Объемы тел
Презентация "Объемы тел"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 feoktistovtaylakov_11_klass.ppt | 1.92 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением.
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой.
Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников. Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.
Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.
Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;
Объем тела есть неотрицательное число; Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих; Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице; Равные геометрические тела имеют равные объемы. Следствие. Если тело имеет объем V 1 и содержится в теле, имеющем объем V 2, то V 1 < V 2.
V = a 3 где V - объем куба, a - длина грани куба.
В Берлине создан проект о построении многоэтажного здания в форме куба с ребром 50м. Найдите объем здания.
Так как нам все дано, мы можем найти объем по формуле: V = a 3 V = (50м) 3 = 125000м 3 Ответ : V = 125000м 3
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a · b · h где V - объем прямоугольного параллелепипеда, a - длина, b - ширина, h – высота
Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда c измерениями 23см, 13см, 7,5см. Найдите объем кирпича.
Так как нам даны все три ребра, то мы можем с легкостью найти объем кирпича, по формуле: V = a · b · h V = 23см * 13см * 7,5см= 2242,5см 3 Ответ : V = 2242,5см 3
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту. Формула объема призмы V = S осн h где V - объем призмы, S осн - площадь основания призмы, h - высота призмы.
Из металлической заготовки в форме шестиугольной правильной призмы было заготовлено 20 ключей шестигранников , в основании ребро равно 5мм, а его высота в прямом состоянии равна 15см. Найдите объем металлической заготовки.
Решение: V = S осн h Найдем площадь основания шестигранника по формуле: 3а 2 √3 /2. S = 3 *(5мм) 2 * √3 / 2 = 37,5√3мм 2 Найдем объем шестигранника: 15см = 150мм V = 37,5√3мм 2 * 150мм = 5625√3мм 3 Ответ : V = 5625√3мм 3
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Формулы объема цилиндра V = S осн h V = π R 2 h где V - объем цилиндра, S осн - площадь основания цилиндра, R - радиус цилиндра, h - высота цилиндра, π = 3.141592.
Сколько тонн нефти может перевезти поезд, имеющий в своём составе 15 цистерн, если диаметр котла каждой 3м, а длина 10,8 м, а плотность нефти составляет 850 кг/м 3 ?
Решение: V = π R 2 h Найдем площадь основания котла по формуле: S = π R 2 S = (1,5м) 2 3,14= 7,065м 2 Найдем объем котла по формуле: V = π R 2 h V = 7,065м 2 * 10,8м = 76,302м 3 Теперь найдем массу нефти, вмещаемую в котел по формуле: m = pv m = 850 кг/м 3 * 76,302м 3 = 64856,7кг, теперь переведем в тонны m = 64,8567т Теперь умножаем на количество цистерн: 64,8567т * 15 = 972,8505т Ответ : V = 972,8505т
Объем пирамиды равен одной третьей от произведения площади ее основания на высоту. Формула объема пирамиды V = 1/3S осн · h где V - объем пирамиды, S осн - площадь основания пирамиды, h - длина высоты пирамиды.
Найдите объем пирамиды Хеопса, если в основании лежит квадрат, и его сторона равна 230м, а высота пирамиды равна 146,6м.
Решение: V = 1/3S осн · h Найдем площадь основания по формуле: S = a 2 S= ( 230 м) 2 = 52900 м 2 Найдем объем: V = 52900м 2 * 146,6м /3= 2585046,7м 3 Ответ : V = 2585046,7м 3
Объем конуса равен одной третьей от произведения площади его основания на высоту. Формулы объема конуса V = 1/3(π R 2 h) V = 1/3 S осн h где V - объем конуса, S осн - площадь основания конуса, R - радиус основания конуса, h - высота конуса, π = 3.141592.
На карнавал Вова сделал себе шляпку в форме конуса. Радиус этой шляпы получился 10 см, а угол между радиусом и образующей равен 30 о . Найдите объем шляпки.
V = 1/3S осн · h Найдем площадь основания шляпки по формуле: S = П R 2 S= (10см) 2 * 3,14 = 314см 2 Найдем высоту шляпки через tg 30 o . h = tg 30 o *10см= 10/ √3см Найдем объем шляпки: V = 314 c м 2 * 10/ √3см = 3140√3см 3 Ответ : V = 3140√3см 3
Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи. Формула объема шара V = 4/3(π R 3 ) где V - объем шара, R - радиус шара, π = 3.141592.
Мише купили футбольный мяч в спущенном состоянии. Найдите объем этого мяча, если сказано, что в накаченном состоянии этот мяч имеет диаметр 25см.
V = 4/3(π R 3 ) Нам все дано для решения задачи, поэтому подставляем данные: V = 4 * 3,14 * 12,5см 3 /3 = 8177,0833см 3 Ответ : V = 8177,0833 c м 3
Фокус-покус! Раз, два,три!
Какая бывает зима
Притча о гвоздях
Интересные факты о мультфильме "Моана"
Цветущая сакура