В данной работе описывается связь математики с музыкой. И используя формулу Кеплера, автор сочинила музыку.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 1.8 МБ |
![]() | 23.87 КБ |
Региональная научно - практическая конференция
"Интерес. Познание. Творчество"
Связь математики с музыкой
Работа ученицы 7"А" класса
Лицея "Технический" г. Обнинска
Симонян Карины
научный руководитель
Сергеева Л.А.,
учитель высшей категории
г.Обнинск
Оглавлание:
Введение………………………………………………………………3
1.Исторические открытия в области теории музыки………………..3
2. Взаимосвязь между математикой и музыкой…………………….7
3. Некоторые понятия теории музыки………………………….……9
4. Ступени и аккорды строящиеся на них…………………………..10
5. Исследовательская часть…………………………………..………11
6. Выводы…………………………………………………………......14
Заключение………………………………………………………....15
Литература……………………………………………………….…15
Введение
"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."
Г. Нейгауз
Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.
Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.
Моя работа является исследовательской. Я поставила перед собой цель, изучив связь музыки и математики, рассмотрев основные понятия музыки и математические формулы Кеплера, создать отрезок музыкального произведения, опираясь только на основные музыкальные и математические понятия.
1. Исторические открытия в области теории музыки.
Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полу инструмент, полу прибор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Было подмечено определенное соответствие между высотой звука и конкретным числом, определяющим длину струны. В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы: 1. Две звучащие струны определяют консонанс (приятное для слуха звучание струны) если их длины относятся как целые числа, как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине L .
w = a : L ,
где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны. Именно по этому принципу был создан широко популярный в античности музыкальный инструмент – лира, который впоследствии стала эмблемой музыкального искусства. Основой музыкальной шкалы-гаммы пифагорейцев был интервал - октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, гармоническим. Но эта шкала музыкальной гаммы не позволяла получить точного октавного повторения исходного звука. Музыка выстроенная по этой шкале «резала слух» и получила название пифагорова комма. Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву - 2/1, большую сексту - 5/3, малую сексту - 8/5, чистую квинту - 3/2, чистую кварту - 4/3, большую терцию - 5/4 и малую терцию - 6/5.
малая терция (6/5) | 1,2 | |
большая терция (5/4) | 1,25 | |
чистая кварта (4/3) | 1,333 | |
чистая квинта (3/2) | 1,5 | |
малая секста (8/5) | 1,6 | |
большая секста (5/3) | 1,667 | |
октава (2/1) | 2 | |
С помощью этих интервалов он выводит весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. соразмерность). В основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается, логарифмами соответствующих частот. Музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей. Отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно.
секунда (9/8) | 1,125 | |
терция (5/4) | 1,25 | |
кварта (4/3) | 1,333 | |
квинта (3/2) | 1,5 | |
секста (5/3) | 1,667 | |
септима(15/8) | 1,875 | |
октава (2) | 2 | |
Органы, настроенные А. Веркмайстером, зазвучали в равномерно - темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорными. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было осуществлять переходы из тональности в тональность. И.С.Бах доказал жизнеспособность новой музыкальной системы, написав "Хорошо темперированный клавир", состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших "за" или "против" нового музыкального строя. История создания равномерной темперации еще раз свидетельствует о том, как тесно переплетаются судьбы математики и музыки. Рождение нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной "алгеброй гармонии", на которой выросла темперация. В музее музыкальной культуры можно увидеть музыкальные инструменты, в которых число ступеней в октаве значительно больше двенадцати. Были попытки создания инструментов с числом ступеней в октаве 24, 48, 53 для того, чтобы получить интервалы, наиболее близкие к чистым. В музыкальной практике, однако, такие инструменты не использовались.
2. Взаимосвязь между математикой и музыкой.
Рассмотрим взаимосвязи между математикой и музыкой с точки зрения ее теоретического построения. Основой математических знаний является арифметический счет. Счет, как числовой ряд состоит из определенной последовательности чисел, в которой каждое последующее число больше предыдущего на одну единицу – и это уже само по себе является определенной ритмической закономерностью. Арифметические действия с числами происходят путем перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот. По аналогии, музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук выше предыдущего также на одну единицу, (в музыке ей соответствует полутон), если звукоряд восходящий. Cоответственно, если звукоряд нисходящий, то каждый последующий звук ниже предыдущего на пол-тона. Аналогично арифметическому действию мы можем вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду. Ученые, изучавшие взаимосвязь между восприятием музыки и мыслительными процессами (Генрих Гетце 1994, Мария Спайхигер 2000) утверждают, что оперируя математическим рядом чисел и выполняя любые арифметические действия «в уме», будь то сложение, вычитание, умножение, деление или даже извлечение корня и возведение в степень, человек достигает результата весьма похожими пространственными мыслительными операциями, что и при дифференциации звуковысотности и длительности. Мне кажется весьма логичным утверждение, что существует определенная связь между арифметическими и музыкальными мыслительными операциями. При написании музыкального диктанта человек, не обладающий абсолютным музыкальным слухом вполне в состоянии записать точно и правильно прослушанную им мелодию, если он хорошо дифференцирует сравнительную звуковысотность (выше-ниже), темп (быстрее-медленнее), музыкальные длительности (дольше, короче, длиннее). Способность дифференцировать эти сравнительные соотношения тренируется и развивается музыкальными занятиями. Те же соотношения используются и в математике.
Определение интервала в музыке есть не что иное как вычисление разности между двумя звуками. Интересно и то, что когда музыканты воспринимают музыкальные интервалы, то в их воображении автоматически возникает числовой ряд, отрезок которого равен определенному интервальному отрезку, т.е. представляется отрезок чисел от 1 до 4 - если слышат кварту, от 1 до 7-если септиму и т.д. Наверное, возможно также представление септимы как отрезок чисел от 2 до 9 или от 3 до 10 – он также равен 7.
Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Соотношение частей музыкального произведения образуют музыкальную форму. Составные элементы музыкальных форм – мотивы, фразы, предложения, периоды – в совокупности образуют мелодию.
Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле, точно также как и формально сочинять стихи. (Правда, нет гарантии, что эти произведения будут представлять из себя какую-либо художественную ценность). Мелодия образуется только в том случае, если звуки организованы ритмически, т.е. определяются определенными длительностями. Чередование звуков вне ритма не воспринимается как мелодия; ритм же подчас настолько ярко характеризует мелодию, что ее можно узнать только по обозначению длительностей звуков без указания их высоты.
Основные ритмические измерения, применяемые в музыке - это относительные длительности: целая нота, половинная, четвертная, восьмая и т.д. Итак, в математическом построении 12 мажорных и 12 минорных тональностей совершенно тождественны. А как в звучании? Конечно, каждая из тональностей обладает своим неповторимым музыкальным оттенком. Можно провести своего рода эксперимент для произведения разных тональностей, определяя характер их звучания и музыкальные характеристики. Слушая сонату Л.Бетховена "Аврора", написанную в до мажоре, чувствуем в музыке светлое, солнечное, спокойное настроение. Итак, было рассмотрено математическое описание музыкальной гаммы - основы создания любого музыкального произведения. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония.
3. Некоторые понятия теории музыки
1. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.
2. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.
3. Тоника(тон) - основной наиболее устойчивый тон в гамме. С него начинается данная музыкальная система.
4.Лад – организация музыкальных звуков вокруг опорного звука, который называется тоникой.
5.Музыкальный строй - математическое выражение системы звуковысотных соотношений - лада.
6.Такт- отрезок музыкального произведения от одной сильной доли до следующей.
7.Доля такта - малый отрезок одинаковой длительности из которых складывается данный музыкальный текст.
8.Мотив произведения - 1-2 такта.
9.Отрезок произведения- 2-3 мотива соединённые вместе- относительно законченное музыкальное построение.
10.Аккорд- созвучие, состоящее не менее чем из трёх звуков.
11.Трезвучие – аккорд из трёх звуков, тоническое трезвучие- трезвучие построенное на первой ступени лада.
12.Мажорный лад- лад, в котором устойчивые звуки, взятые вместе , образуют мажорное трезвучие(с бодрой радостной эмоциональной окраской).
13.Ритмическая группировка – чередование звуков в определённом ритме.
14.Терция- интервал, который содержит три ступени. Малая терция(м.3) - имеет полтора тона. Большая терция(б.3)- состоит из двух тонов.
15.Ступень- порядковое обозначение звуков лада. Отмечается римской цифрой.
16.Квинта- интервал ,который содержит 5 ступеней. Уменьшённая квинта состоит из трёх тонов.
17.Уменьшённое трезвучие- трезвучие , которое состоит из двух малых терций , крайние звуки образуют уменьшённую квинту.
18.Септаккорд седьмой ступени- аккорд, из четырёх звуков, которые расположены или могут быть расположены по терциям и строится на седьмой ступени.
4. Ступени и аккорды строящиеся на них.
ступени | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
аккорды | Т5/3 S6/4 | D6/4 D4/3 ||7 | T6 | S5/3 D2 | K6/4 D5/3 D7 | S6 \/|5/3 | D6 D6/5 \/||7(ум,м) Ум5/3 |
Некоторые музыкальные формулы используемые в исследовании.
5/3=3+3 ( для аккордов: Т5/3;D5/3;\/|5/3;Ум5/3)
7=3+3+3( для аккордов: ||7;D7;\/||7)
5. Исследовательская часть.
Цель исследования
Попытаемся создать отрезок произведения, основываясь на музыкальных и математических формулах выведенных Кеплером.
Задаю условие моей задачи:
2) Отрезок произведения будет состоять из 4 тактов.
3) Размер моего отрезка 2/4 ( числитель дроби – количество долей в такте, знаменатель – длительность этих долей).
4) В каждом такте у меня будет 4 ноты, разделённые на 2 равные группы. Иначе говоря в музыке это называется ритмической группировкой (в данном случае эта группировка называется две восьмые – одна доля ).
5) Первый такт подчинён формуле септаккорд 7ступени. Второй такт подчинён формуле Т5/3 , результат будет взят в обратном порядке и заканчиваю этот такт нотой стоящей на 3 ступени. Третий такт подчинён формуле УМ5/3 , результат будет взят в обратном порядке и с удвоенной 7 ступенью. Четвёртый такт подчинён формуле Т5/3 с удвоенной 5 ступенью.
Ход работы:
Ноты / счёт | До | Ре | Ми | Фа | Соль | Ля | Си |
Музыкальный | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 |
Математический | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 |
Высчитываю ноты первого такта:
Формула септаккорда 7 ступени:
музыкальная: а +(а+7)+(а+7+3)+(а+7+3+3) при условии а=1
математическая: а+(а+6)+(а+6+2)+(а+6+2+2)+(а+6+2+2+2)=
=а +(а+6)+(а+8)+(а+10)+(а+12) при условии а=0
Соль=а=0 основная нота (держим в уме) от которой считаем 4 ноты первого такта: 1 нота=а+6=0+6=6(фа)
2 нота=а+8=0+8=8(ля)
3 нота=а+10=0+10=10(до 2-ой октавы)
4 нота=а+12=0+12=12(ми 2-ой октавы)
Ноты 1 такта: фа-ля-до(2-ой октавы)-ми(2-ой октавы)
Высчитываю ноты второго такта:
Формула Т5/3:
музыкальная: а +(а+3)+(а+3+3) при условии а =1
математическая: а +(а+2)+(а+2+2)=а +(а+2)+(а+4) при условии а=0
Высчитываемые ноты располагаем в обратном порядке в 2 такте согласно условию.
1 нота =а=соль
2 нота=а+2=0+2=2(си)
3 нота=а+4=0+4=4(ре 2-ой октавы)
Согласно условию задачи:1) записываем ноты в следующем порядке: ре-си-соль.2) повторяем 3 ступень (соответствующую музыкальным расчётам) ноту си.
Ноты 2 такта: ре(2-ой октавы)-си-соль-си.
Высчитываю ноты третьего такта:
Формула Ум5/3:
музыкальная: а +(а+7)+(а+7+3)+(а+7+3+3) при условии а =1
математическая: а +(а+6)+(а+6+2)+(а+6+2+2)=а+(а+6)+(а+8)+(а+10) при условии а=0
Высчитываемые ноты располагаем в обратном порядке в 3такте согласно условию.
1 нота=а+6=0+6=6(фа)
2 нота=а+8=0+8=8(ля)
3 нота=а+10=0+10=10(до 2-ой октавы)
Согласно условию задачи:1) записываем ноты в следующем порядке: до(2-ой октавы)-ля-фа. 2) удваиваем 7 ступень (соответствующую музыкальным расчётам) ноту фа.
Ноты 3 такта: до(2-ой октавы)-ля-фа-фа.
Высчитываю ноты четвёртого такта:
Формула Т5/3:
музыкальная: а +(а+3)+(а+3+3) при условии а =1
математическая: а +(а+2)+(а+2+2)=а +(а+2)+(а+4) при условии а=0
1 нота =а=соль
2 нота=а+2=0+2=2(си)
3 нота=а+4=0+4=4(ре 2-ой октавы)
Согласно условию задачи: 1) удваиваем 5 ступень (соответствующую музыкальным расчётам) ноту ре.
Ноты 4 такта: соль-си-ре(2-ой октавы)-ре(2-ой октавы)
Получившийся отрезок произведения:
5. Вывод:
Заключение
Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. Смею предположить, что гениальные композиторы мировой культуры, обладавшие потрясающими музыкальными способностями, имели незаурядные математические способности. Например Бетховен, потерявший полностью слух в конце жизни продолжал создавать гениальные музыкальные произведения. Возможно он пользовался известными только ему оригинальными музыкально-математическими формулами. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...
Литература:
1. «Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.
2. Р.Глиэр. О профессии композитора и воспитании молодежи. «Советская музыка», 1954, №8
3. INTERNET
4. Электронная энциклопедия.
5.Математика серии "МГУ - школа". Издательство Просвещение. Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.
6.Сайт: http://www.ВикипедиЯ /ru
7.Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
8. Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
9. Энциклопедия математических наук и их приложений1899—1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)
10. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.
11. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.
12. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.
13.Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987. 432 с.
14. Курант Р., Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
15. Пуанкаре А. Наука и метод «Занимательная математика»
16. Майкл Пилхофер, Холли Дей Теория музыки для "чайников"
17. Способин Игорь Владимирович Элементарная теория музыки. — М.: Кифара, 2003. — С. 182
18. Тюлин Юрий Николаевич Краткий теоретический курс гармонии. — М.: Музыка, 1978.
Загадочная система из шести экзопланет
Сочинение
Пятёрки
Пчёлки на разведках
Городецкая роспись