Индивидуальный проект по математике "Теория вероятности - наука о случайных явлениях"

Государственное бюджетное образовательное учреждение

«Сахалинский политехнический центр № 2»

Индивидуальный проект

по математике

на тему:

Теория вероятности, наука о случайных явлениях.

                                                                                            Выполнил: обучающийся II курса

                                                          Литовченко Н.

                                                               Группа ТМ – 21

Руководитель индивидуального проекта

Хохрина О.М.

Работа проверена «25» мая 2020 г.

Работа защищена «2» июня 2020 г.

С оценкой «5» (отлично)

Тымовское

2020

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3-4

1. Возникновение теории вероятностей        5-6

2. Содержание  и основные понятия теории вероятности        7-13

3. Теория вероятности в обычной жизни        144-19

4. Примеры решения задач по теории вероятности        .20-25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        266

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………..…288-30

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы в том, что случайности в жизни – больше, чем кажется. "Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности.

Основы теории вероятностей нужно знать каждому человеку для формирования правильного мировоззрения, для осознания того, что мы живем в случайном, вероятностном мире.

Психология человека такова, что ему неуютно среди случайностей. Он жаждет определенности и справедливости, ищет причин и объяснений. Часто таким образом возникают суеверия: например, среди африканских племен распространено поверье о том, что бывают просто львы и львы, в которых переселились души умерших. Последние на людей не нападают. Это объяснение не несет полезной информации, поскольку нет признаков, по которым заранее можно было бы определить, из какой категории лев, но оно успокаивает психологически. Точно так же появляются известные всем суеверия при сдаче экзаменов. Некоторые суеверия, кстати, основаны на частотных совпадениях (например, мелких неприятностей и встреч с черной кошкой). Это относится и к приметам, которые порой подмечают вероятностные закономерности. Так, поговоркам «Беда никогда не приходит одна» или «Жизнь, она полосатая» соответствует в теории вероятностей закон серий.

Следует помнить и то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы.

Таким образом, теория вероятности актуальна в наши дни как в математике и точных науках, так и в нашей повседневной жизни.

Степень изученности. В разработке данной темы были использованы работы таких авторов как: Агекян Т.А., Боровков А.А., Гельфонд А.О., Жевержеев В.Ф., Колмогоров А.Н., Лоренц А.А., Мацкевич И.П., Невельсон М.Б., Пугачев В.С., Рогов С.Ф., Тутубалин В.Н., Федоткин М.А., Хеннан Э., Ширяев А. Н. и др.

Целью данной работы является изучение теории вероятности, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи:

- Рассмотреть возникновение теории вероятностей;

- Исследовать содержание и основные понятия теории вероятности;

- Охарактеризовать теорию вероятности в обычной жизни;

- Проанализировать Примеры решения задач по теории вероятности;

- Раскрыть сущность и основные инструменты.

Структура данной работы состоит из: введения, 4 глав, заключения и  списка используемой литературы.

1. Возникновение теории вероятностей

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и до сих пор не изучавшимися в математике. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно-арифметическим и комбинаторным методам.

Серьезные требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдения, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон (1781-1840). С формально-аналитической стороны к этому же направлению примыкает работа создателя неевклидовой геометрии Лобачевского (1792-1856), посвященная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная целью установления геометрической системы, господствующей во вселенной ^[1].

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики: в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике, социологии, биологии. В связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей стали использоваться не только для браковки уже изготовленной продукции, но и для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве) ^[2].

2. Содержание  и основные понятия теории вероятности

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.

Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.

Испытанием в этом случае называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы^[3].

Результатом испытания является событие. Событие бывает:

-Достоверное (всегда происходит в результате испытания).

-Невозможное (никогда не происходит).

-Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например, при подбрасывании монеты невозможное событие — монета станет на ребро, случайное событие — выпадение «орла» или «решки». Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Рассмотрим основные понятия теории.

Вероятность — степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д^[4].

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной ᅚслучайной ᅚвеличиной ᅚназывается ᅚтакая ᅚвеличина, ᅚкоторая ᅚможет ᅚпринимать ᅚлюбые ᅚзначения ᅚиз ᅚнекоторого ᅚконечного ᅚили ᅚбесконечного ᅚпромежутка. ᅚОчевидно, ᅚчто ᅚколичество ᅚвозможных ᅚзначений ᅚнепрерывной ᅚслучайной ᅚвеличины ᅚбесконечно.

Вероятностное ᅚпространство ᅚ— ᅚпонятие, ᅚвведенное ᅚА.Н. ᅚКолмогоровым ᅚв ᅚ30-х ᅚгодах ᅚXX ᅚвека ᅚдля ᅚформализации ᅚпонятия ᅚвероятности, ᅚкоторое ᅚдало ᅚначало ᅚбурному ᅚразвитию ᅚтеории ᅚвероятностей ᅚкак ᅚстрогой ᅚматематической ᅚдисциплине.

Вероятностное ᅚпространство ᅚ— ᅚэто ᅚтройка ᅚ ᅚ(иногда ᅚобрамляемая ᅚугловыми ᅚскобками: ᅚ, ᅚгде

• ᅚ ᅚ— ᅚэто ᅚпроизвольное ᅚмножество, ᅚэлементы ᅚкоторого ᅚназываются ᅚэлементарными ᅚсобытиями, ᅚисходами ᅚили ᅚточками;

• ᅚ ᅚ— ᅚсигма-алгебра ᅚподмножеств ᅚ, ᅚназываемых ᅚ(случайными) ᅚсобытиями;

• ᅚ ᅚ— ᅚвероятностная ᅚмера ᅚили ᅚвероятность, ᅚт.е. ᅚсигма-аддитивная ᅚконечная ᅚмера, ᅚтакая ᅚчто ᅚ.^[5]

Теорема ᅚМуавра-Лапласа ᅚ— ᅚодна ᅚиз ᅚпредельных ᅚтеорем ᅚтеории ᅚвероятностей, ᅚустановлена ᅚЛапласом ᅚв ᅚ1812 ᅚгоду. ᅚОна ᅚутверждает, ᅚчто ᅚчисло ᅚуспехов ᅚпри ᅚмногократном ᅚповторении ᅚодного ᅚи ᅚтого ᅚже ᅚслучайного ᅚэксперимента ᅚс ᅚдвумя ᅚвозможными ᅚисходами ᅚприблизительно ᅚимеет ᅚнормальное ᅚраспределение. ᅚОна ᅚпозволяет ᅚнайти ᅚприближенное ᅚзначение ᅚвероятности.

Если ᅚпри ᅚкаждом ᅚиз ᅚ ᅚнезависимых ᅚиспытаний ᅚвероятность ᅚпоявления ᅚнекоторого ᅚслучайного ᅚсобытия ᅚ ᅚравна ᅚ ᅚ() ᅚи ᅚ ᅚ— ᅚчисло ᅚиспытаний, ᅚв ᅚкоторых ᅚ ᅚфактически ᅚнаступает, ᅚто ᅚвероятность ᅚсправедливости ᅚнеравенства ᅚблизка ᅚ(при ᅚбольших ᅚ) ᅚк ᅚзначению ᅚинтеграла ᅚЛапласа.

Функция ᅚраспределения ᅚв ᅚтеории ᅚвероятностей ᅚ— ᅚфункция, ᅚхарактеризующая ᅚраспределение ᅚслучайной ᅚвеличины ᅚили ᅚслучайного ᅚвектора; ᅚвероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚслучайная ᅚвеличина ᅚX ᅚпримет ᅚзначение, ᅚменьшее ᅚили ᅚравное ᅚх, ᅚгде ᅚх ᅚ— ᅚпроизвольное ᅚдействительное ᅚчисло. ᅚПри ᅚсоблюдении ᅚизвестных ᅚусловий ᅚполностью ᅚопределяет ᅚслучайную ᅚвеличину.

Математическое ᅚожидание ᅚ— ᅚсреднее ᅚзначение ᅚслучайной ᅚвеличины ᅚ(это ᅚраспределение ᅚвероятностей ᅚслучайной ᅚвеличины, ᅚрассматривается ᅚв ᅚтеории ᅚвероятностей). ᅚВ ᅚанглоязычной ᅚлитературе ᅚобозначается ᅚчерез ᅚ, ᅚв ᅚрусской ᅚ— ᅚ. ᅚВ ᅚстатистике ᅚчасто ᅚиспользуют ᅚобозначение ᅚ.

Пусть ᅚзадано ᅚвероятностное ᅚпространство ᅚ ᅚи ᅚопределенная ᅚна ᅚнем ᅚслучайная ᅚвеличина ᅚ. ᅚТо ᅚесть, ᅚпо ᅚопределению, ᅚ ᅚ— ᅚизмеримая ᅚфункция. ᅚТогда, ᅚесли ᅚсуществует ᅚинтеграл ᅚЛебега ᅚот ᅚ ᅚпо ᅚпространству ᅚ, ᅚто ᅚон ᅚназывается ᅚматематическим ᅚожиданием, ᅚили ᅚсредним ᅚзначением ᅚи ᅚобозначается ᅚ.

Дисперсия ᅚслучайной ᅚвеличины ᅚ— ᅚмера ᅚразброса ᅚданной ᅚслучайной ᅚвеличины, ᅚт. ᅚе. ᅚее ᅚотклонения ᅚот ᅚматематического ᅚожидания. ᅚОбозначается ᅚ ᅚв ᅚрусской ᅚлитературе ᅚи ᅚ ᅚв ᅚзарубежной. ᅚВ ᅚстатистике ᅚчасто ᅚупотребляется ᅚобозначение ᅚ ᅚили ᅚ. ᅚКвадратный ᅚкорень ᅚиз ᅚдисперсии ᅚ ᅚназывается ᅚсреднеквадратичным ᅚотклонением, ᅚстандартным ᅚотклонением ᅚили ᅚстандартным ᅚразбросом.

Пусть ᅚ ᅚ— ᅚслучайная ᅚвеличина, ᅚопределенная ᅚна ᅚнекотором ᅚвероятностном ᅚпространстве. ᅚТогда

где ᅚсимвол ᅚ ᅚобозначает ᅚматематическое ᅚожидание^[6].

В ᅚтеории ᅚвероятностей ᅚдва ᅚслучайных ᅚсобытия ᅚназываются ᅚнезависимыми, ᅚесли ᅚнаступление ᅚодного ᅚиз ᅚних ᅚне ᅚизменяет ᅚвероятность ᅚнаступления ᅚдругого. ᅚАналогично, ᅚдве ᅚслучайные ᅚвеличины ᅚназывают ᅚзависимыми, ᅚесли ᅚзначение ᅚодной ᅚиз ᅚних ᅚвлияет ᅚна ᅚвероятность ᅚзначений ᅚдругой.

Условная ᅚвероятность ᅚ— ᅚвероятность ᅚодного ᅚсобытия ᅚпри ᅚусловии, ᅚчто ᅚдругое ᅚсобытие ᅚуже ᅚпроизошло.

Пусть ᅚ ᅚ— ᅚфиксированное ᅚвероятностное ᅚпространство. ᅚПусть ᅚ ᅚдва ᅚслучайных ᅚсобытия, ᅚпричем ᅚ. ᅚТогда ᅚусловной ᅚвероятностью ᅚсобытия ᅚ ᅚпри ᅚусловии ᅚсобытия ᅚ ᅚназывается
.^[7]
Закон ᅚбольших ᅚчисел ᅚ— ᅚэто ᅚгруппа ᅚтеорем, ᅚустанавливающих ᅚустойчивость ᅚсредних ᅚрезультатов ᅚбольшого ᅚколичества ᅚслучайных ᅚявлений ᅚи ᅚобъясняющих ᅚпричину ᅚэтой ᅚустойчивости.

Простейшая ᅚформа ᅚзакона ᅚбольших ᅚчисел ᅚ– ᅚэто ᅚтеорема ᅚБернулли, ᅚутверждающая, ᅚчто ᅚесли ᅚвероятность ᅚсобытия ᅚодинакова ᅚво ᅚвсех ᅚиспытаниях, ᅚто ᅚс ᅚувеличением ᅚчисла ᅚиспытаний ᅚчастота ᅚсобытия ᅚстремится ᅚк ᅚвероятности ᅚсобытия ᅚи ᅚперестает ᅚбыть ᅚслучайной.

Закон ᅚбольших ᅚчисел ᅚв ᅚтеории ᅚвероятностей ᅚутверждает, ᅚчто ᅚсреднее ᅚарифметическое ᅚконечной ᅚвыборки ᅚиз ᅚфиксированного ᅚраспределения ᅚблизко ᅚк ᅚтеоретическому ᅚсреднему ᅚматематическому ᅚожиданию ᅚэтого ᅚраспределения. ᅚВ ᅚзависимости ᅚот ᅚвида ᅚсходимости ᅚразличают ᅚслабый ᅚзакон ᅚбольших ᅚчисел, ᅚкогда ᅚимеет ᅚместо ᅚсходимость ᅚпо ᅚвероятности, ᅚи ᅚусиленный ᅚзакон ᅚбольших ᅚчисел, ᅚкогда ᅚимеет ᅚместо ᅚсходимость ᅚпочти ᅚнаверняка.

Общий ᅚсмысл ᅚзакона ᅚбольших ᅚчисел ᅚ— ᅚсовместное ᅚдействие ᅚбольшого ᅚчисла ᅚодинаковых ᅚи ᅚнезависимых ᅚслучайных ᅚфакторов ᅚприводит ᅚк ᅚрезультату, ᅚв ᅚпределе ᅚне ᅚзависящему ᅚот ᅚслучая.

На ᅚэтом ᅚсвойстве ᅚоснованы ᅚметоды ᅚоценки ᅚвероятности ᅚна ᅚоснове ᅚанализа ᅚконечной ᅚвыборки. ᅚНаглядным ᅚпримером ᅚявляется ᅚпрогноз ᅚрезультатов ᅚвыборов ᅚна ᅚоснове ᅚопроса ᅚвыборки ᅚизбирателей.

Центральные ᅚпредельные ᅚтеоремы ᅚ— ᅚкласс ᅚтеорем ᅚв ᅚтеории ᅚвероятностей, ᅚутверждающих, ᅚчто ᅚсумма ᅚдостаточно ᅚбольшого ᅚколичества ᅚслабо ᅚзависимых ᅚслучайных ᅚвеличин, ᅚимеющих ᅚпримерно ᅚодинаковые ᅚмасштабы ᅚ(ни ᅚодно ᅚиз ᅚслагаемых ᅚне ᅚдоминирует, ᅚне ᅚвносит ᅚв ᅚсумму ᅚопределяющего ᅚвклада), ᅚимеет ᅚраспределение, ᅚблизкое ᅚк ᅚнормальному^[8].

Так ᅚкак ᅚмногие ᅚслучайные ᅚвеличины ᅚв ᅚприложениях ᅚформируются ᅚпод ᅚвлиянием ᅚнескольких ᅚслабо ᅚзависимых ᅚслучайных ᅚфакторов, ᅚих ᅚраспределение ᅚсчитают ᅚнормальным. ᅚПри ᅚэтом ᅚдолжно ᅚсоблюдаться ᅚусловие, ᅚчто ᅚни ᅚодин ᅚиз ᅚфакторов ᅚне ᅚявляется ᅚдоминирующим. ᅚЦентральные ᅚпредельные ᅚтеоремы ᅚв ᅚэтих ᅚслучаях ᅚобосновывают ᅚприменение ᅚнормального ᅚраспределения.

3. ᅚТеория ᅚвероятности ᅚв ᅚобычной ᅚжизни

Вероятность ᅚв ᅚзависимых ᅚсобытиях

Вы ᅚрешаете ᅚотправить ᅚв ᅚподарок ᅚдругу ᅚподарок. ᅚЗнаете ᅚномер ᅚдома, ᅚподъезд, ᅚэтаж. ᅚКурьер ᅚпросит ᅚназывать ᅚномер ᅚквартиры. ᅚС ᅚмучительными ᅚусилиями ᅚвспоминаете, ᅚчто ᅚв ᅚдоме ᅚпо ᅚтри ᅚдвери ᅚна ᅚплощадку, ᅚно ᅚдальше ᅚ– ᅚтуман. ᅚДавайте ᅚрассчитаем, ᅚсможет ᅚли ᅚкурьер ᅚпопасть ᅚв ᅚнужную ᅚквартиру ᅚс ᅚпервого ᅚраза.

Имеем ᅚтри ᅚварианта ᅚразвития ᅚсобытий^[9]:

-Курьер ᅚзвонит ᅚв ᅚпервую ᅚ(1) ᅚдверь.

-Курьер ᅚзвонит ᅚво ᅚвторую ᅚ(2) ᅚдверь.

-Курьер ᅚзвонит ᅚв ᅚтретью ᅚ(3) ᅚдверь.

Но ᅚв ᅚистории ᅚучаствует ᅚеще ᅚодин ᅚчеловек: ᅚваш ᅚдруг. ᅚИ ᅚсобытийность ᅚв ᅚего ᅚслучае ᅚвыглядит ᅚтак:

-Друг ᅚза ᅚпервой ᅚ(1) ᅚдверью.

-Друг ᅚза ᅚвторой ᅚ(2) ᅚдверью.

-Друг ᅚза ᅚтретьей ᅚ(3) ᅚдверью.

Прежде ᅚчем ᅚпойти ᅚдальше, ᅚвведем ᅚопределение ᅚвероятности ᅚ– ᅚколичество ᅚблагоприятных ᅚисходов ᅚк ᅚвероятному ᅚчислу ᅚсобытий.

Теперь ᅚсоберем ᅚданные ᅚв ᅚтаблицу ᅚ(таблица ᅚ1). ᅚ

Таблица ᅚ1 ᅚ– ᅚДевять ᅚисходов, ᅚтри ᅚблагоприятных

Всего ᅚ- ᅚ9 ᅚисходов. ᅚОтметим ᅚположительные ᅚ(курьеру ᅚоткроет ᅚдруг) ᅚ– ᅚих ᅚ3. ᅚПолучается, ᅚчто ᅚвероятность ᅚс ᅚпервого ᅚраза ᅚпозвонить ᅚв ᅚдверь ᅚк ᅚнужному ᅚчеловеку ᅚ– ᅚ3/9 ᅚили ᅚ1/3. ᅚЕсли ᅚвам ᅚнравится ᅚвидеть ᅚвероятность ᅚв ᅚпроцентах, ᅚумножьте ᅚрезультат ᅚна ᅚ100%.

Представим, ᅚчто ᅚкурьер ᅚошибся, ᅚи ᅚза ᅚдверью ᅚоказалась ᅚсногсшибательная ᅚблондинка ᅚв ᅚкоротком ᅚхалате. ᅚДля ᅚкурьера ᅚисход ᅚположительный, ᅚдля ᅚвас ᅚ– ᅚнет. ᅚПоэтому ᅚсчитаем ᅚновую ᅚвероятность:

-Курьер ᅚзвонит ᅚв ᅚпервую ᅚ(1) ᅚквартиру.

-Курьер ᅚзвонит ᅚво ᅚвторую ᅚ(2) ᅚквартиру.

То ᅚже ᅚсамое ᅚс ᅚдругом:

-Друг ᅚждет ᅚв ᅚпервой ᅚ(1) ᅚквартире.

-Друг ᅚждет ᅚво ᅚвторой ᅚ(2) ᅚквартире.

Теперь ᅚу ᅚнас ᅚ4 ᅚварианта ᅚи ᅚ2 ᅚ– ᅚвыигрышные ᅚ(таблица ᅚ2). ᅚВероятность ᅚсо ᅚвторого ᅚраза ᅚпопасть ᅚв ᅚквартиру ᅚдруга ᅚ– ᅚ1/2. ᅚОна ᅚуменьшилась ᅚиз-за ᅚзависимости ᅚсобытий: ᅚмы ᅚуже ᅚисключили ᅚнеблагоприятный ᅚисход ᅚи ᅚрасчёт ᅚнужно ᅚпроизводить ᅚзаново. ᅚЕсли ᅚкурьер ᅚнастолько ᅚневезуч, ᅚчто ᅚпромахнется ᅚво ᅚвторой ᅚраз, ᅚвероятность ᅚпопасть ᅚпо ᅚадресу ᅚв ᅚтретий ᅚраз ᅚ– ᅚ100%. ᅚОпытным ᅚпутем ᅚмы ᅚпроверили, ᅚчто ᅚза ᅚдвумя ᅚпредыдущими ᅚдверьми ᅚбалык ᅚникто ᅚне ᅚждет.

Таблица ᅚ2 ᅚЧетыре ᅚисхода, ᅚдва ᅚблагоприятных

Пример ᅚс ᅚкурьером ᅚ— ᅚначальный ᅚуровень ᅚтервера. ᅚОн ᅚприменим ᅚдля ᅚбытовых ᅚнужд: ᅚпредугадать ᅚвероятность ᅚпобочного ᅚэффекта ᅚот ᅚантибиотиков, ᅚвыбрать ᅚиз ᅚразнообразия ᅚбабушкиных ᅚпирожков ᅚпирожок ᅚс ᅚповидлом ᅚи ᅚдр^[10].

На ᅚэкзамене ᅚпо ᅚтеории ᅚвероятности ᅚсоветский ᅚматематик ᅚи ᅚавтор ᅚучебника ᅚЕлена ᅚВентцель ᅚспросила:

- ᅚКому ᅚвсе ᅚпонятно? ᅚПоднимите ᅚруки.

В ᅚаудитории ᅚживо ᅚвзметнулся ᅚлес ᅚрук.

- ᅚОтлично! ᅚОстальные ᅚсвободны, ᅚоценка ᅚ– ᅚпять ᅚбаллов! ᅚПоднявшие ᅚруки ᅚ– ᅚостаньтесь. ᅚЗа ᅚгоды ᅚпреподавания ᅚя ᅚтак ᅚи ᅚне ᅚпоняла ᅚбольшей ᅚчасти ᅚтервера. ᅚРада, ᅚчто ᅚвы ᅚмне ᅚвсе ᅚсейчас ᅚобъясните.

Вероятность ᅚв ᅚнезависимых ᅚсобытиях

Независимые ᅚсобытия ᅚне ᅚвлияют ᅚдруг ᅚна ᅚдруга: ᅚколичество ᅚблагоприятных ᅚисходов ᅚв ᅚкаждом ᅚновом ᅚсобытии ᅚне ᅚменяется.

Регина ᅚТодоренко ᅚи ᅚЛеся ᅚНикитюк ᅚв ᅚрамках ᅚпрограммы ᅚ«Орел ᅚи ᅚРешка» ᅚприехали ᅚв ᅚСША. ᅚОбе ᅚхотят ᅚпровести ᅚуик-энд ᅚ«по ᅚбогатому» ᅚи ᅚкидают ᅚмонетку. ᅚЛеся ᅚпоставила ᅚна ᅚорла, ᅚРегина ᅚ– ᅚна ᅚрешку. ᅚВероятность ᅚуехать ᅚна ᅚсобственном ᅚавто ᅚу ᅚдевушек ᅚодинакова: ᅚ1/2. ᅚНа ᅚэто ᅚраз ᅚповезло ᅚЛесе. ᅚВпрочем, ᅚкак ᅚв ᅚследующей ᅚпоездке ᅚтоже.

Теперь ᅚопределим, ᅚмогут ᅚли ᅚнезависимые ᅚсобытия ᅚпроисходить ᅚподряд ᅚс ᅚодним ᅚи ᅚтем ᅚже ᅚисходом. ᅚЛесе ᅚвезло ᅚуже ᅚдва ᅚраза ᅚи ᅚвыпадал ᅚ«орел». ᅚПовезет ᅚли ᅚв ᅚтретий ᅚраз? ᅚСоставим ᅚсписок ᅚвозможных ᅚисходов:

-Орел, ᅚорел, ᅚорел.

-Орел, ᅚорел, ᅚрешка.

-Орел, ᅚрешка, ᅚорел.

-Орел, ᅚрешка, ᅚрешка.

-Решка, ᅚорел, ᅚорел.

-Решка, ᅚорел, ᅚрешка.

-Решка, ᅚрешка, ᅚорел.

-Решка, ᅚрешка, ᅚрешка.

По ᅚрезультату ᅚвидно: ᅚвероятность ᅚопределенной ᅚпоследовательности ᅚкаждый ᅚраз ᅚменьше ᅚна ᅚвероятность ᅚодного ᅚсобытия. ᅚТо ᅚесть ᅚвероятность ᅚопределенной ᅚпоследовательности ᅚ– ᅚпроизведение ᅚвероятностей ᅚкаждого ᅚсобытия. ᅚЕсли ᅚв ᅚодном ᅚсобытии ᅚвероятность ᅚ1/2, ᅚто ᅚв ᅚтрех: ᅚ1/2*1/2*1/2=1/8^[11].

Как ᅚчеловек ᅚпринимает ᅚрешения ᅚв ᅚсостоянии ᅚнеопределённости

Часть ᅚмозга, ᅚкоторая ᅚответственна ᅚза ᅚоценку ᅚситуации ᅚсвязана ᅚс ᅚмедиаторной ᅚсистемой ᅚ— ᅚцентром ᅚмотивационных ᅚи ᅚэмоциональных ᅚпроцессов. ᅚЛогика ᅚи ᅚэмоции ᅚчасто ᅚконфликтуют ᅚмежду ᅚсобой, ᅚпоэтому ᅚрешение ᅚпринимается ᅚслучайным ᅚобразом.

У ᅚмоей ᅚподруги ᅚаллергия ᅚна ᅚвиноград. ᅚНо ᅚв ᅚстуденчестве ᅚона ᅚне ᅚмогла ᅚотказаться ᅚот ᅚбокала ᅚвина ᅚна ᅚвечеринке. ᅚЧасто ᅚее ᅚдерзость ᅚоставалась ᅚбезнаказанной ᅚи ᅚорганизм ᅚнормально ᅚвоспринимал ᅚаллерген. ᅚРеже ᅚпротестовал: ᅚу ᅚподруги ᅚпоявлялись ᅚотеки ᅚна ᅚлице ᅚи ᅚв ᅚгорле. ᅚВ ᅚэти ᅚмоменты ᅚее ᅚлевое ᅚполушарие ᅚотчаянно ᅚискало ᅚзакономерность ᅚи ᅚпросчитывало ᅚвероятность ᅚнаступления ᅚаллергической ᅚреакции, ᅚправое ᅚже ᅚшептало: ᅚ«Не ᅚпей, ᅚлицо ᅚраспухнет!». ᅚОна ᅚмогла ᅚвывести ᅚколичество ᅚблагоприятных ᅚисходов ᅚматематическим ᅚпутем ᅚи ᅚпить ᅚвино ᅚбез ᅚопасений, ᅚно ᅚэмоции ᅚоказались ᅚсильней. ᅚПодруга ᅚраз ᅚи ᅚнавсегда ᅚотказалась ᅚот ᅚлюбых ᅚпродуктов ᅚс ᅚвиноградом.

Хороший ᅚпример ᅚпринятия ᅚрешений ᅚописан ᅚв ᅚкниге ᅚМлодинова ᅚ«(Не) ᅚсовершенная ᅚслучайность». ᅚДопустим, ᅚвы ᅚотправили ᅚрассказ ᅚв ᅚчетыре ᅚиздательства. ᅚОт ᅚкаждого ᅚполучили ᅚотказ. ᅚНа ᅚэмоциях ᅚвы ᅚпридете ᅚк ᅚмысли: ᅚрассказ ᅚужасный! ᅚХотя, ᅚесли ᅚизучить ᅚбиографии ᅚпопулярных ᅚписателей, ᅚможет ᅚоказаться, ᅚчто ᅚдело ᅚне ᅚв ᅚвас. ᅚОтказы ᅚв ᅚпубликации ᅚполучали ᅚСтивен ᅚКинг, ᅚДжоан ᅚРоулинг, ᅚВиктор ᅚФранкл. ᅚТакие ᅚистории ᅚслучались ᅚвовсе ᅚне ᅚиз-за ᅚотсутствия ᅚу ᅚних ᅚдара: ᅚпросто ᅚв ᅚодном ᅚиздательстве ᅚредактор ᅚне ᅚпонял ᅚтонкую ᅚфилософию ᅚавтора, ᅚв ᅚдругом ᅚ– ᅚспешил ᅚдомой ᅚи ᅚпроставил ᅚвизу ᅚне ᅚчитая.

Теория ᅚвероятностей ᅚпочти ᅚвсегда ᅚразбивается ᅚо ᅚ«случай», ᅚпродиктованный ᅚубеждением ᅚили ᅚэмоцией ᅚотдельного ᅚчеловека. ᅚПоэтому ᅚиспользование ᅚее ᅚв ᅚповседневной ᅚжизни ᅚможет ᅚне ᅚоправдать ᅚожиданий.^[12] ᅚ

4. ᅚПримеры ᅚрешения ᅚзадач ᅚпо ᅚтеории ᅚвероятности

Пример ᅚзадачи ᅚиз ᅚЕГЭ ᅚпо ᅚматематике ᅚпо ᅚопределению ᅚвероятности

На ᅚстоле ᅚлежат ᅚ20 ᅚпирожков ᅚ— ᅚ5 ᅚс ᅚкапустой, ᅚ7 ᅚс ᅚяблоками ᅚи ᅚ8 ᅚс ᅚрисом. ᅚМарина ᅚхочет ᅚвзять ᅚпирожок. ᅚКакова ᅚвероятность, ᅚчто ᅚона ᅚвозьмет ᅚпирожок ᅚс ᅚрисом?

Решение.

Всего ᅚравновероятных ᅚэлементарных ᅚисходов ᅚ20, ᅚто ᅚесть ᅚМарина ᅚможет ᅚвзять ᅚлюбой ᅚиз ᅚ20 ᅚпирожков. ᅚНо ᅚнам ᅚнужно ᅚоценить ᅚвероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚМарина ᅚвозьмет ᅚпирожок ᅚс ᅚрисом, ᅚто ᅚесть ᅚ, ᅚгде ᅚА ᅚ— ᅚэто ᅚвыбор ᅚпирожка ᅚс ᅚрисом. ᅚЗначит ᅚу ᅚнас ᅚколичество ᅚблагоприятных ᅚисходов ᅚ(выборов ᅚпирожков ᅚс ᅚрисом) ᅚвсего ᅚ8. ᅚТогда ᅚвероятность ᅚбудет ᅚопределяться ᅚпо ᅚформуле:

Ответ: ᅚ0,4^[13]

Независимые, ᅚпротивоположные ᅚи ᅚпроизвольные ᅚсобытия

Однако ᅚв ᅚоткрытом ᅚбанке ᅚзаданий ᅚстали ᅚвстречаться ᅚи ᅚболее ᅚсложные ᅚзадания. ᅚПоэтому ᅚобратим ᅚвнимание ᅚчитателя ᅚи ᅚна ᅚдругие ᅚвопросы, ᅚизучаемые ᅚв ᅚтеории ᅚвероятностей.

События ᅚА ᅚи ᅚВ ᅚназывается ᅚнезависимыми, ᅚесли ᅚвероятность ᅚкаждого ᅚиз ᅚних ᅚне ᅚзависит ᅚот ᅚтого, ᅚпроизошло ᅚли ᅚдругое ᅚсобытие.

Событие ᅚB ᅚсостоит ᅚв ᅚтом, ᅚчто ᅚсобытие ᅚА ᅚне ᅚпроизошло, ᅚт.е. ᅚсобытие ᅚB ᅚявляется ᅚпротивоположным ᅚк ᅚсобытию ᅚА. ᅚВероятность ᅚпротивоположного ᅚсобытия ᅚравна ᅚединице ᅚминус ᅚвероятность ᅚпрямого ᅚсобытия,т.е. ᅚ.

Теоремы ᅚсложения ᅚи ᅚумножения ᅚвероятностей, ᅚформулы

Для ᅚпроизвольных ᅚсобытий ᅚА ᅚи ᅚВ ᅚвероятность ᅚсуммы ᅚэтих ᅚсобытий ᅚравна ᅚсумме ᅚих ᅚвероятностей ᅚбез ᅚвероятности ᅚих ᅚсовместного ᅚсобытия, ᅚт.е. ᅚ.

Для ᅚнезависимых ᅚсобытий ᅚА ᅚи ᅚВ ᅚвероятность ᅚпроизведения ᅚэтих ᅚсобытий ᅚравна ᅚпроизведению ᅚих ᅚвероятностей, ᅚт.е. ᅚв ᅚэтом ᅚслучае.

Последние ᅚ2 ᅚутверждения ᅚназываются ᅚтеоремами ᅚсложения ᅚи ᅚумножения ᅚвероятностей.

Не ᅚвсегда ᅚподсчет ᅚчисла ᅚисходов ᅚявляется ᅚстоль ᅚпростым. ᅚВ ᅚряде ᅚслучаев ᅚнеобходимо ᅚиспользовать ᅚформулы ᅚкомбинаторики. ᅚПри ᅚэтом ᅚнаиболее ᅚважным ᅚявляется ᅚподсчет ᅚчисла ᅚсобытий, ᅚудовлетворяющих ᅚопределенным ᅚусловиям. ᅚИногда ᅚтакого ᅚрода ᅚподсчеты ᅚмогут ᅚстановиться ᅚсамостоятельными ᅚзаданиями.

Сколькими ᅚспособами ᅚможно ᅚусадить ᅚ6 ᅚучеников ᅚна ᅚ6 ᅚсвободных ᅚмест? ᅚПервый ᅚученик ᅚзаймет ᅚлюбое ᅚиз ᅚ6 ᅚмест. ᅚКаждому ᅚиз ᅚэтих ᅚвариантов ᅚсоответствует ᅚ5 ᅚспособов ᅚзанять ᅚместо ᅚвторому ᅚученику. ᅚДля ᅚтретьего ᅚученика ᅚостается ᅚ4 ᅚсвободных ᅚместа, ᅚдля ᅚчетвертого ᅚ— ᅚ3, ᅚдля ᅚпятого ᅚ— ᅚ2, ᅚшестой ᅚзаймет ᅚединственное ᅚоставшееся ᅚместо. ᅚЧтобы ᅚнайти ᅚчисло ᅚвсех ᅚвариантов, ᅚнадо ᅚнайти ᅚпроизведение ᅚ1*2*3*4*5*6, ᅚкоторое ᅚобозначается ᅚсимволом ᅚ6! ᅚи ᅚчитается ᅚ«шесть ᅚфакториал»^[14].

В ᅚобщем ᅚслучае ᅚответ ᅚна ᅚэтот ᅚвопрос ᅚдает ᅚформула ᅚдля ᅚчисла ᅚперестановок ᅚиз ᅚп ᅚэлементов ᅚPn= ᅚ1*2*3*4*5*6. ᅚВ ᅚнашем ᅚслучае ᅚn=6.

Рассмотрим ᅚтеперь ᅚдругой ᅚслучай ᅚс ᅚнашими ᅚучениками. ᅚСколькими ᅚспособами ᅚможно ᅚусадить ᅚ2 ᅚучеников ᅚна ᅚ6 ᅚсвободных ᅚмест? ᅚПервый ᅚученик ᅚзаймет ᅚлюбое ᅚиз ᅚ6 ᅚмест. ᅚКаждому ᅚиз ᅚэтих ᅚвариантов ᅚсоответствует ᅚ5 ᅚспособов ᅚзанять ᅚместо ᅚвторому ᅚученику. ᅚЧтобы ᅚнайти ᅚчисло ᅚвсех ᅚвариантов, ᅚнадо ᅚнайти ᅚпроизведение ᅚ6*5.

В ᅚобщем ᅚслучае ᅚответ ᅚна ᅚэтот ᅚвопрос ᅚдает ᅚформула ᅚдля ᅚчисла ᅚразмещений ᅚиз ᅚn ᅚэлементов ᅚпо ᅚk ᅚэлементам

В ᅚнашем ᅚслучае.

И ᅚпоследний ᅚслучай ᅚиз ᅚэтой ᅚсерии. ᅚСколькими ᅚспособами ᅚможно ᅚвыбрать ᅚтрех ᅚучеников ᅚиз ᅚ6? ᅚПервого ᅚученика ᅚможно ᅚвыбрать ᅚ6 ᅚспособами, ᅚвторого ᅚ— ᅚ5 ᅚспособами, ᅚтретьего ᅚ— ᅚчетырьмя. ᅚНо ᅚсреди ᅚэтих ᅚвариантов ᅚ6 ᅚраз ᅚвстречается ᅚодна ᅚи ᅚта ᅚже ᅚтройка ᅚучеников. ᅚЧтобы ᅚнайти ᅚчисло ᅚвсех ᅚвариантов, ᅚнадо ᅚвычислить ᅚвеличину:. ᅚВ ᅚобщем ᅚслучае ᅚответ ᅚна ᅚэтот ᅚвопрос ᅚдает ᅚформула ᅚдля ᅚчисла ᅚсочетаний ᅚиз ᅚэлементов ᅚпо ᅚэлементам: ᅚ ᅚ

В ᅚнашем ᅚслучае.^[15]

Задача ᅚ1. ᅚИз ᅚсборника ᅚпод ᅚред. ᅚЯщенко.

На ᅚтарелке ᅚ30 ᅚпирожков: ᅚ3 ᅚс ᅚмясом, ᅚ18 ᅚс ᅚкапустой ᅚи ᅚ9 ᅚс ᅚвишней. ᅚСаша ᅚнаугад ᅚвыбирает ᅚодин ᅚпирожок. ᅚНайдите ᅚвероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚон ᅚокажется ᅚс ᅚвишней.

Решение:

.

Ответ: ᅚ0,3.

Задача ᅚ2. ᅚИз ᅚсборника ᅚпод ᅚред. ᅚЯщенко.

В ᅚкаждой ᅚпартии ᅚиз ᅚ1000 ᅚлампочек ᅚв ᅚсреднем ᅚ20 ᅚбракованных. ᅚНайдите ᅚвероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚнаугад ᅚвзятая ᅚлампочка ᅚиз ᅚпартии ᅚбудет ᅚисправной.

Решение: ᅚКоличество ᅚисправных ᅚлампочек ᅚ1000-20=980. ᅚТогда ᅚвероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚвзятая ᅚнаугад ᅚлампочка ᅚиз ᅚпартии ᅚбудет ᅚисправной:

Ответ: ᅚ0,98.

Задача ᅚ3.

Вероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚна ᅚтестировании ᅚпо ᅚматематике ᅚучащийся ᅚУ. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ9 ᅚзадач, ᅚравна ᅚ0,67. ᅚВероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚУ. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ8 ᅚзадач, ᅚравна ᅚ0,73. ᅚНайдите ᅚвероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚУ. ᅚверно ᅚрешит ᅚровно ᅚ9 ᅚзадач.

Решение:

Если ᅚмы ᅚвообразим ᅚчисловую ᅚпрямую ᅚи ᅚна ᅚней ᅚотметим ᅚточки ᅚ8 ᅚи ᅚ9, ᅚто ᅚмы ᅚувидим, ᅚчто ᅚусловие ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚровно ᅚ9 ᅚзадач» ᅚвходит ᅚв ᅚусловие ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ8 ᅚзадач», ᅚно ᅚне ᅚотносится ᅚк ᅚусловию ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ9 ᅚзадач».

Однако, ᅚусловие ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ9 ᅚзадач» ᅚсодержится ᅚв ᅚусловии ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ8 ᅚзадач». ᅚТаким ᅚобразом, ᅚесли ᅚмы ᅚобозначим ᅚсобытия: ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚровно ᅚ9 ᅚзадач» ᅚ— ᅚчерез ᅚА, ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ8 ᅚзадач» ᅚ— ᅚчерез ᅚB, ᅚ«У. ᅚверно ᅚрешит ᅚбольше ᅚ9 ᅚзадач» ᅚчерез ᅚС. ᅚТо ᅚрешение ᅚбудет ᅚвыглядеть ᅚследующим ᅚобразом:

Ответ: ᅚ0,06^[16].

Задача ᅚ4.

На ᅚэкзамене ᅚпо ᅚгеометрии ᅚшкольник ᅚотвечает ᅚна ᅚодин ᅚвопрос ᅚиз ᅚсписка ᅚэкзаменационных ᅚвопросов. ᅚВероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚэто ᅚвопрос ᅚпо ᅚтеме ᅚ«Тригонометрия», ᅚравна ᅚ0,2. ᅚВероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚэто ᅚвопрос ᅚпо ᅚтеме ᅚ«Внешние ᅚуглы», ᅚравна ᅚ0,15. ᅚВопросов, ᅚкоторые ᅚодновременно ᅚотносятся ᅚк ᅚэтим ᅚдвум ᅚтемам, ᅚнет. ᅚНайдите ᅚвероятность ᅚтого, ᅚчто ᅚна ᅚэкзамене ᅚшкольнику ᅚдостанется ᅚвопрос ᅚпо ᅚодной ᅚиз ᅚэтих ᅚдвух ᅚтем.

Решение.

Давайте ᅚподумаем ᅚкакие ᅚу ᅚнас ᅚданы ᅚсобытия. ᅚНам ᅚданы ᅚдва ᅚнесовместных ᅚсобытия. ᅚТо ᅚесть ᅚлибо ᅚвопрос ᅚбудет ᅚотноситься ᅚк ᅚтеме ᅚ«Тригонометрия», ᅚлибо ᅚк ᅚтеме ᅚ«Внешние ᅚуглы». ᅚПо ᅚтеореме ᅚвероятности ᅚвероятность ᅚнесовместных ᅚсобытий ᅚравна ᅚсумме ᅚвероятностей ᅚкаждого ᅚсобытия, ᅚмы ᅚдолжны ᅚнайти ᅚсумму ᅚвероятностей ᅚэтих ᅚсобытий, ᅚто ᅚесть:

Ответ: ᅚ0,35^[17].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким ᅚобразом, ᅚтеория ᅚвероятностей ᅚизучает ᅚобъективные ᅚзакономерности ᅚмассовых ᅚслучайных ᅚсобытий. ᅚОна ᅚявляется ᅚтеоретической ᅚбазой ᅚдля ᅚматематической ᅚстатистики, ᅚзанимающейся ᅚразработкой ᅚметодов ᅚсбора, ᅚописания ᅚи ᅚобработки ᅚрезультатов ᅚнаблюдений. ᅚПутем ᅚнаблюдений ᅚ(испытаний, ᅚэкспериментов), ᅚт.е. ᅚопыта ᅚв ᅚшироком ᅚсмысле ᅚслова, ᅚпроисходит ᅚпознание ᅚявлений ᅚдействительного ᅚмира.

Теория ᅚвероятностей ᅚ– ᅚраздел ᅚматематики, ᅚизучающий ᅚзакономерности ᅚслучайных ᅚявлений, ᅚнаблюдаемых ᅚпри ᅚмногократном ᅚповторении ᅚопыта.

Теория ᅚвероятностей ᅚ– ᅚэто ᅚраздел ᅚматематики, ᅚизучающий ᅚзакономерности ᅚслучайных ᅚявлений: ᅚслучайные ᅚсобытия, ᅚслучайные ᅚвеличины, ᅚих ᅚсвойства ᅚи ᅚоперации ᅚнад ᅚними.

Основные ᅚобъекты ᅚтеории ᅚвероятностей ᅚ– ᅚслучайные ᅚсобытия, ᅚслучайные ᅚвеличины, ᅚслучайные ᅚпроцессы, ᅚто ᅚесть ᅚфактически ᅚвесь ᅚокружающий ᅚнас ᅚмир.

Во ᅚмногих ᅚобластях ᅚчеловеческой ᅚдеятельности ᅚсуществуют ᅚситуации, ᅚкогда ᅚопределённые ᅚявления ᅚмогут ᅚповторяться ᅚнеограниченное ᅚчисло ᅚраз ᅚв ᅚодинаковых ᅚусловиях. ᅚАнализируя ᅚпоследовательно ᅚрезультаты ᅚтаких ᅚпростейших ᅚявлений, ᅚкак ᅚподбрасывание ᅚмонеты, ᅚигральной ᅚкости, ᅚвыброс ᅚкарты ᅚиз ᅚколоды ᅚи ᅚт.п., ᅚмы ᅚзамечаем ᅚдве ᅚособенности, ᅚприсущие ᅚтакого ᅚрода ᅚэкспериментам. ᅚВо-первых, ᅚне ᅚпредставляется ᅚвозможным ᅚпредсказать ᅚисход ᅚпоследующего ᅚэксперимента ᅚпо ᅚрезультатам ᅚпредыдущих, ᅚкак ᅚбы ᅚни ᅚбыло ᅚвелико ᅚчисло ᅚпроведённых ᅚиспытаний. ᅚВо-вторых, ᅚотносительная ᅚчастота ᅚопределённых ᅚисходов ᅚпо ᅚмере ᅚроста ᅚчисла ᅚиспытаний ᅚстабилизируется, ᅚприближаясь ᅚк ᅚопределённому ᅚпределу.

Теория ᅚвероятности ᅚимеет ᅚразные ᅚобласти ᅚприменения ᅚтакие ᅚкак: ᅚбиологические ᅚи ᅚхимические ᅚпроцессы, ᅚистория, ᅚэкономика, ᅚкораблестроение ᅚи ᅚмашиностроение, ᅚмедицина ᅚи ᅚбольшинство ᅚразличной ᅚдеятельности ᅚчеловека. ᅚЛюди ᅚприменяют ᅚеё ᅚкак ᅚсознательно, ᅚтак ᅚи ᅚподсознательно, ᅚчто ᅚпроявляется ᅚв ᅚобычных ᅚповседневных ᅚфразах ᅚи ᅚдействиях. ᅚРазумный ᅚчеловек ᅚдолжен ᅚстремиться ᅚмыслить, ᅚисходя ᅚиз ᅚзаконов ᅚвероятностей. ᅚТеория ᅚвероятностей ᅚ– ᅚэто ᅚодна ᅚиз ᅚсоставляющих ᅚчастей ᅚуспеха. ᅚЕсли ᅚстремиться ᅚучитывать ᅚзаконы ᅚвероятностей ᅚи, ᅚв ᅚтом ᅚслучае, ᅚесли ᅚвероятность ᅚнеблагоприятная, ᅚпредпринимать ᅚсоответствующие ᅚконтрдействия, ᅚто ᅚможно ᅚупростить ᅚсебе ᅚжизнь ᅚв ᅚразы ᅚи ᅚсэкономить ᅚсвоё ᅚвремя, ᅚкоторое ᅚтак ᅚценно ᅚдля ᅚкаждого ᅚиз ᅚнас.

СПИСОК ᅚИСПОЛЬЗУЕМОЙ ᅚЛИТЕРАТУРЫ

1. Агекян, ᅚТ. ᅚА. ᅚТеория ᅚвероятностей ᅚдля ᅚастрономов ᅚи ᅚфизиков ᅚ/ ᅚТ.А. ᅚАгекян. ᅚ- ᅚМ.: ᅚГлавная ᅚредакция ᅚфизико-математической ᅚлитературы ᅚиздательства ᅚ"Наука", ᅚ2016. ᅚ- ᅚ264 ᅚc.
2. Боровков, ᅚА. ᅚА. ᅚТеория ᅚвероятностей ᅚ/ ᅚА.А. ᅚБоровков. ᅚ- ᅚМосква: ᅚВысшая ᅚшкола, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ432 ᅚc.
3. Гельфонд, ᅚА. ᅚО. ᅚИсчисление ᅚконечных ᅚразностей ᅚ/ ᅚА.О. ᅚГельфонд. ᅚ- ᅚМ.: ᅚНаука, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ376 ᅚc.
4. Гренандер, ᅚУ. ᅚКраткий ᅚкурс ᅚвычислительной ᅚвероятности ᅚи ᅚстатистики ᅚ/ ᅚУ. ᅚГренандер, ᅚВ. ᅚФрайбергер. ᅚ- ᅚМ.: ᅚГлавная ᅚредакция ᅚфизико-математической ᅚлитературы ᅚиздательства ᅚ"Наука", ᅚ2016. ᅚ- ᅚ192 ᅚc.
5. Жевержеев, ᅚВ. ᅚФ. ᅚСпециальный ᅚкурс ᅚматематики ᅚдля ᅚвузов ᅚ/ ᅚВ.Ф. ᅚЖевержеев, ᅚЛ.А. ᅚКальницкий, ᅚН.А. ᅚСапогов. ᅚ- ᅚМ.: ᅚВысшая ᅚшкола, ᅚ2016. ᅚ- ᅚ416 ᅚc.
6. Каган, ᅚА. ᅚМ. ᅚХарактеризационные ᅚзадачи ᅚматематической ᅚстастистики ᅚ/ ᅚА.М. ᅚКаган, ᅚЮ.В. ᅚЛинник, ᅚС.Р. ᅚРао. ᅚ- ᅚМ.: ᅚНаука, ᅚ2017. ᅚ- ᅚ656 ᅚc.
7. Колмогоров, ᅚА. ᅚН. ᅚВведение ᅚв ᅚтеорию ᅚвероятностей: ᅚмоногр. ᅚ/ ᅚА.Н. ᅚКолмогоров, ᅚИ.Г. ᅚЖурбенко, ᅚА.В. ᅚПрохоров. ᅚ- ᅚМ.: ᅚМЦНМО, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ168 ᅚc.
8. Кочетыгов, ᅚА. ᅚА. ᅚОсновы ᅚэконометрики ᅚ/ ᅚА.А. ᅚКочетыгов, ᅚЛ.А. ᅚТолоконников. ᅚ- ᅚМ.: ᅚИздательский ᅚцентр ᅚ"МарТ", ᅚ2017. ᅚ- ᅚ352 ᅚc.
9. Лоренц, ᅚА. ᅚА. ᅚЭлементы ᅚконструктивной ᅚтеории ᅚвероятных ᅚавтоматов ᅚ/ ᅚА.А. ᅚЛоренц. ᅚ- ᅚМ.: ᅚЗинатне, ᅚ2016. ᅚ- ᅚ236 ᅚc.
10. Мацкевич, ᅚИ. ᅚП. ᅚВысшая ᅚматематика. ᅚТеория ᅚвероятностей ᅚи ᅚматематическая ᅚстатистика ᅚ/ ᅚИ.П. ᅚМацкевич, ᅚГ.П. ᅚСвирид. ᅚ- ᅚМ.: ᅚВышэйшая ᅚшкола, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ272 ᅚc.
11. Моисеев, ᅚН. ᅚН. ᅚЭлементы ᅚтеории ᅚоптимальных ᅚсистем ᅚ/ ᅚН.Н. ᅚМоисеев. ᅚ- ᅚМ.: ᅚФизико-математическая ᅚлитература, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ528 ᅚc.
12. Молодцов, ᅚД. ᅚА. ᅚИдеи ᅚмягкой ᅚвероятности ᅚкак ᅚновый ᅚподход ᅚк ᅚпостроению ᅚтеории ᅚвероятностей. ᅚГипотезы ᅚстохастической ᅚустойчивости ᅚи ᅚвероятность ᅚ/ ᅚД.А. ᅚМолодцов. ᅚ- ᅚМ.: ᅚЛенанд, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ112 ᅚc.
13. Мостеллер, ᅚФ. ᅚПятьдесят ᅚзанимательных ᅚвероятностных ᅚзадач ᅚс ᅚрешениями ᅚ/ ᅚФ. ᅚМостеллер. ᅚ- ᅚМ.: ᅚГлавная ᅚредакция ᅚфизико-математической ᅚлитературы ᅚиздательства ᅚ"Наука", ᅚ2016. ᅚ- ᅚ160 ᅚc.
14. Невельсон, ᅚМ. ᅚБ. ᅚСтохастическая ᅚаппроксимация ᅚи ᅚрекуррентное ᅚоценивание ᅚ/ ᅚМ.Б. ᅚНевельсон, ᅚР.З. ᅚХасьминский. ᅚ- ᅚМ.: ᅚГлавная ᅚредакция ᅚфизико-математической ᅚлитературы ᅚиздательства ᅚ"Наука", ᅚ2015. ᅚ- ᅚ304 ᅚc.
15. Пугачев, ᅚВ. ᅚС. ᅚТеория ᅚвероятностей ᅚи ᅚматематическая ᅚстатистика ᅚ/ ᅚВ.С. ᅚПугачев. ᅚ- ᅚМосква: ᅚВысшая ᅚшкола, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ496 ᅚc.
16. Рогов, ᅚС. ᅚФ. ᅚМатематические ᅚметоды ᅚв ᅚтеории ᅚпринятия ᅚрешений ᅚ/ ᅚС.Ф. ᅚРогов. ᅚ- ᅚМосква: ᅚНаука, ᅚ2017. ᅚ- ᅚ148 ᅚc.
17. Тутубалин, ᅚВ. ᅚН. ᅚТеория ᅚвероятностей ᅚ/ ᅚВ.Н. ᅚТутубалин. ᅚ- ᅚМ.: ᅚИздательство ᅚМГУ, ᅚ2016. ᅚ- ᅚ232 ᅚc.
18. Федоткин, ᅚМ. ᅚА. ᅚМодели ᅚв ᅚтеории ᅚвероятностей ᅚ/ ᅚМ.А. ᅚФедоткин. ᅚ- ᅚМ.: ᅚФИЗМАТЛИТ, ᅚ2016. ᅚ- ᅚ608 ᅚc.
19. Хеннан, ᅚЭ. ᅚМногомерные ᅚвременные ᅚряды ᅚ/ ᅚЭ. ᅚХеннан. ᅚ- ᅚМосква: ᅚГостехиздат, ᅚ2016. ᅚ- ᅚ576 ᅚc.
20. Ширяев, ᅚА. ᅚН. ᅚВероятность-1, ᅚ2 ᅚ/ ᅚА.Н. ᅚШиряев. ᅚ- ᅚМ.: ᅚМЦНМО, ᅚ2015. ᅚ- ᅚ552 ᅚc.