Презентация по теме "Теорема Пифагора"
В работе представлены доказательства теоремы Пифагора,ее применение в различных областях.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Презентация "Теорема Пифагора" ученицы Сметаниной Олеси | 2.04 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Высказывания о геометрии Разделы геометрии Элементарная геометрия Прямоугольный треугольник Теорема Пифагора История теоремы Биография Пифагора Карикатуры Доказательства Применение
Если мне выпало на долю написать страницу-другую, которые читатель пробежал без скуки, то я обязан этим в большей степени геометрии, этой удивительной учительнице в искусстве направлять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, выкорчёвывать глупости. Ж. Фабр Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. А. Пушкин
Геометрия (греч. γη - Земля, μετρεω - мерю) - раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения. Элементарная - геометрия точек, прямых и плоскостей, а также фигур на плоскости и тел в пространстве. Включает в себя планиметрию и стереометрию. Аналитическая геометрия - геометрия координатного метода. Изучает линии, векторы, фигуры и преобразования, которые задаются алгебраическими уравнениями в аффинных или декартовых координатах, методами алгебры. Дифференциальная геометрия и топология изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, а также их отображения. Топология - наука о понятии непрерывности в самом общем виде.
Стереометрия (от греч. «стереос»-телесный, «метрео»-измеряю) - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы. Планиметрия (от лат. planum -«плоскость», др.-греч. μετρεω-«измеряю») - раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости. Первое систематическое изложение планиметрии впервые было дано Евклидом в его труде «Начала» (лат. Elementa) . Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным; Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным; Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Разносторонним называется треугольник, у которого длины трех сторон попарно различны. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
С Одним из самых интересных видов треугольников является прямоугольный треугольник. Напомню, что две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес , перпендикуляр; в средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa , означающего тянущаяся под чем либо , стягивающая; слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок). Евклид употреблял выражения: «стороны, заключающие прямой угол», - для катетов; «сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы. Отмечу ещё два специальных вида прямоугольного треугольника: равнобедренный и прямой треугольник с углами в 30 и 60 . Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет равные углы при основании (гипотенузе). Каждый из этих углов содержит 45 . Такой треугольник получается, если рассечь квадрат его диагональю. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Прямоугольный треугольник с углами в 30 и 60 получится, если в равностороннем треугольнике провести одну из его высот и взять какой-либо из двух равных прямоугольных треугольников, на которые она разбивает данный равносторонний треугольник. Обратно, если взять прямоугольный треугольник с углами в 30 и 60 , то, приложив к нему еще один такой же треугольник, имеющий с ним общий катет, прилежащий к углу в 30 , получим равносторонний треугольник. Из такого способа получения указанного треугольника видно, что в прямоугольном треугольнике с углами в 30 и 60 катет, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы. гипотенуза катет катет А В
Теорема Пифагора c 2 =a 2 +b 2
История теоремы Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3,а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно,что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Нужно было решить задачу, с которой сталкивается любой землемер или строитель: как по данному квадрату построить квадрат, вдвое больший? Пифагор решил её так: нужно провести через квадрат диагональ и построить на ней ещё один квадрат, который и будут вдвое больше данного. Пифагор объявил, что сами боги подсказали ему это решение, и принёс им самую щедрую жертву, какую только знало греческое благочестие,- гекатомбу, то есть стадо из 100 голов скота.
Биография Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры. Карикатуры
Доказательства
Доказательство первое (зрительное) Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.
Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла "Математика в девяти книгах" - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IX книге "Математики" помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора (рис. а). Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна c 2 , а с другой - a 2 + b 2 т.е. a 2 + b 2 = c 2 .Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют "креслом невесты", состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. . На последнем рисунке воспроизведен чертеж из трактата "Чжоу-би...". Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете - 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете. Теорема доказана. Доказательство второе (древнекитайское)
Доказательство третье (древнеиндийское) Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате "Сиддханта широмани" ("Венец знания") крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. а) с характерным для индийских доказательств словом "смотри!". Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат перекладывается в "кресло невесты" a 2 + b 2 (рис. б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата - (рис. в) встречаются в древнеиндийском трактате "Сульва сутра" (VII -V вв. до н.э.). Теорема доказана.
Доказательство четвёртое (Евклид) Доказательство Евклида приведено в предложении 47 I книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ABC строятся соответствующие квадраты (рис.) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату ACKG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC=BD и угол FBC равен сумме углов d и ABC, т.е. углу ABD. Но SABD =1/2 SBJLD так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично, SFBC =1/2 SABFH (BF - общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD = SFBC , имеем SBJLD = SABFH . Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG . Итак, SABFH +SACKG= SBJLD + SJCEL= SBCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли "ходульным" и "надуманным". Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений I книги "Начал". Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. Теорема доказана.
Доказательство пятое (Аннариций) Багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (латинизированное имя - Аннариций) в арабском комментарии к "Началам" Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора (рис.). Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство всех соответствующих частей требует доказательства, но мы его за очевидностью оставляем читателю. Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений. Метод равносоставленных фигур был очень популярен в древности. Вероятно, тогда же была изобретена головоломка, называемая сегодня "Пифагор". Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики - теореме Пифагора. Не случайно на обложке последнего издания "Математического энциклопедического словаря" (М.: СЭ, 1988) рисунок из древнекитайского доказательства теоремы Пифагора воспроизведен золотыми линиями в качестве символа математики. Теорема доказана.
Доказательство шестое На рисунке три подобных прямоугольных треугольника. Обозначим их площади Sa , Sb , Sc . Тогда по свойству подобия S a : S b : S c = a 2 : b 2 : c 2 . С другой стороны S a + S b = S c . Если k - коэффициент подобия, то ka 2 + kb 2 = kc 2 , откуда a 2 + b 2 = c 2 . Теорема доказана.
Доказательство седьмое (Пифагор) Геометрическое доказательство, приписываемое Пифагору. Вот предполагаемое доказательство самого Пифагора. Построим квадрат, сторона которого равняется сумме катетов a и b данного прямоугольного треугольника Разделим этот квадрат на два квадрата a 2 +b 2 и и на два равных прямоугольника со сторонами a и b. В свою очередь, разделим эти прямоугольники на четыре равных прямоугольных треугольника I, II, II, IV. Укладывая эти треугольники так, как показывает рисунок, получим посредине квадрат c 2 . Отсюда следует, что квадрат со стороной a+b, уменьшенный в 2ab, дает в первом случае a 2 +b 2 , а во втором c 2 , и значит a 2 +b 2 = c 2 . Теорема доказана.
Доказательство восьмое ( Эпштейн ) Доказательство Эпштейна основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников. Здесь: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С. На рисунке C принадлежит отрезку MN; отрезок CK перпендикулярен MN; отрезки PO и EF параллельны MN. Из рисунка видно, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Теорема доказана.
Доказательство девятое («Колесо с лопастями») Доказательство методом разложения квадратов на равные части называемое "колесом с лопастями", приведено на рисунке. Здесь: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; О - центр квадрата, построенного на большем катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Легко видеть, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Теорема доказана.
Доказательство десятое На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура - прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь, точка C принадлежит прямой EP, которая делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра А отображает четырехугольник АЕРВ на четырехугольник ACMQ. Теорема доказана.
Доказательство одиннадцатое На рисунке Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах. Легко убедиться в том, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае. Теорема доказана.
Доказательство двенадцатое (Гофман ) На рисунке изображен треугольник ABC с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновелики, так как треугольники ABF и ECB равны; треугольники ADF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим 1/2 a 2 +1/2 b 2 =1/2 c 2 . Теорема доказана.
Доказательство тринадцатое (Нассир-эд-Дин) Рисунок иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL - прямая; равновеликие четырехугольники KLOA, ACPF, ACED имеют площадь a 2 ; равновеликие четырехугольники LGBO, СВМР, CBNQ имеют площадь b 2 ; кроме того, площадь четырехугольника AKGB равна сумме площадей четырехугольников AKLO и LGBO и равна c 2 ; отсюда a 2 + b 2 = c 2 . Теорема доказана.
Доказательство четырнадцатое (Темпельгофа) Доказательство предложено Темпельгофом в 1769 году. На рисунке треугольники LDE и ABC равны; треугольники AGH и ABC равны; четырехугольники LDCA, FBCI и ABEL являются равновеликими, кроме того, равновелики IHGF и ICBF, следовательно, равновелики шестиугольники ICBFGH и ACDLEB. Эти шестиугольники имеют общий треугольник ABC, а также равные треугольники AGH и LDE, и следовательно остальные части этих многоугольников являются равновеликими, а это значит, что площадь четырехугольника CDEB равна сумме площадей четырехугольников CAHI и ABFG, т.е. a 2 + b 2 =c 2 . Теорема доказана.
Доказательство пятнадцатое (Реихенберга) Согласно рисунку: c 2 =p+3k+r+s, a 2 +b 2 =2m+2n+2k+r. Из равенства треугольников ABC, FBE, LED вытекает, что m+n=s=p+k, значит, a 2 +b 2 = = s+p+k+2k+r+s=c 2 т. е. a 2 +b 2 =c 2 . Теорема доказана.
Доказательство шестнадцатое (Мельманн ) Согласно рисунку площадь треугольника ABC равняется 1/2 ab , а также равняется 1/2 pr , т.е. половине произведения периметра треугольника на радиус круга, вписанного в треугольник, а радиус r круга, вписанного в прямоугольный треугольник, равняется: x =1/2 ( a + b - c ). Отсюда 1/2 ab =1/2 pr =1/2 ( a + b + c )* 1/2 ( a + b - c ). Из, данного выражения следует, что: a 2 + b 2 =c 2 . Теорема доказана.
Доказательство семнадцатое (Ренан) Доказательство предложено Ренаном в 1889 году. Треугольники HRA и ABC равны, поэтому равны отрезки RA и BC. Заметим, что треугольник IBC равен треугольнику CAK, а треугольник FBC равен треугольнику BAR. Легко доказать, что отрезки KA и BC, BI CR, CF и BR взаимно перпендикулярны. Т.к. RA (RM), BI и CF являются высотами треугольника BCR и поэтому пересекаются в одной точке, площадь треугольника CAR есть 1/2 CA * RG =1/2 b 2 , а площадь треугольника BAR есть 1/2 BA * RH =1/2 a 2 . Следовательно, сумма площадей треугольников CAR и BAR есть 1/2 ( a 2 +b 2 ). Но площадь треугольника CAR есть 1/2 RA * CM , а площадь BAR есть 1/2 RA * BM , следовательно, сумма площадей треугольников CAR и BAR есть 1/2 RA *( CM + BM )= 1/2 c 2 , т.е. a 2 +b 2 =c 2 . Теорема доказана.
Доказательство восемнадцатое (Гарфилд ) На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна 1/2( a +b) 2 , во втором 1/2 ab +1/2 ab +1/2 c 2 . Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора. Теорема доказана.
Доказательство девятнадцатое Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с (рис.). Докажем, что a 2 + b 2 =c 2 . Достроим треугольник до квадрата со стороной а+b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна 1/2 ab . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и квадрата со стороной с, поэтому S =4*1/2 ab +c 2 =2 ab + c 2 . Таким образом, ( a + b ) 2 =2 ab + c 2 , откуда a 2 + b 2 =c 2 . Теорема доказана.
Доказательство двадцатое Из вершины A прямоугольного треугольника ABC, как из центра, проведем окружность радиуса b. Треугольники BCD и BCE подобны, отсюда , то есть a 2 +b 2 =c 2 . Теорема доказана.
Доказательство двадцать первое (Нильсен) Из рисунка видно, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна квадрату, построенному на гипотенузе, что доказывает теорему Пифагора.
Доказательство двадцать второе (Бетхер) Из рисунка видно, что разбиение Бетхера позволяет из квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника получит квадрат, построенный на гипотенузе. Теорема доказана.
Доказательство двадцать третье Если в чертеже Гарфилда отразить трапецию от отрезка PQ, получим c 2 =1/2(2 b +2 a )* * ( a + b )- 1/2 b *2 a -1/2 a *2 b = a 2 + b 2 . Теорема доказана.
Доказательство двадцать четвертое (Вальтхейм) Посчитаем площадь трапеции двумя способами так, как показано на рисунке. Получим a 2 + b 2 =c 2 . Теорема доказана.
Доказательство двадцать пятое (Гутхейль) Разложение Гутхейля позволяет приравнять площади квадратов, построенных на катетах к квадрату, построенному на гипотенузе, что доказывает теорему Пифагора.
Доказательство двадцать шестое Рассмотрим треугольники ABC, ACD и DBC. Имеем: AC =√ AB * *AD, BC =√ AB * BD , тогда AC 2/ AB + BC 2/ AB = =AD + BD, AC 2+ BC 2=AB2 Теорема доказана.
Применение
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d=2a, откуда : d=2a². Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому,как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем a=h+(a/2), или h=(3/4)a. Отсюда вытекает ???h=1/2 3a. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат рабро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна 2а). Отсюда имеем d=a+(2a), d=3a, d=3a. Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d = a + b + c. Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата ???(1/2*2a). Вследствие этого имеем: s=h+(1/2)a. Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней. h1= h+(1/4)a.
Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила ??? на перекрываемую площадь."
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг; половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r =b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)=( b/4)+( b/4-p) или b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p, откуда bp/2=b/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.
У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну." В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались искусственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
Молниеотвод Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h2 ≥ a 2 +b 2 , значит h ≥ (a 2 +b 2 )½. Ответ: h ≥ (a 2 +b 2 )½
Астрономия На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид c * t = l Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!
Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C. Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде: v * t' = d Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли? Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?) Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение: c * t' = s Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали. Получаем уравнение: s 2 = l 2 + d 2
Мобильная связь В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.) Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB OB = r + x Используя теорему Пифагора, получим ответ. Ответ: 2,3 км.
Сверчок
Андрей Усачев. Пятно (из книги "Умная собачка Соня")
Прекрасная арфа
Самый богатый воробей на свете
Простые новогодние шары из бумаги