлексагона.

Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рисунке. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см.

2.Складывание гексагексафлексагона

Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1,2,3; треугольники на другой стороне - цифрами 4,5,6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

                                     Применение флексагонов

В ходе выполнения проекта было ясно, что флексагоны и флексоры представляют собой занимательные головоломки и необычные игрушки. Но где ещё встречаются эти модели?

Оказалось, что флексагоны и флексоры могут быть основой творчества. Например, известно, что когда изобретатель флексагонов Артур Х. Стоун и его друзья создали и исследовали игрушку, они попутно придумали историю об одном джентльмене, у которого в флексагон попал кончик галстука. Порвать, любовно сделанную игрушку было жаль, и он продолжал играть, напрасно надеясь, что при очередном перегибании удастся освободиться. Эта сочиненная история легла в сюжет любительского фильма «Осторожно, математика!»

Флексагоны и флексоры применяются как средство математического развития дошкольников и школьников младших классов. Это один из перспективных подходов к математическому развитию ребенка. Являясь ориентацией на математическое моделирование, с помощью которого дети активно овладевают построением и использованием разного рода предметных, графических и мысленных моделей. Флексагоны, как средство математического моделирования, имеют следующие отличительные черты:

1) экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм;

2) доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке;

3) многоплановый развивающий характер: флексагоны и флексоры способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование представлений по всем разделам математики для дошкольников; хороши для освоения понятий «время», «величина», «пространство» и многое другое.

Флексоры могут быть основой творчества. Изучив флексоры, смогли убедиться, что их можно использовать не только как интересные геометрические головоломки, но и найти им много других применений:

• познавательные игрушки для малышей;
• качестве фоторамки, для которой не требуется специальная подставка; на все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса),такой фоторамке не требуется специальная подставка.
• подарить друзьям в качестве сувенира (в современном мире изделия, выполненные своими руками ценны);
• во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки (полезно и интересно);
• флексоры, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.

Заключение

Наша работа посвящена изучению свойств флексагонов и флексоров, истории их возникновения и применению в обычной жизни.

Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и флексоров, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны и флексоры воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного нам «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны и флексоры – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многоугольники и многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.

Было интересно заниматься этой работой, потому что, научившись практически изготавливать изгибаемые многоугольники и многогранники, мы через геометрию занимательную погрузились в мир геометрии научной. Мы познакомились с трудами известных математиков, изучили свойства треугольника и шестигранника, методику построения равностороннего треугольника и тетраэдра, изучили вопрос жесткости многогранников.

Проблемы флексологии - науки о построении и всяческих закономерностях флексагонов, не занимают в созвездии наук столь серьезного положения. Тем не менее, многие люди отдают ей значительную долю своего свободного времени. И это не случайно. Флексология - одна из немногих наук, которыми можно заниматься как в одиночку, так и коллективами. Плодотворным занятиям этой наукой не мешают ни молодость, ни преклонный возраст. А главное, что подробного изложения теории нет до сих пор, и ничто не мешает нам, играя с самодельнымифлексагонами попытаться вывести собственную теорию. Нами были изучены флексагоны - шестиугольники, флексоры - многогранники, но возможны и другие формы, поэтому работа может быть продолжена. Есть ещё одна положительная сторона: занимаясь проектом , нам пришлось выполнять много измерений, чертежей, построений. Держа в руках флексоры и флексагоны, я наглядно представляла отличие пространственной фигуры от плоскоской. В результате, с началом геометрии в седьмом классе, мы надеемся легко и быстро выполнять чертежи и измерения, а понятия планиметрия и стереометрия станут нам сразу понятны.

Работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров.

Литература

Книги[

1. Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения = MathematicalPuzzlesandDiversions / Пер. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е. — М: Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8.
2. Les Pook. Flexagons Inside Out. — Cambridge University Press. — 182 с. — ISBN 0-521-81970-9.
3. Les Pook. Serious Fun with Flexagons: A Compendium and Guide. — 2009 edition (August 17, 2009). — Springer. — 346 с. — ISBN 978-90-481-2502-9.

Статьи[править]

1. А. А. Панов Флексагоны, флексоры, флексманы // Квант. — 1988. —. —.
2. И. Кан Аномальныефлексагоны // Квант. — 1992. —. —.
3. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. —. —. Тригексафлексагон
4. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. —. —. Гексагексафлексагон, путь Таккермана
5. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. —. —. Другие гексафлексагоны
6. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. —. —. Переписка с читателями
7. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. —. —. Тетрафлексагоны
8. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. —. —. Флексотрубка Стоуна
9. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. —. —. Флексотрубка Стоуна (продолжение)
10. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. —. —. Гексатетрафлексагон, декатетрафлексагон, приставки IUPAC
11. И. Константинов Флексагонными тропами // Наука и жизнь. — 1977. —. —. Туннельный перевод
12. Флексагоны // Наука и жизнь. — 1977. —. —. Пространственные модели диаграмм перевода. Пентациркодекафлексагон
13. И. Кан Гемитетрафлексагоны // Наука и жизнь. — 1992. —. —. Гемитетрафлексагоны
14. И. Кан Гемитетра- и гемигексафлексагоны // Наука и жизнь. — 1993. —. —.
15. И. Кан Треугольныефлексагоны // Наука и жизнь. — 1993. —. —.

Приложения

Гексагексафлексагон                                

Тетрафлексагон

Тетрагексафлексагон