Проект на тему "Загадка простых чисел"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЗАИНСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №3»

 ЗАИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ЗАГАДКА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

ПРОЕКТ

                                                                                                           Авторы:

                                                                                                ГильмановаАделина, 7 А класс

Шестипёрова Виктория, 7 А класс

                                                                                                           Научный руководитель:

                                                                                                           Хасметдинова А.А.

2021 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение
2. Основная часть
3. Заключение
4. Список литературы

Введение

Цель: изучение множества простых чисел.

Задачи:

1.Изучить свойства и особенности простых чисел.

2.Изучить методы для нахождения простых чисел (теория Чебышева).

3.Выяснить применение простых чисел.

Методы исследования:

1.Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2.Наблюдение, сравнение, анализ, обобщение и систематизация изученного материала.

Актуальность:

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Из них с помощью умножения получаются все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Но эта проблема до сих пор остается нерешенной. Как сказал Евклид: самого большого простого числа не существует.

Гипотеза:

Если эти числа называются «простыми», то все эти числа давно изучены и про них уже все известно.

Основная часть

1.Простые числа и их свойства

Сложно сказать, когда люди впервые задумались о простых числах, некоторые ученые предполагают, что это произошло более двадцати тысяч лет назад. На папирусах древних египтян  были найдены ряды простых чисел. Древние греки тоже внесли свой большой вклад в историю возникновения простых чисел. Евклид нашел и доказал различные свойства простых чисел. Когда римляне завоевали Грецию, они сохранили все их математические исследования и перевели их на латинский язык. Арабские математики, изучив исследования греков, также внесли свой вклад в историю возникновения простых чисел.

Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 в. до н.э. , уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В своей книге Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного.

Евклид определял простые числа так: “Простое число есть измеряемое только единицей”. Иными словами, простые числа не имеют других делителей, кроме единицы и самого себя.  Например, 5,7,13, 47.

Рассмотрев числовой ряд простых чисел, мы обратили внимание на то, что:

1. Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица — матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония. Единица и в самом деле — число уникальное по свойствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень равна тому, же самому числу — единице! После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

2. Единственное чётное простое число 2. Все остальные простые числа нечётные. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.

3.Как и множество натуральных чисел, множество простых чисел бесконечно. Простые числа никогда не прерываются и никогда не заканчиваются.

3.Простые числа – близнецы.

Называют их так потому, что они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным разграничителем.

Сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно. По мере удаления от нуля близнецы встречаются всё реже и реже.

2. Способы нахождения простых чисел.

Поиск простых чисел — одна из самых парадоксальных проблем математики. Ученые пытались решить ее на протяжении нескольких тысячелетий, но, обрастая новыми версиями и гипотезами, эта загадка по-прежнему остается неразгаданной. Появление простых чисел не подчинено какой-либо системе: они возникают в ряду натуральных чисел самопроизвольно, игнорируя все попытки математиков выявить закономерности в их последовательности. Над поиском максимально больших простых чисел в своё время бились Катальди, Рене Декарт, Пьер Ферма, Марен Мерсенн, Эйлер и многие другие математики.

Распределение простых чисел в натуральном ряду

1. Открытие П.Л. Чебышева

Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распределении или нет?

Большой шаг в разрешении этого вопроса сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число. 

2. Скатерть (спираль) С. Улама.

Как гласит легенда, однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1, и, двигаясь по спирали против часовой стрелки, записывал все натуральные числа до 100. Без всякой мысли Улам обводил все простые числа кружками. Каково было его удивление, когда он увидел, что простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых линий!

Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000, из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

Эйлер, Ферма, Лежандр и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел.

3. Применение простых чисел

«Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Простые числа - столп всех систем криптографии.  Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр. Давайте попробуем проиллюстрировать проблему, с которой сталкивается дешифровщик для расшифровки пароля. Допустим, паролем является один из делителей составного числа, а дешифровщиком выступает человек. Возьмем число из первого десятка, например, 8. Каждый человек способен в уме разложить число 8 на простые множители – 8=2*2*2. Усложним задачу: возьмем число из первой сотни, например, 111. В этом случае 111 быстро разложат в уме на множители люди, знающие признаки делимости числа на 3, и действительно - 111=3*37. Усложняя задачу, возьмем число из первой тысячи, например 1207. Человеку (без использования машинной обработки) потребуется, как минимум, бумага и ручка, для того чтобы перепробовать деление числа 1207 на «все» предшествующие этому числу простые числа. И только перебрав последовательно деление 1207 на все простые числа от 2 до 17 человек, наконец то, получит второй целый делитель данного числа – 71. Однако и 71 необходимо так же проверить на простоту.

Становится понятно, что с увеличением разрядности чисел, например, пятизначного числа - 10001, разложение без машинной обработки займет большое количество времени. Современный этап развития компьютерной техники (доступный рядовому пользователю) позволяет за считанные секунды раскладывать на множители числа, состоящие из шестидесяти цифр.

На сегодняшний день разложить числа, состоящие из тысячи и более цифр, способны только компьютеры.  Именно с их помощью ученные находят все новые и новые, наибольшие из известных, простые числа.

4. Практическая работа:

1. Рассмотрим числа близнецы. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:

Более того (за исключением первой пары), при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого – единица.

2. При делении на 30  все квадруплеты, кроме первого и второго, дают одну и ту же четвёрку остатков:

(11, 13, 17, 19).

Проверим:

(101, 103, 107, 109)

101: 30 = 3 (остаток 11), 103 : 30 = 3 (остаток 13), 107 : 30 = 3 (остаток 17), 109 : 30 = 3 (остаток 19)

(191, 193, 197, 199)

191 : 30 =6 (остаток 11), 193 : 30 = 6 (остаток 13), 197 : 30=3 (остаток 17), 199 : 30 = 6 (остаток 19)

3.В практической части своей работы мы решили проверить теорию Чебышева на несложных примерах. Примем для n несколько произвольных значений и найдем соответственно значение 2n.

n = 11, 2n = 22; простые числа: 13,17,19

n = 25, 2n = 50; простые числа: 29,31,37

n = 54, 2n = 108; простые числа: 59,61,67

n = 99, 2n = 198; простые числа: 101,103,107

Мы определили, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна. Чебышев доказал ее для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел.

4.При подготовке проекта нам мне встречались интересные факты про простые числа. Вот один из них.

В 18 веке были открыты простые числа:

 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331.

Удивительно, но следующее число 333333331 не является простым, оно делится на 17.

Заключение

Проведя свои исследования и анализируя научно-популярную литературу, я сделал следующие выводы:

1. Для простых чисел не существует 100% доказанной формулы или закономерности, описывающих распределение простых чисел в бесконечном натуральном ряду.
2. Не существует самого большого простого числа, последовательность простых чисел бесконечна.
3. Многие ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение темы «Простые числа».
4. Простые числа не совсем соответствуют значению и определению слова «простой». По своей сути они очень сложны, многогранны и хранят много тайн, неизвестного. Наша гипотеза не подтвердилась.
5. В настоящее время исследование простых чисел  продолжается.

«Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?»

Ч. Узерелл

Список литературы:

1. Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. — № 4. — С. 9-14,38.

2.  Интернет ресурсы:

http://www.numbernautics.ru/chislonautics/804-2012-05-25-14-38-53

http://fb.ru/article/60293/prostyie-chisla-obyidennost-nerazgadannoy-zagadki

http://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число

https://vallentinn.livejournal.com/150597.html

http://www.etudes.ru/en/