Проект по математике «Линейная функция и ее свойства в физических процессах»

 Проект по математике «Линейная функция и ее свойства в физических процессах»

Автор работы: Магомедов Аюб

 Руководитель проекта: Александрова Г.В.

Учреждение: МКОУ «Краснопольская ООШ» Яшалтинский район Республика Калмыкия

 Класс: 7

Оглавление

Введение
Основная часть
Глава 1. Общие свойства функции.
1.1. Способы задания функции.
1.2. Свойства линейной функции.
Глава 2. Линейная функция в физических процессах.
2.1. Зависимость перемещения от времени при постоянной скорости.
2.2. Задача "Про Колобка".
2.3. Задача "Грибная пора".
2.4. Задача "Движение плота и моторной лодки".
2.5. Задача "Артем – путешественник".
2.6. Правила применения графического способа решения задач по математике.
2.7. Графический способ решения еще одной задачи на движение.
Заключение.
Список используемой литературы.

Введение

Природа формулирует свои законы
языком математики.
Г. Галилей

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства, и что особенно важно взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности встречаются количественные соотношения, и математика изучает их в свойстве чисел.

Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде изучает различные законы и их взаимодействия, которые на математическом языке называют функциональными зависимостями, или функциями.

Линейная функция и ее свойства являются весьма существенным звеном при изучении курса математики. Многие физические законы, пространственно-временные формы жизни и их количественные отношения выражаются с помощью линейной функции, поэтому исследование данного вопроса является актуальным.

Цель проведенной мной работы: исследовать линейную функцию и ее свойства, убедиться в существовании линейной зависимости между некоторыми объектами механики: перемещения от времени, действующей силы от удлинения пружины, силой трения и весом тела.

Для достижения поставленной в работе цели мной решались следующие задачи:

• изучить понятие функции;
• исследовать взаимное расположение графиков линейной функции на координатной плоскости в зависимости от значений её коэффициентов;
• изучить методику решения текстовых задач на движение с помощью графиков линейной функции;
• постараться составить интересные задачи на основе реальных ситуаций и полностью решить их с помощью графиков линейной функции.

Глава 1. Общие свойства функции.

Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1962 г. у  (1646-1716), правда в некотором более узком смысле.

В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу швейцарский ученый  (1667-1748).

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX века.

Рассмотрим определение функции, способы ее задания и некоторые ее свойства.

Линейная функция - функция , которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x – независимая переменная, k, b - некоторые числа. Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять две точки.

Если x=0, то y=b.

Если y=0, x= -b/x.

Таким образом, график линейной функции проходит через точки (0;b) и (-b/k;0).

1.1. Способы задания функции.

1. Аналитический способ  – это способ задания функции с помощью формул. Такой способ задания функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах.

2. Табличный способ – это способ задания функции с помощью таблицы. Часто используется в математике: таблицы квадратов и кубов чисел, таблицы логарифмов.

3. Графический способ – это способ задания функции с помощью графика.

Функция у = f(х) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство f(-х)= f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство f(-х)= -f(х).

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

1.2. Свойства линейной функции.

1. Область определения – вся числовая прямая.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. При k<0 – функция убывает, при k>0 –  функция возрастает.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

По значению k можно определить угол α, который прямая y=kx+b образует с положительным направлением оси Ox.

4. Графиком линейной функции является прямая, составляющая с положительным лучом оси х угол α и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

5. Если k=0, линейная функции принимает вид y=b. График этой функции — прямая, параллельная оси Ox.

Например, на рисунке изображены графики линейных функций y=2 и y= -4.

Функция в этом случае постоянная (ни возрастает, ни убывает).

Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональность. 

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у=kx, где k – не равное нулю число.

Свойства функции у=kx:

1. Область определения – вся числовая прямая.

2. Функция нечетная.

3. При k<0 – функция убывает, при k>0 – функция возрастает.

Линейная функция простейшая и, можно сказать, одна из важнейших среди всех функций.

Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции.

Глава 2. Линейная функция в физических процессах.

Учитывая все сделанные выводы по проведению графиков линейной функции, мы можем использовать в решении многих практических задач из реальной жизни, где присутствует линейная зависимость величин.

Я рассмотрел наиболее популярную, часто встречающуюся в жизни линейную зависимость – это прямолинейное равномерное движение.

Равномерным называют такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит соответственно равные расстояния. Для характеристики геометрических свойств движения вводятся такие понятия, как «траектория», «система отсчета» и такие величины, как «путь», «перемещение».

t– время движения;

υ – скорость передвижения.

Ф υ = S/t

Из формулы скорости следует, что перемещение тела при равномерном движении находится по формуле: S=υt.

Ф называют уравнением движения. Полученная формула описывает уравнение прямолинейного равномерного движения.

2.1. Зависимость перемещения от времени при постоянной скорости.

Цель: Определить вид зависимости перемещения от времени при прямолинейном равномерном движении.

Необходимо идти по дороге с постоянной скоростью. Через каждые пять секунд отмечаю,  какое расстояние пройдено. Пройдя так, у меня получилась таблица, в которой отражены результаты эксперимента.

Вывод: как показано на графике перемещение тела линейно (или почти линейно) зависит от времени при постоянной скорости.

Я решал графическим способом некоторые задачи на движение из нашего учебника «Алгебра 7», которые в свое время были решены нами на уроках с помощью уравнений.

Я очень обрадовался, что нашел такой легкий и удобный способ, который значительно упрощает решение многих задач на движение. Решив данные задачи, я вывел для себя определенные и полезные правила применения графического способа в их решении.

2.2. Задача "Про Колобка".

Колобок отдыхал на поляне в двух метрах от дуба. Вдруг поднялся ветер и перенес Колобка на 10 м за 4 секунды. На каком расстоянии от дерева находился Колобок через три секунды после начала движения? Через какое время он окажется в семи метрах от дуба?

Решение.

Составим таблицу значений аргумента времени х (с) и значений функции расстояния от времени у(м) в формуле движения Колобка y=у(х). В этой таблице выделим синим цветом известные числовые данные задачи, а красным – неизвестные числовые данные задачи.

- В координатной плоскости sOt отметим точки с соответствующими координатами, указанными в таблице, и, учитывая линейную зависимость у = kx+b прямолинейного движения и её график, построим полупрямую, исходящую из точки (0;0) и проходящую через точку (4;12).

Ответом на первый вопрос задачи является ордината точки прямой с абсциссой 3, а на второй вопрос – абсцисса точки прямой с ординатой 7

Через 3 секунды после начала движения Колобок был в 9,5 метрах от дерева.

В 7 метрах от дерева Колобок был через 2 секунды.

Ответ: 9,5 м, 2 с.

2.3. Задача "Грибная пора".

Скорость роста гриба в теплую погоду равна 4мм/мин. На сколько бы вырос гриб и какова бы была его высота, если бы он рос с такой же скоростью1ч и его первоначальная высота была 10 мм?

Решение:

По условию задачи предполагается, что рост гриба происходит равномерно, следовательно, мы имеем дело с линейной функцией y = h(t), где t(мин) – аргумент функции роста гриба или абсцисса точки, h(t) (мм) – значение функции роста гриба или ордината точки на координатной плоскости.

Определив вид функции по смыслу задачи, можем выделить из условия задачи координаты двух точек.

Через отмеченные в координатной плоскости точки построим прямую и по ней найдём ответ – значение функции по значению аргумента t = 1 ч = 60 мин.

В задаче используются большие значения данных, поэтому для применения графического способа важно правильно выбрать удобный масштаб.

Оптимальным будет масштаб по оси абсцисс Оt 5мин в 2-х клетках, по оси ординат Оh – 10мм в 1-й клетке. Скорость роста гриба слишком мала, поэтому полезно провести вычисление дополнительных удобных данных: 4мм/мин х 5 мин = 20 мм.

Т.к. начальная ордината полупрямой у = 10, то ордината точки при значении аргумента 5 равна 20+10=30. Значит, можно составить таблицу данных для построения графика.

По графику находим ординату точки прямой с абсциссой 60.

Итак, высота гриба через 1 час будет равна 250 мм, гриб вырос на 250мм – 10мм = 240 мм.

Ответ: 250 мм, на 240 мм.

2.4. Задача "Движение плота и моторной лодки".

Из двух поселков, находящихся на расстоянии 35 км, одновременно, в одном направлении вышли плот и моторная лодка. Скорость плота 2,5 км/час, скорость моторной лодки 9,5 км/час. Через сколько часов моторная лодка догонит плот? Какое расстояние будет между плотом и лодкой через 1 час, через 3 часа?

Решение:

Построим график s=vt

1. Скорость моторной лодки v=9,5 км/ч

2. Скорость плота v= 2,5 км/ч

Моторная лодка догонит плот через 5 часов.

Через час расстояние будет 37,5-9,5=28 км

Через три часа расстояние будет 43-29= 14 км.

В предыдущих задачах мы имели дело с одной линейной функцией и уравнением движения. Но в нашей жизни чаще присутствуют комбинированные виды движений.

В этом случае графиком движения будет не одна полупрямая линия, а ломаная из нескольких отрезков.

Одну из таких представленных текстовых задач, в которой условия представлены в координатной плоскости в виде графика, мы обязательно решим.

2.5. Задача "Артем – путешественник".

Любознательный Артем отправился в путешествие.

При этом он передвигался разными способами - на мотоцикле, пешком, на вертолете.


1) Где он оказался через 2ч после начала движения?

2) Как он перемещался на каждом участке пути (в каждом звене ломаной)?

3) Сколько времени и когда отдыхал?

4) Сколько времени Артем был в пути?

Решение:

1. Через 2ч после начала движения путешественник вернулся на место старта (s=0).

2. Мы знаем, что чем больше угол наклона графика пути к оси времени, тем больше скорость тела, поэтому:

а) самый малый угол наклона графика соответствует перемещению пешком (на первом и втором участках пути);

б) на третьем участке пути турист перемещался на мотоцикле, так как угол наклона несколько больше первоначального;

в) на пятом и седьмом участках пути он перемещался на вертолёте, здесь самые большие углы наклона графика пути к оси времени, они соответствуют самым большим скоростям;

г) на четвертом и шестом участках путешественник отдыхал, так как перемещение равно нулю.

3. Турист отдыхал по 1ч там, где перемещение отсутствует, это четвертый и шестой участки всего пути.

4. Мальчик Артем всего был в пути 7 часов.

2.6. Правила применения графического способа решения задач по математике

Решив задачи, я вывел для себя определенные правила применения графического способа в их решении.

Таким образом, для того, чтобы решить текстовую задачу с помощью графиков линейной функции, надо:

1) Задать систему координат sOt с осью абсцисс Ot и осью ординат Os.

Для этого по условию задачи надо выбрать начало отсчета: начало движения объекта или из нескольких объектов избирается тот, который начал двигаться раньше или прошел большее расстояние.

По оси абсцисс отметить интервалы времени в его единицах измерения, а по оси ординат отметить расстояние в выбранном масштабе его единиц измерения.

2) Провести линии движения каждого из объектов, указанных в условии задачи, через координаты хотя бы двух точек прямых.

Обычно скорость объекта даёт информацию о прохождении расстояния за одну единицу времени от начала его движения. Если объект начинает двигаться позже, то точка начала его движения смещена на заданное число единиц вправо от начала отсчета вдоль оси абсцисс.

Если объект начинает двигаться с места, удаленного от начала отсчета на определённое расстояние, то точка начала его движения смещена вверх вдоль оси ординат.

3) Место встречи нескольких объектов на координатной плоскости обозначено точкой пересечения прямых, изображающих их движение, значит, координаты этой точки дают информацию о времени встречи и удаленности места встречи от начала отсчета.

4) Разность скоростей движения двух объектов определяется длиной отрезка, состоящего из всех точек с абсциссой 1, расположенных между линиями движения этих объектов.

5) Точки на координатной плоскости должны быть отмечены в соответствии с масштабом по условию задачи, и линии должны быть построены аккуратно. От этого зависит точность решения задачи.

Поэтому очень важно удачно выбрать масштаб делений на осях координат: его надо подобрать таким образом, чтобы координаты точек определялись более точно и, по возможности, располагались в узловых точках, т.е. в пересечениях делений осе координат.

Иногда полезно за единичный отрезок на оси абсцисс брать количество клеток, кратное условиям задачи относительно времени, а на оси ординат – количество клеток, кратное условиям задачи относительно расстояния.

Например, 12мин по времени требуют выбора числа клеток кратное 5, т.к. 12 мин составляет пятую часть часа.

6) Решение задач графическим методом требует творческого подхода и глубокого понимания процессов, описанных в задаче.

Например, в задаче на движение навстречу графики имеют начала движений в точках с разными ординатами, а прямые носят разный характер монотонности: возрастание и убывание.

В задаче на движение в одном направлении прямые одновременно или возрастают, или убывают с разной крутизной, пропорциональной разным скоростям движения объектов.

В заключение я познакомлю вас с графическим способом решения еще одной задачи на движение.

2.7. Графический способ решения еще одной задачи на движение.

От Йошкар–Олы до Сернура 90км. Между ними на трассе в 40км от Йошкар – Олы расположены посёлок Советский и деревня Верхний Ушнур в 15км от Сернура. Из Советского в направлении Сернура вышел пешеход со скоростью 4км/ч. Через 1ч 45минут после выхода пешехода из Верхнего Ушнура в Советский выехал велосипедист и доехал до Советского за 1ч 15минут.
А через 15минут после выезда велосипедиста из Сернура выехала легковая машина со скоростью 80км/ч. Известно, все они встретились в одном месте на трассе. Через какое время после и как далеко от Йошкар – Олы произошла встреча?

Решение:

1. Зададим координатную плоскость sOt c осью абсцисс Оt, на которой отметим интервалы времени движения, и осью ординат Os, на которой будем отмечать расстояние между населенными пунктами.

2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат – в двух клетках 10км; по оси абсцисс – один час в 4 клетках (в 1 клетке – 15 мин.). Йошкар – Олу отметим в начале отсчёта, Сернур в точке с координатами (0;90), посёлок Советский отметим в точке (0; 40), а Верхний Ушнур – в точке с координатами (0; 65), т.к. он удалён от Сернура на 15км (Рис. 14).

3. Построим линию движения I пешехода: начало движения отметим точкой (0;40), т.к. он вышел из посёлка Советский. Для точности построения, учитывая его скорость 4км/ч, отметим точку с координатами (5; 20), через которую проведём линию I движения пешехода.

4. Построим линию движения II велосипедиста: он начал движение в точке (1;65), т.к. выехал через 1ч 45мин. = 1ч после выхода пешехода. Велосипедист ехал 1ч 15мин. и за это время доехал до Советского, значит, его линия движения проходит через точку с координатами (3; 40).

5. Построим линию движения III легковой машины: начало этой линии будет в точке с координатами (2; 90), т.к. она выехала через 15мин. после велосипедиста из Сернура. Эта линия должна пройти через точку с координатами (3; 10), т.к. её скорость 80км/ч и она направилась в сторону Йошкар – Олы.

6. Отметим A(2,5; 50) - точку пересечения прямых I, II и Ш.

Её ордината покажет расстояние от места встречи до Йошкар–Олы: s = 50 |=> 50км расстояние от Йошкар–Олы, на котором произошла встреча.

Абсцисса точки А покажет время встречи после выхода пешехода: t = 2,5 |=> через 2ч 30мин. после выхода пешехода произошла встреча. Значит, 2ч 30мин – 1ч 45мин. = 1ч 90мин – 1ч 45мин. = 45мин. был велосипедист в пути до встречи.

Ответ: 50 км.; 45 мин.

Заключение

Исследуя вопрос связи тем «Линейная функция и её график» и «Равномерное прямолинейное движение» я пришел к выводу, что при изучении равномерного прямолинейного движения необходимо опираться на имеющиеся у нас знания о линейной функции и её графике.

Только в этом случае можно успешно выполнять задания по физике, целью которых является чтение, построение графиков скорости, пути и координаты, а также отыскание с помощью этих графиков промежуточных величин.         

Классический аппарат естествознания был создан, прежде всего, на линейной основе, равным изменениям одной независимой величины должны непременно отвечать равные перемены зависимой.

И хотя примеров линейности нашего мира множество, вся природа, однако не укладывается в рамки пусть строгой и стройной, но, увы, чересчур идеальной схемы.

Вне этих рамок - но ближе к реальности, властвует нелинейность. Законы природы естественным образом формируются на языке математики.

Изложенный в работе материал может быть использован на уроках физики при изучении темы «Равномерное прямолинейное движение», а также на дополнительных и факультативных занятиях по алгебре.

Список используемой литературы.

1. Марон А.Е., Позойский С.В. , Марон Е.А. “Сборник вопросов и задач по физике: для 7-9 классов общеобразовательных учреждений”, Москва, “Просвещение”, 2005. – 253с.

2. Булынин В. Применение графических методов при решении текстовых задач, учебно – методическая газета “Математика”, № 14, 2005

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, “Просвещение”, М., 2000.