Признаки делимости натуральных чисел

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

ГБОУ гимназия № 11

Проект по математике

 «Признаки делимости чисел»

Работу подготовила Нуруллаева Алина

6 «А» класс

Руководитель Гайлит И. В., учитель математики и информатики

Санкт-Петербург

2019

Тема проекта: «Признаки делимости натуральных чисел»

Гипотеза:

При решении задач на делимость многозначных чисел знание и применение новых признаков делимости значительно сократит время, затрачиваемое на вычисления. Признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Цель:

Повторить, углубить и расширить знания по теме "Признаки делимости натуральных чисел" и научиться применять их на практике.

Задачи:

1. Изучить историю возникновения признаков делимости.
2. Выяснить:

• В каких сферах деятельности человека используется делимость чисел?
• Для чего нужно знать признаки делимости?
• Существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?
• Есть ли универсальный признак делимости для любого числа?
• Можно ли сформулировать признак делимости на любое натуральное число?

3. Поделиться новыми знаниями с одноклассниками, создать буклет-справочник «Признаки делимости натуральных чисел»

Основополагающий вопрос: Как научиться быстро и красиво вычислять?

Актуальность проблемы

При решении некоторых заданий мы столкнулись с проблемой делимости многозначных чисел. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым  теряем время. Поиск делителя многозначного числа занимает много времени по двум причинам: во-первых,  действие деление затратно по времени само по себе; во-вторых, делители подбираются наугад.

 Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое. Вопрос: существуют ли другие признаки делимости, отличные от изученных нами на уроках? При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость.

Мы изучаем признаки делимости в школе. Но зачем нам нужны эти признаки делимости. Если нам надо узнать делится ли одно число на другое, мы сразу начинаем делить в столбик. Но если это число большое, мы будем все это высчитывать, а потом выясним, что первое число не делится на второе?

С помощью признаков делимости, можно узнать это гораздо легче.

 Делимость – это  способность одного числа делиться на другое без остатка. Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Признаки  делимости – это правило, по которому, не производя  никаких  вычислений, с лёгкостью можно определить делится ли число «А» на число «Б».

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль - французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

В школе мы изучаем самые простые признаки делимости: на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, 100.

Признаки делимости, изучаемые в школе

Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то оно точно делится на 2.

• Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8 делится на 2
• Число 8203 не делится на 2, так как последняя цифра 3 не делится на 2

 Если сумма цифр делится на 3, то и само число кратно на 3.

• Число 52632 делится на 3, так как сумма цифр 5+2+6+3+2=18  делится на 3
• Число 106499 не делится на 3, так как сумма цифр 1+0+6+4+9+9=29 не делится на 3

Если две последние цифры числа нули или образуют число, которое делится на 4, то и само число тоже делится на 4.

• Число 76412 делится на 4, так как число 12, составленное из последних двух цифр числа, делится на 4
• Число 123802 не делится на 4, так как число 02 не делится на 4

 Если число оканчивается на 0 или 5, оно делится на 5.

• Число 240 делится на 5, так как последняя цифра 0
• Число 1205 делится на 5 , так как последняя цифра 5  
• Число 55434 не делится на 5, так как последняя цифра 4

Если сумма цифр делится на 9, то и кратно 9.

• Число 52632 делится на 9, так как сумма 5+2+6+3+2=18, 18 делится на 9
• Число 17835 не делится на 9, так как сумма 1+7+8+3+5=24 не делится на 9

Признак делимости на 10 очень простой. Если число оканчивается на 0, он кратно 10. Если оно оканчивается на два нуля, он кратно 100, на 3 нуля 1000 и т. д.

• Число 8200 делится на 10 , так как последняя цифра 0
• Число 537004 не делится на 10, так как последняя цифра 4

Признаки делимости, не изучаемые в школе

Если число четное и делится на 3, оно точно делится на 6.

• Число 1161 не делится на 6, так как оно не делится на 2
• Число 126954 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3

Число делится на 7, если из числа десятков вычесть удвоенное число единиц и получим число, кратное 7.

• Число 259 делится на 7, потому 25-(2*9) =7, а 7 делится на 7.
•  Число 549 не делится на 7, потому что 54-(2*9)=36, 36 не делится на 7.

Число делится на 8, если последние 3 цифры нули или образуют число, которое делится на 8.

• Число 125000 делится на 8, так как на конце три нуля
• Число 65728 делится на 8, так как  число 728, составленное из последних трех цифр числа, делится на 8
• Число 1204 не делится на 8, так как  число 204, составленное из последних трех цифр числа, не делится на 8

 Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах равна сумме цифр, стоящих на четных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

• Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места, 0+7+5=12.
• Число 3298 не делится на 11, так как 3+9=12, 2+8=10. Суммы цифр не равны, а разность сумм цифр 12-10=2 на 11 не делится

Число  делится на 12, если оно одновременно делится и на  3, и на 4 без остатка

• Число 4250892 делится на 12, т.к. оно делится на 3 (4+2+5+0+8+9+2=30; 30:3=10) и на 4 (92:4=23)

Число делится на 13, если число  десятков, сложенное с учетверенным числом единиц кратно 13

• Число 104 делится т.к. 10+4*3=36; 36:13=3

Число делится на 14, если оно одновременно делится и на  2, и на 7

• Число 765408 делится на 14, т.к.  оно четное и делится на 7

Число делится на 15, если оно одновременно делится и на 3, и на 5

• Число 530505 делится на 15, т.к. оно делится и на 3, и на 5

Число делится на 16, если последние четыре цифры числа нули или образуют число, которое делится на 16

• Число 140264720048 делится на 16, т.к. последние 4 цифры 0048:16=3

Число делится на 17, если число  десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.

• Число 29053 делится на 17
• 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34; 34:17=2

Число делится на 18, если число четное и сумма его цифр делится на 9

• Число 840312 делится на 18, т.к. 8+4+0+3+1+2=18; 18:9=2

Число делится на 19 тогда, когда число его десятков в сумме с удвоенным числом единиц кратно 19.

• Число 551 делится на 19, так как 55+1*2=57 делится на 19
• Число 6003 не делится на 19, так как 600+3*2=606 не делится на 19

Число делится на 20, если запись числа оканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная

• Число 6435760 делится на 20

Число  делится на 21 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 7.

• 231 делится на 21, т.к. число делится и на 3, и на 7.

Число  делится на 22 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 11.

• 352 делится на 22, т.к. число делится и на 2, и на 11.

число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

          число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.    

Число  делится на 24 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 8.

• 8136 делится на 24, т.к. число делится и на 3, и на 8.

Число делится на 25, если две последние цифры в числе равны 0 или число, образованное последними двумя цифрами делится на 25.

• Число 7150 делится на 25, так как последние две цифры образуют число 50, делящееся на 25
• Число 1292 не делится на 25, так как 92 не делится на 25

Так же есть числа, которые делятся только на себя и на 1. Это только нечетные числа и 2. Такие числа называются простыми.

    Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

     1 группа - когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

    2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа - это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).

    3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа - это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.

    4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости - это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

 Практическая значимость

Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления.

Собранный мной материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник. В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов. Учителям - с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел

Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

· более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел

· подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.

Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

• Математика. Школьная энциклопедия. С.М.Никольский.- М: Большая Российская энциклопедия: Дрофа 1997-527с.
• Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, Математика 6 класс, Учебник для образовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2013 г.
• Степанов В.Г.. Основы исследовательской деятельности школьника. - Псков, 2004. С.34-38
• Энциклопедический словарь юного математика.А.П.Савин-М:Педагогика,1985-352с.
• Е.Е. Тульчинская, Тесты 5-6 классы: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 2008 г.
• Воробьев Н. Н. Популярные лекции по математике.– М.: Наука, 1988.– 94 с.
• Булавко И. Делимость чисел.– Квант для младших школьников, №9, 1974.
• Сергеев И.Н.  Примени математику. - М.:1989.

Проверь себя

На портале LearningApps.org ответь на вопросы теста по теме “Признаки делимости».

Автор теста Нуруллаева Алина, гимназия № 11, 6 «А» класс

Ссылка на тест - https://learningapps.org/7272668