Проект "Комбинаторика и лоскутная техника"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Бобровская средняя общеобразовательная школа № 1

Секция: математика

Выполнили:

обучающиеся 5 «Б» класса

Ждамарова Елизавета,

Махина Марина,

Чижова Анастасия.

Руководитель проекта:

Тищенко Анна Витальевна

Бобров, 2017

Содержание

 ВВЕДЕНИЕ

1.  История развития комбинаторики.

2. История развития «Лоскутной техники».

2.1. История развития лоскутной техники в мире.

2.2. История развития лоскутного шитья.

2.3. Лоскутное шитье в России.

3. Методы решения комбинаторных задач.

4. Изготовление кухонных прихваток.

4.1. Перебор вариантов комбинаций геометрического рисунка.

4.2. Подсчет вариантов комбинаций геометрического рисунка по формулам.

4.3. Задачи с урока технологии.

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов разложения некоторых предметов. Разные варианты, которые приходится выбирать, складываются в самые различные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопрос: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

Комбинаторика - раздел математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. На уроках технологии при изготовлении рисунка на  кухонных прихватках, из лоскутков ткани геометрической формы, меня заинтересовало, сколько разных прихваток  можно сшить из трех лоскутков, из четырех лоскутков.

Актуальность:

Сегодня выбором объектов и расположением их в том, или ином порядке приходится заниматься всем. Современный человек должен самостоятельно мыслить, сопоставлять факты, уметь находить различные варианты решения проблем. Умение решать комбинаторные задачи пригодится ученикам в разных жизненных ситуациях и на многих уроках в школе. Лоскутное шитье во времена экономического кризиса помогает многим людям сохранить семейный бюджет. Комбинации лоскутков различной геометрической формы применяются для создания одежды и предметов интерьера. Накопление опыта решения комбинаторных задач расширяет кругозор, показывает использование комбинаторики в смежных дисциплинах.

Гипотеза:

комбинаторика имеет широкую практическую направленность в лоскутной техники.

Объект исследования: область математики «Комбинаторика» и вид прикладного искусства «Лоскутная техника».

Цель: показать широкое применение комбинаторики в одном из видов прикладного искусства – «Лоскутной техники». Выяснить какие комбинаторные методы применяются для перебора вариантов построения комбинаций геометрического рисунка.

Задачи:

• подобрать и изучить литературу о истории развития комбинаторики;
• изучить историю развития «Лоскутной техники»;
• провести перебор вариантов построения комбинаций геометрического рисунка при изготовлении кухонных прихваток;
• проанализировать результаты перебора и результаты подсчета по формулам комбинаторики;
• составить комбинаторные задачи на основе материала с урока технологии.

1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации.

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

 Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным  делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета  дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики.

 С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху.

Ещё первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьём зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем, они были ещё очень далеки от  комбинаторики и теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

Наиболее интересные для начинающих задачи комбинаторики и теории вероятностей возникли в области азартных игр. Этому, по-видимому, способствовало наличие монеты или игральной кости.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал

выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.

      Как раздел математики комбинаторика возникла в XVI веке, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов.  Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557 гг.), Г. Галилею (1564-1642 гг.)   Дальнейшее развитие комбинаторики связано с трудами Б. Паскаля (1623 – 1662 гг.) и П. Ферма (1601 – 1665 гг.) по теории азартных игр. Позднее крупный вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (1646 – 1716 гг.), Я. Бернулли (1654 – 1705 гг.) и Л. Эйлером (1707 – 1783 гг.). В их работах были даны определения основных понятий комбинаторики, развиты первые комбинаторные методы и указаны их применения, а также прослежена связь комбинаторики с исчислением вероятностей. Именно комбинаторика послужила фундаментальной основой началам теории вероятностей. Немецкий учёный Г.Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г., впервые выделил комбинаторику как самостоятельный раздел математики. Он также впервые ввел термин «комбинаторика».

Возрождение интереса к комбинаторике относится к 50-м годам XX века. Это связано с развитием кибернетики и дискретной математики. Возможность использовать ЭВМ активизировала интерес к классическим комбинаторным задачам.

2. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ  «ЛОСКУТНОЙ ТЕХНИКИ»

2.1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЛОСКУТНОЙ ТЕХНИКИ

Гурама... Пэчворк... Квилт... Все это - лоскутная техника, корни которой в очень далеком прошлом. Некоторые исследователи называют примерную дату зарождения этого вида бытовой деятельности человека, отсылая нас к девятому веку. Впрочем, некоторые из них считают, что на самом деле это было гораздо раньше. Однако, как бы там ни было, мы знаем, что «лоскутная техника» - это один из видов прикладного искусства, чрезвычайно востребованный сегодня.

В традиции очень многих народов Европы, Азии, Америки это практичное изобретение человечества было связано, прежде всего, с бедностью большей части населения, которая пыталась таким образом решить свои житейские проблемы. И, конечно, нетрудно догадаться, что изобретательницей техники сшивания лоскутков была женщина. Именно она, решая домашний вопрос - во что одеть мужа и детей, додумалась до абсолютно экономичного и оправданного действия: из лоскутков старой, вышедшей из обихода одежды, создавать новую, а также предметы домашнего обихода в виде одеял, навесов, сумок, подушек и занавесей. Многие из исследователей склонны предполагать, что впервые этот метод применили англичанки; сшивая из кусочков кожи одежду. Другие утверждают, что этот вид творчества возник все-таки на Востоке и был известен в Японии и Китае много тысячелетий назад. Впрочем, это уже дело исследователей - докапываться до самых фантастических   деталей и подробностей исторического хода событий - в возникновении и распространении этого рукотворчества по всей планете и отличительных национальных особенностей, ставших основополагающей частью того или иного рисунка. Понятно, что в Африке, Японии или Древней Руси все это выглядело абсолютно по-разному. Но все, же объединяющие моменты существуют. Например, практически во всех техниках отмечено наличие

геометрического рисунка: квадрат, круг, прямоугольник, треугольник и т.д.

2.2. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЛОСКУТНОГО ШИТЬЯ. 

Лоскутная мозаика известна очень давно. Ее применяли вместе с другими технологиями шитья, когда создавали одежду и предметы интерьера из ткани. Были найдены аппликации, сделанные 3000 лет назад. Однако лоскутная техника как самостоятельный вид декоративно-прикладного искусства начало развиваться в Англии в первой половине восемнадцатого века.

В семнадцатом веке в Англию начали привозить индийские хлопчатобумажные ткани прекрасных расцветок и узоров. Иметь в доме одеяло индийского производства, богато декорированное вышивкой или набивным рисунком, стало считаться признаком достатка. Появились и подделки -    одеяла из хлопчатобумажных индийских тканей, но выполненных на английских мануфактурах. В 1721 г. Правительство Англии издало Акт о сохранении и развитии шерстяных и шелковых мануфактур, запрещающий продавать ситец и изделия из него, произведенные в Индии. Конечно, контрабанду ситца это не остановило, однако он стал дефицитен и очень дорог. Экономные хозяйки, выкроив из дорогого ситца одежду, стали использовать его остатки для других изделий. Так, яркие элементы узора ткани шли на аппликации: их нашивали на льняные или шерстяные полотна. А из мелких лоскутков разноцветных тканей создавали единое полотно по принципу мозаики. Таким образом, лоскутная техника первоначально возникла как способ изготовления рукодельницами модных текстильных предметов интерьера (например, парадных одеял) в домах без большого достатка. Этот вид рукоделия вместе с переселенцами попал в Америку, и там лоскутная техника постепенно стала национальным видом декоративно-прикладного искусства. Богато декорированное стеганое лоскутное

одеяло  теперь – обязательная часть интерьера традиционного американского дома. За последние два столетия американские мастерицы разработали множество прекрасных узоров, ставших традиционными, и выработали определенные технологии изготовления лоскутных изделий. Любопытно, что лоскутная техника особенно развита в странах, где населению свойственна психология первопоселенцев: сочетание бережливости с любовью к обустройству и украшению дома. Естественно, что в Европе работой с тканями больше занимались женщины, поэтому и в современном декоративно-прикладном искусстве лоскутной техники преобладают женщины – мастерицы и художницы.

2.3. ЛОСКУТНОЕ ШИТЬЕ В РОССИИ

Первоначально это было не столько лоскутное шитье в современном понимании этих слов, сколько перешивание, подновление одежды и предметов убранства жилища из лоскутков, отслуживших свой срок вещей. Старые вещи разрезались, лоскутки сортировались: все, что годилось для шитья, шло на лоскутные одеяла, занавески; из очень поношенного плели дорожки, шили  махровые  коврики – половички. Поскольку «мелкоте» - так на Руси называли мальчиков и девочек до шести – восьми лет – новый одежды не полагалось, то русские крестьянки перешивали старые рубашки, на рубашечки для самых маленьких. Да и одежды более взрослых детей шили преимущественно из старой одежды родителей или просто давали донашивать свою. Такая традиция была распространена не только в бедных семьях, но и в зажиточных и даже богатых. Сейчас это может показаться странным, но если учесть, что вся одежда состояла только из натуральных волокон и шилась натуральными нитками, то становится понятным, почем у вещи, послужившие одному поколению, не только не выбрасывались, но и могли пригодиться детям и внукам.  Следует сказать, что до восемнадцатого века одежда на Руси была в основном домотканой, то есть  изготавливалась из полотна, сотканного на ткацком станке, который был почти в каждой избе. Долгая и трудоемкая работа от выращивания льна, до производства ткани не позволяла расточительно относиться к сотканному полотну. Поэтому сам крой народной одежды и прием ее шитья предполагали безотходное использование материала. Все это давало бережливому и расчетливому крестьянскому уму толчок к лоскутному творчеству, позволяя находить все новые и новые способы использования старых вещей. Однако с появлением первых фабричных ситцев в восемнадцатом веке, а также благодаря изобретению швейной машины, появились новые возможности для развития и существенного обогащения лоскутной традиции. Дешевые, практичные, красочные ситцы охотно использовали не только в

крестьянских, но и в городских домах. Из них шили одежду, а из разноцветных остатков ситцев лоскутные одеяла. В двадцатом веке, во времена кризисов, падения производства и воин, лоскутное шитье помогало многим людям выжить, сохраняя семейный бюджет и обеспечивая самым необходимым. В послевоенное время традиции лоскутного шитья отошли на второй план, уступая место промышленному производству одежды и предметов быта. Продолжали заниматься лоскутным шитьем лишь редкие энтузиасты – художники в городах, да в деревнях по старинке продолжали шить лоскутные одеяла и плести разноцветные половички. Музеи России начинают собирать и изучать лоскутное шитье как вид современного искусства. С этого времени появляется и постепенно растет интерес к этому виду художественного  творчества. Сейчас лоскутным шитьем занимаются самодеятельные мастера и  художники – профессионалы. Они увлеченно трудятся над созданием лоскутных одеял, черпая вдохновение в национальном искусстве. Современное лоскутное шитье тесно переплетается с народной швейной традицией, а через нее культурным наследиям прошлого. Лоскутные работы в русском стиле отличаются особой яркостью, весельем красок. Для них характерно многоцветье, гармоничное сочетание пестрого с пестрым, а также умелое использование  в одном изделии тканей разных фактур. Во многих городах России образуются курсы любителей лоскутного шитья, проводятся встречи, фестивали, совместные акции, реализуются международные проекты. Сейчас, когда лоскутное шитье получает второе рождение, многие страны борются за приоритеты в этой сфере человеческой деятельности. Но, наверное, правильнее будет сказать, что лоскутное шитье интернационально, то есть принадлежит всему миру.

3.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

 «Особая примета» комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами».

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 2 и, наконец, с цифры 7:

11,14,17,41,44,47,71,74,77.

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Задача 2.В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы — "а" и "у". Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

Решение. Слова удобно выписывать в алфавитном порядке. Сначала запишем слова, начинающиеся с буквы "а", потом слова, начинающиеся с буквы "у":

ааа, аау, ауа, ауу, уаа, уау, ууа, ууу.

Получилось 8 слов, и каждое из них состоит из 3 букв.

Дерево возможных вариантов

Для каждой из приведенных задач мы искали свой способ перебора всех возможных вариантов решения. Однако существует единый подход к

решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название — дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Вернемся к задаче о составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для ее решения построена специальная схема .

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева — различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для этого есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7. Затем надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

Посмотрим, как построение дерева помогает решить самые разные комбинаторные задачи.

Задача 3. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. В справочном бюро они получили следующие сведения: из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву — на самолете, теплоходе, поезде или автобусе.      
       Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие?

Решение. Изобразим все возможные способы совершить путешествие при помощи дерева. При построении дерева использованы следующие обозначения: Т — теплоход, П — поезд, С — самолет, А — автобус.

Таким образом, имеется 8 возможных способов добраться из Волгограда в Нижний Новгород и затем в Москву. Из них ребята могут выбрать подходящий по времени и по стоимости.

Задача 4. Перед выпуском группа учащихся из 30 человек, обменялись фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек. Каждый человек из группы должен раздать по 29 карточек.

Получается: 29 · 30 = 870 (кар.) – Столько карточек было роздано.

Ответ: 870 карточек.

Задача 5.  Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4. без повторений.

На каждую первую цифру будет 6 чисел. Например: 1 2 3 4, 1 4 2 3,

1 3 2 4, 1 3 4 2, 1 2 4 3 то есть нужно взять 6 чисел по 4.

Получается: 6 · 4 = 24 (ч.) – Столько получается чисел.

Ответ: 24 числа.

4. ИЗГОТОВЛЕНИЕ КУХОННЫХ ПРИХВАТОК

4.1 ПЕРЕБОР ВАРИАНТОВ КОМБИНАЦИЙ   ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РИСУНКА

На уроке технологии мы решили изготовить кухонные прихватки. Рисунок на прихватках мы будем выполнять из лоскутков ткани, имеющих форму  различных геометрических фигур. Мы выполняли рисунок из прямоугольников и квадратов разного размера и цвета. Нам стало интересно, сколькими способами  можно составить рисунок на кухонных прихватках.

Первая серия прихваток: взяли 3 лоскутка в форме прямоугольников разного цвета (синий, красный, зеленый). При изготовления рисунка комбинировали лоскутки по цвету и выбирала для рисунка  2 прямоугольника из 3 прямоугольников.

Чтобы подсчитать все возможные комбинации,  составили схему:

У меня получилось 6-ть способов изготовления рисунка на кухонной прихватке.

Вторая серия прихваток: взяли 3 лоскутка в форме прямоугольников разного цвета (синий, красный, зеленый). При изготовления рисунка мы комбинировали лоскутки по цвету и выбирали

для рисунка 3 прямоугольника. Для подсчета всевозможных комбинации мы снова составили схему (дерево возможных комбинаций).

Первый лоскуток я могу выбрать тремя способами, второй – двумя способами, а третий – только одним. Всего получилось 6 комбинаций.

Третья серия прихваток:  взяли 4 лоскутка в форме прямоугольника и сначала комбинировали их по 2 прямоугольника, а затем по 3.

Чтобы сосчитать всевозможные комбинации, мы составили схему:

Получилось 12 комбинаций рисунка.

Дальше мы взяли по 3 лоскутка из 4 и составили схему:

Получилось 24 способа составления рисунка.

Проводя свои исследования, дальше мы выбрали 4 лоскутка, различной геометрической формы и цвета.

При изготовлении кухонных прихваток мы использовали 4 лоскутка: большой квадрат, маленький квадрат и два одинаковых прямоугольника. Чтобы подсчитать всевозможные комбинации этих геометрических фигур, я составила специальную схему. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Таким образом, у нас получилось 24 различных способов расположения лоскутков в геометрическом рисунке.

5.2. ПОДСЧЕТ ВАРИАНТОВ КОМБИНАЦИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РИСУНКА ПО ФОРМУЛАМ

При подсчете возможных комбинаций геометрического рисунка на кухонных прихватках способом составления схем я затратила много времени. А если применить формулы комбинаторики, то вычисление можно упростить и затратить меньше времени.

В зависимости от правил составления комбинаций можно выделить 3 типа комбинаций:

1. Перестановки;

2. Размещения;

3. Сочетания.

Определение: Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

…2*1

При изготовлении  рисунка из трех прямоугольников разного цвета можно применить эту формулу

 способов

Определение: Размещением из п элементов по к называется любое множество, состоящие из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.

По этой формуле можно рассчитать количество комбинаций при изготовлении кухонных прихваток, выбирая из 3-х лоскутков прямоугольной формы по 2 прямоугольника.

  способов

По этой же формуле можно рассчитать количество комбинаций выбирая из 4-х лоскутков прямоугольной формы по 2 прямоугольника.

 способов

При изготовлении из 4-х лоскутков прямоугольной формы, выбирая по 3 прямоугольника по формуле получается 24 способа

 способа

При изготовлении кухонных прихваток из 2 квадратов и 2 прямоугольников количество комбинаций можно рассчитать по формуле перестановок

 способа

Результаты перебора возможных комбинаций геометрического рисунка на кухонных прихватках и результаты  подсчета этих комбинаций по формулам комбинаторики совпали. Использование формул комбинаторики сокращает время подсчета комбинаций.

5.2. ЗАДАЧИ С УРОКА ТЕХНОЛОГИИ

1. На уроке технологии в нашем классе занимаются 14 девочек. Сколькими способами можно рассадить их на 14 мест?

2. Для изготовления рисунка на круглом коврике взяли лоскутки в виде 6 треугольников разного цвета. Сколькими способами можно составить рисунок из 6 треугольников?

3. К 8 марта были сшиты 10 фартуков. Сколькими способами можно их подарить 10 мамам?

4. В олимпиаде по технологии участвовало 20 учеников. Сколько существует вариантов распределения 3-х призовых мест и одного поощрения?

5. Сколькими способами можно выбрать 3 цветные полоски разного цвета для коврика из 9 лоскутков?

6. Сколькими способами можно рассадить учениц за ручную, ножную и электрическую швейные машины, если всего в группе занимается 14 девочек.

7. Из 14 учениц класса, нужно выбрать 3 ученицы на олимпиаду по технологии. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

8. Для изготовления рисунка на лоскутном одеяле взяли 15 кругов и семь квадратов. Рисунок нужно составить из 5 кругов и трех квадратов. Сколькими способами это можно сделать?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работая над этим проектом, мы расширили свои знания о комбинаторике и лоскутной технике. Рассмотрели, как можно комбинировать рисунок из нескольких лоскутков различной геометрической формы. Приобрела опыт решения комбинаторных задач при изготовлении кухонных прихваток с геометрическим рисунком.

Рассмотрев использование комбинаторики  в одном из видов прикладного искусства – «лоскутной технике», мы показали практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом, мы подтвердили гипотезу:  комбинаторика – это раздел математики, который имеет широкую практическую направленность в  лоскутной технике.

Мы надеемся,  что наша работа заинтересует учащихся, поможет развитию их кругозора, мышления, будет способствовать развитию творчества и умению решать комбинаторные задачи в разных ситуациях в жизни.

ЛИТЕРАТУРА

• Айгенер М. Комбинаторная теория. М.:Мир,1982.
• Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл.с глуб. изуч. математики/ Н.Я. Виленкина-М.: Просвещение,1999
• Бородин А.И.,Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в облости математики. Киев: Ряданськая школа, 1979
• Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе//  Математика.-2004.-№31.
• Виленкин Н.Я. Комбинаторика. –М: Просвещение, 1969
• Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004- №15.
• Шейнина О. С., Соловьева Г. М. Математика/О. С. Шейнина, Г. М. Соловьева – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2007. – 208с.
• Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил.
• Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2004. –

              Автор-составитель В. Балязин. – 848 с.