МБОУ «Ананьевская средняя общеобразовательная школа»

Кулундинского района Алтайского края

Сумма членов последовательностей

Выполнил: Классен Давид

Андреевич, ученик 11 класса

Руководитель: Утовкина Галина

Ивановна, учитель математики

Ананьевка 2020

Содержание:

1. Введение..з

П. Содержание...4

1. Сумма членов последовательности...4
2. Метод математической индукции..4 З. Доказательства формул, выражающих п -й член арифметической и геометрической прогрессий, сумму их членов...7 4. Примеры нахождения суммы п первых членов произвольных последовательностеи.9

Ш. Заключение...12

4. Литература..13
5. Приложения

Приложение 1 Принцип математической индукции

Приложение №2 Алгоритм доказательства методом математической индукции 15

З

1. Введение.

Объект исследования: последовательности.

Цель: Исследовать последовательности на нахождение суммы их п первых членов. Задачи:

1. Изучить вопрос о нахождении сумм последовательностей.
2. Ввести понятия метода математической индукции.

З. Провести строгие доказательства формул п —х членов, арифметической и геометрической прогрессии, сумм п первых их членов опирающихся на методе математической индукции.

4. Рассмотреть метода математической индукции к нахождению сумм п первых членов произвольных последовательностей.

Критерии новизны: ввод в доказательства метода математической индукции

П. Содержание

[Изучая тему «Последовательности», частные виды последовательностей арифметическую и геометрическую прогрессии, я задумалась над таким вопросом можно ли сумму п первых членов этих прогрессий высчитать, не используя выведенные формулы. Например, пусть будет дана 1, З, 5

2n — 1 „арифметическая прогрессия, d= 3-1 =2

Производя вычисления суммы двух, трех и так далее членов, можно заметить закономерность

И тогда сумму «например» 17 п первых членов данной прогрессии можно найти так S17 — 17 2 = 289. А по формуле п первых членов арифметической прогрессии

Sn (.2al +d (n-l,) ) п 2

16 0.) . 1 7.) =289

2

Хотя формулу Sn = п- можно получить из формулы

Sn = (.аеап) п = (1+2n -1) п         и потом ее использовать

        2        2

А можно ли доказать , что 1+3+5+7+... +(2n -1) , то есть сумма п первых нечетных чисел равна п 2 , без опоры на формулу п первых членов арифметической прогрессии, доказательство которой не является строгим.

Для арифметической и геометрической прогрессии мы вывели формулы для нахождения суммы п первых их членов.

А можно ли выразить формулой сумму членов последовательности, не являющейся арифметической и геометрической прогрессиями?

Например найти сумму п первых членов последовательности 1 , 4, 9 16 25,

2. Ответить на эти вопросы мне помог метод математической индукции, Индукция есть метод получения общего утверждения из частных наблюдений, например любой человек наблюдает смену ночи утром, утра — днем и т.д. . На основе этих наблюдений он делает вывод о смене времени суток как об общей закономерности. Вывод этот верен. Аналогично можно сделать вывод о смене времен года. Рассмотрим целые числа, определяемые формулой п (х) = х2 +х +41 Будем давать х

значения 0, l , 2, З, ... Тогда п (0) = 41, п (1) =43, п(2) = 47 Числа — простые. А будет ли формула

п (х) +х +41 давать только простые числа? В свое время ошибся Леонард Эйлер, считая что да. При х п 1681 =41 2 число составное.

Чтобы избежать подобных ошибок, надо перебрать все возможные случаи, что не всегда возможно, или справедливость утверждения доказать методом, основанном на принципе математической индукции.

Принципы математической индукции

Если некоторое утверждение (формула) справедлива при п = 1 и из предположения его справедливости для некоторого натурального значения п К следует справедливость утверждения для следующего натурального значения п =k +1, то утверждение справедливо для всех натуральных значений п .

Способ доказательства методом математической индукции заключается в следующем

1. Доказывают или непосредственно проверяют справедливость утверждения (формулы) для п
2. Предполагают справедливость утверждения для некоторого натурального п = К . Исходя из этого предположения, доказывают справедливость утверждения для п =k+l. И делается вывод о справедливости утверждения для любого натурального п.

Метод математической индукции можно применять только для доказательства утверждении, зависящих от натурального п . В основном он применяется для решения задач двух видов.

1) исходя из частных наблюдений устанавливают некоторую закономерность и затем доказывают ее справедливость методом математической индукции. 2)доказывают справедливость некоторой формулы методом математической индукции.

Приведем пример доказательства методом математической индукции

Пример 1

Докажем, что сумма первых п нечетных чисел равна п 2 , то есть

Sn =l+3+5+... +(2n -1)         (Алгебра 9 кл. N2374(6))

Решение: l)Sl =l =1 2, следовательно, утверждение верно при п — I

2)пусть К — любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для п то есть Sk 1+3+5+... +(2k —

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа п К —1, то есть докажем , что

+ (2k-l) +(2k+l

В самом деле

Тем самым по принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального значения п.

Рассмотрим последовательность, членами которой является первое п натуральных чисел

2

2

2

2

Пример 2

Докажем что сумма п последовательных натуральных чисел равна

2

2

1)Проверим справедливость утверждения для n=l. При п сумма состоит из одного числа, т.е Sl и по формуле имеем

2

т.е для п =l формула верна

2)Предложим справедливость формулы для некоторого п        К, т.е        

2

Исходя из этого предложения, докажем справедливость формулы для п к +1 , т.е. докажем, что

        2        2        2

И так, мы доказали, что формула верна для n=k+l. Следовательно, в силу принципа математической индукции данная формула верна для любого натурального п.

З. Формулы п —х членов арифметической и геометрической процессии в учебнике «Алгебра» 9 класс под редакцией С. А. Теляковского записаны исходя из записи второго, третьего, четвертого и так далее членов согласно определения прогрессии, то есть без всякого доказательства. А доказать их можно методом математической индукции

Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле ап = аи +d (п -1) (1)

1)При п получим т = al + d( l -l) al Следовательно, формула верна.

2)пусть К — любое натуральное число и пусть формула справедлива при п

Докажем, что тогда формула верна и для следующего натурального числа п k+l , то есть докажем , что

По определенто арифметической прогрессии, а кн = ак + d Подставим в это равенство выражения для ак . которое согласно предложению индикации считаем верным Получим +dk —d +d +dk

Значит формула (1) верна для всех п.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле п-1 (2)

а)При п =l получил ю = ю 1-1 Следовательно, формула верна

б)Пусть формула верна при п=К где К натуральное число

то есть вк = В!

Докажем, что формула верна и для следующего натурального числа n=k+l то есть докажем, что В kfl В q

По определению геометрической прогрессии

Подставим в это равенство выражения для вк , которое согласно предположению индукции, считает верным. Получим

Значит , формула (2) верна для всех натуральных п.

Методом математической индукции можно доказать и формулы п первых членов арифметической и геометрической прогрессии

        (1)

2

(1-1

Докажем формулу ( 1)

1. Проверим справедливость утверждения при п-=1 .

= а, т.е. для п формула верна 2

2. предположим справедливость формулы для некоторого п =k,

2

Исходя из этого предложения, докажем справедливость формулы для n=k+l, то есть

2

2

—(2al +dk —d) К + 2al + 2dk2ак +dk2 dk +2al + 2dk

        2        2

=2alk +dk2 + dk +2т

2

К (2al +dk) +(2т +dk)

        2        2

И так , мы доказали, что формула верна для п =k +1

Следовательно , в силу принципа математической индукции формула верна для любого натурального п.

4. Пример З Последовательность 1, 4, 9, . . . п2 . . . не является арифметической или геометрической прогрессиями.

Докажем, что сумма п первых ее членов равна п(п+1 ) (2n+1), то есть

6

12+ 22+32 + +         п(п+1) (2n+1)

6

1) Проверим справедливость утверждения при . При п сумма состоит из одного числа, т.е. S( l ) =l и по формуле

        6        6

т.е. для п =l формула верна

2)предположим справедливость формулы для некоторого п =k,

6

Исходя из этого предложения, докажем справедливость формулы для n=k+l, то есть

S k+l = (.k+l.) (Кн- 2.) (2К+З) 6

Действительно

6 k(k+l) (2k+l ) +6

6

 (k+l ) (2k2 +7k+6.)

        6        6        6

(.k+l) (К -2) (2К+3)

        6        , где

2k2 +7k+6  (k+2) = (2k+3) (k+2)

2k2 +7К+6=О

— 4ас

D = 49 -48 =

        4        4        

Итак , мы доказали, что формула верна для п =k +l

Следовательно , в силу принципа математической индукции формула верна для любого натурального п.

Пример 4 Докажем , что сумма п членов последовательности —n) равна п2 (п+1),то есть

Доказательство

2+10+24+... +(3п2 -п)         (11+1)

Доказывать будем, заполняя таблицу

Ш. Заключение.

Исследовав ряд последовательностей, можно вывести формулу для нахождения суммы их членов, а затем доказать методом математической индукции их верность. В ходе исследования приходиться увидеть определенную закономерность, в ходе доказательства повторить ране изученный материал по упрощению алгебраических выражений развить вычислительные навыки, сделать определенные умозаключения. В дальнейшем я хочу дальше изучить применение метода математической индукции

Литература

1. И.С. Петраков. «Математические кружки 8-10 классы» Москва «Просвещение» 1987 г.
2. В.Н. Арефьев. «Математический анализ» Москва 2006г

З. А.Н. Колмогоров. «Алгебра и начала анализа» Москва «Просвещение» 1978г.

Принцип (аксиома) математической индукции

Утверждение, зависящее от натурального числа п, справедливо для любого п, если выполнены условия:

а)утверждение справедливо при п = 1;

б)при любом натуральном значении К из справедливости утверждения для п =k вытекает его справедливость и для n=k+l.

Алгоритмы доказательства методом математической

индукции

1. Подставить п = 1 в данную формулу (утверждение) и проверить, верно ли полученное равенство (утверждение). 2. Пусть К - любое натуральное число. Подставить в данную формулу (утверждение) вместо п число К и предположить , что полученное равенство (утверждение) верно.

3. Доказать что формула

(утверждение) верна и для п = К+1

4. Сделать вывод, что формула

(утверждение) верна для всех п.