Исследовательский проект "Математические фокусы" обучающейся 8 класса

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение культуры "Гимназия "Арт-Этюд"

Исследовательский проект

Математические фокусы

Автор: Рябочкина Софья

обучающаяся 8 «А» класса

Руководитель: Лобова О.И.

учитель математики

Екатеринбург

 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Введение______________________________________________________ 3

1. История математических фокусов_______________________________ 5

1.1. Математические фокусы _____________________________________ 5

2. История календаря ___________________________________________11        

2.1. Занимательные закономерности в календаре____________________ 11

2.2. Математические фокусы в календаре __________________________12

3. Интересны ли фокусы ученикам? _______________________________14

4. Заключение _________________________________________________ 15

Список литературы _____________________________________________16

Приложение ___________________________________________________17

ВВЕДЕНИЕ

Математические фокусы – это эксперименты, основанные на свойствах чисел, фигур и действий с ними, только облаченные в экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.

Основной темой математических фокусов является угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что "фокусник" использует особые свойства чисел и знает, каким будет исход, а зритель этих свойств не знает.

Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро  замаскированы.

Проверить выполнимость каждого фокуса можно на любом примере, но для обоснования большинства фокусов удобнее всего прибегнуть к математическим преобразованиям.

Цель проекта: исследование математических фокусов.

Задачи:

- Узнать какие бывают математические фокусы. 

- Используя литературу, изучить виды математических фокусов, выбрать из них наиболее интересные и увлекательные.

- Выяснить, в чем секрет математических фокусов.

Объект исследования: математические фокусы, основанные на свойствах чисел, действий, математических законах, уравнениях, календарях.

Методы исследования: Изучение теории по выбранной теме, анализ литературы, практическое применение знаний, умений и навыков.

Гипотеза: Можно предположить, что если привлечь внимание обучающихся к математическим фокусам, то тем самым получится заинтересовать их в изучении предмета математики, способствовать развитию навыков устного счета для демонстрации математических фокусов.

Математические фокусы разнообразны. Во многих математических фокусах числа завуалированы предметами, имеющими отношение к числам.   Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений так как зрители могут загадывать и малые,  и большие числа. Математические фокусы с числами основаны на умении обращаться с числами и законами точной науки, при этом такие трюки нисколько не умаляют ее важности. Фокусы с применением математики способны не только развлечь человека, который опытен в точных науках, но и привлечь внимание и развить интерес к «королеве наук» у тех, кто еще только знакомится с ней.

Мир математики не так скучен и однообразен, как кажется многим. Цифры способны стать инструментами фокусника ничуть не меньше, чем карты или другие предметы. Математические фокусы с числами основаны на умении обращаться с цифрами и законами точной науки.

1. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФОКУСОВ

КОГДА ПОЯВИЛИСЬ ФОКУСЫ?

С глубокой древности людей интересовали мистические и загадочные вещи, иллюзионизм и магические искусства. Великие Тайны этих искусств известны лишь избранным. Иллюзионисты и фокусники ревниво охраняют их, хорошо зная, что, чем не доступнее ключ к их таинствам, тем эти таинства более ценны.

Изначально фокусы использовали колдуны и  знахари. Жрецы Вавилона и Египта создавали огромное количество уникальных трюков с помощью прекрасных знаний математики, физики, астрономии и химии. Фокусники того времени заставляли исчезать и появляться драгоценности, в толпе у народа пропадало множество вещей и оказывалось в наличии у фокусника, при этом он все время был на виду.  

В Россию иллюзионное искусство пришло из Византии. При пышном византийском дворе оно было одним из любимых развлечений. После окончания придворной службы русские певцы и музыканты возвращались в родные места и там показывали, чему научились. Они называли себя скоморохами.

Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. И это не удивительно. “Гимнастика ума” полезна в любом возрасте. Математические фокусы - довольно увлекательная вещь для людей любого возраста. Они не только развлекают, но и немного участвуют в развитии мышления. Производя положительный эффект удивления, фокусы привлекают даже тех, кто несильно увлечён математикой или даже фокусами. Из этого можем сказать, что с их помощью можно показать детям и подросткам, что в математике немало тайн и не стоит её не любить.

      Но если мы узнаем секреты фокусов, то сможем не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. А понятен секрет фокуса становится тогда, когда мы записываем предложенные действия в виде математического выражения, преобразуя которое получаем секрет отгадывания.

1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ И ИХ ВИДЫ

Числовые фокусы

Угадай число

Содержание фокуса:

1. Задумать число.

2. После этого умножить на 2.

3. Прибавить к результату 8.

4. Разделить результат на 2 и отнять задуманное число.

5. В результате получится 4.

Отгадка

пусть х – задуманное число

(х ⋅ 2 + 8) : 2 – х = разделим каждый компонент в скобках на 2 =

х + 4 – х = 4. Получилось число, не зависящее от х.

Угаданный день рождения

Содержание фокуса:

1. Умножить число своего дня рождения на 2.

2. Затем прибавить число 5.

3. Умножить на 50 полученную сумму.

4. К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (например: июль - 7, декабрь - 12)

5. Назвать полученное число.

Отгадка

 (х * 2 + 5) * 50 + у = 100 х + 250 + у –  250/100х + у

В уме от того числа, которое назвал зритель, отнимите 250, у вас должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры — день рождения, две последние — месяц.

Сколько лет?

Содержание фокуса:

Итак, предложите товарищу умножить его возраст на пять. Пусть к полученной сумме он прибавит восемь, а результат умножит на два. Из этого числа нужно вычесть шесть, а полученную сумму умножить на 10. Из результата Вы вычитаете 100 и на 100 же делите. Перед Вами - возраст собеседника.

пусть х – число возраста

(((х ⋅ 5 + 8) ⋅ 2 – 6) ⋅ 10 – 100) : 100 = постепенно раскрываем скобки

= ((10х + 16 – 6) ⋅ 10 – 100) : 100 = (100х + 100 – 100) : 100 = 100х : 100 = х

Опять пять!

Загадайте любое число. После этого нужно прибавить к этому числу следующее по порядку число, а к сумме прибавить 9. Далее поделить все число на два и отнять загаданное число. То число которое, будет 5. Не зависит от х.

х + (х + 1) +9 – х = х + х + 1 + 9 - 2х= 10 = 5

2                                2                 2

Мгновенное умножение

Содержание фокуса:

Давайте начнем с одного из моих любимых трюков: как умножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет. Представьте следующую задачу: 32 × 11

Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой. Вот и наше решение: 352

Что может быть легче? Теперь попробуйте 53 × 11

Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост: 583

Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно: 81 × 11? У вас получилось 891?

Пусть дано двузначное число 10х + y, где х – цифра десятков, y–цифра единиц.

(10х + y) ⋅ 11 = (10х + y) ⋅ (10 + 1) = 100х +10х + 10y + y = 100х + 10(х + y)+ y

Это – запись трехзначного числа, в котором х – цифра сотен, х + y – цифра десятков, y–цифра единиц.

Магия числа 1089

Содержание фокуса:

Следующий трюк существует уже не одно столетие. Сделайте так, чтобы человек из аудитории достал ручку и бумагу:

1) Записал трехзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (например, 851 или 973);

2) записал число в обратном порядке и вычел его из исходного числа;

3) к полученному ответу добавил его же, только в обратном порядке.

В конце последовательности магическим образом появится ответ 1089, какое бы число ни выбрал доброволец.

Например:

851 – 158 = 693 + 396 = 1089

Используя число 1089 из предыдущего примера, вручите добровольцу калькулятор и попросите умножить 1089 на любое трехзначное число, не называя его. (Предположим, он тайно умножил 1089 × 256 = 278 784) Теперь поинтересуйтесь, сколько цифр в полученном ответе. Ответ — 6.

Фокусы с исчезновением фигур

В этой части мы проследим за ходом развития многих замечательных геометрических парадоксов. Все они начинаются с разрезания фигуры на куски и заканчиваются составлением из этих кусков новой фигуры. При этом создается впечатление, что часть первоначальной фигуры (это может быть часть площади фигуры или один из нескольких изображенных на ней рисунков) бесследно исчезла. Когда же куски возвращаются на свои первоначальные места, исчезнувшая часть площади или рисунок таинственным образом возникают вновь. Геометрический характер этих любопытных исчезновений и, появлений оправдывает причисление этих парадоксов к разряду математических головоломок.

Фокус «Пропавший кролик»

Парадокс вертикальных линий можно, очевидно, показывать и на более сложных объектах, например животных и т. д. На рисунке1 показан один вариант. Когда после разрезания по толстой линии меняют местами прямоугольники А и В, один кролик исчезает, оставляя вместо себя пасхальное яйцо. Если вместо перестановки прямоугольников А и В разрезать правую половину рисунка по пунктирной линии и поменять местами правые части, число кроликов увеличится до 12, однако при этом один кролик теряет уши и появляются другие смешные детали.

Рисунок 1

Фокус «Исчезновение лица»

Перейдем к описанию способов, при помощи которых парадокс с линиями можно сделать более интересным    и    занимательным.    Этого    можно,   например,  достигнуть, заменив исчезновение и появление линий таким же исчезновением и появлением плоских фигур. Здесь особенно подойдут изображения карандашей, папирос, кирпичей, шляп с высокой тульей, стаканов с водой и других вертикально протяженных предметов, характер изображения которых до и после сдвига остается одинаковым. При некоторой художественной изобретательности можно брать и более сложные предметы.

Содержание фокуса:

Посмотрите, например, на исчезающее лицо на рисунке 2.

Рисунок 2

При сдвиге нижней полосы на верхней части рисунка влево все шляпы остаются незатронутыми, однако одно лицо полностью исчезает.

Разгадка:

Бессмысленно спрашивать, какое именно лицо, так как при сдвиге четыре лица разделяются на две части. Эти части затем перераспределяются, причем каждое лицо получает несколько добавочных черт: одно, например, более длинный нос, другое – более вытянутый подбородок и т.д. Однако эти маленькие перераспределения остроумно скрыты, а исчезновение всего лица, конечно, поражает гораздо сильнее, чем исчезновение кусочка линии.

2. ИСТОРИЯ КАЛЕНДАРЯ

История календаря и сам календарь произошел из далекой древности. Более того, невозможно утверждать, что создание календаря принадлежит какому-либо одному народу. Дело в том, что многие народы и даже эпохи вложили свои знания в то, что сегодня мы называем календарем.Календарь – система счисления длительных промежутков времени, основанная на периодичности таких явлений природы, как смена дня и ночи, смен фаз Луны, смена времени года. Основными задачами календаря являются фиксация и изменение интервалов времени. Создать точный календарь можно при условии, что год будет состоять из целого числа суток. Следовательно, составление точного календаря невозможно! Существуют попытки составления точного и удобного календаря, поэтому и видов календарей несколько, например:

• Лунный календарь;
• Солнечный календарь;
• Солнечно – лунный календарь и др.

2. 1. ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В КАЛЕНДАРЕ

Любой не високосный год начинается и заканчивается одним и тем же днем недели (2017 год начался с воскресенья и воскресеньем закончился). Високосный год заканчивается со сдвигом на 1 день недели (2016 год начался с пятницы, а закончился субботой).

В високосный год на один и тот же день недели в году приходятся:

а) 1 января и 1 октября;

б) 1 февраля, 1 марта и 1 ноября;

в) 1 апреля 1 июля;

г) 1 сентября и 1 декабря.

Если  в некотором году 1 января – понедельник, а 1 октября – вторник, то год будет високосный.

Все месяцы как високосного, так и не високосного года, можно разделить на 7 групп по признаку, на какой день недели приходится 1 число месяца.

1 группа: январь и октябрь;

2 группа: февраль, март и ноябрь;

3 группа: апрель и июль;

4 группа: май;

5 группа: июнь;

6 группа: август;

7 группа: декабрь и сентябрь.

В году будет больше тех дней недели, с которых они начинаются.  Так, 2017 год – не високосный, начался и закончился воскресением, значит, воскресений в году будет 53, а остальных дней недели 52.

Четные (нечетные) недели месяца повторяются через 2 недели, если первая четная среда 2 числа, то следующие четные приходятся на 16, 28.

2.2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕФОКУСЫ В КАЛЕНДАРЕ

Какопределитьдень недели1 января любого года в XXI веке

Содержание фокуса:

Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей.

Понедельник - 1

Вторник – 2

Среда – 3

Четверг – 4

Пятница – 5

Суббота – 6

Воскресенье – 7 или 0

Например, давайте выясним, каким днем недели будет 1 января 2030 года. Возьмите две последние цифры года и представьте себе, что это ваш счет в ресторане (в данном случае 30 долларов.) Теперь добавьте 25% чаевых, но излишки в центах оставьте себе. (Это можно вычислить, дважды разделив счет пополам и отбросив всю «мелочь). Половина от 30 равна 15, а половина от 15 — 7,50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере 7 долларов. Отсюда следует, что ваш счет плюс чаевые составляет 37 долларов. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней (но не большее) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …) и получаем в результате порядковый номер дня. В данном примере, 37 – 35 = 2, значит, 1 января 2030 года приходится на второй день недели, то есть на вторник.

Какой день недели 1 января 2043 года?

Счет: 43

Чаевые: + 10 = 53

произведение цифры 7: – 49

4 = четверг

Исключение: если год високосный, уберите 1 доллар из суммы чаевых, высчитанных ранее. Например, для 1 января 2032 года 25% от счета на 32 доллара будут равны 8 долларам чаевых. Вычитание 1 дает в итоге 32 + 7 = 39. Вычитание наибольшего по отношению к сумме счета произведения 7 дает 39 – 35 = 4. Итак, 1 января 2032 года приходится на четвертый день недели, четверг

3. ИНТЕРЕСНЫЛИ ФОКУСЫ УЧЕНИКАМ?

Чтобы ответить на этот вопрос, я опросила учеников класса, используя анкетирование. В опросе приняло участие 25 человек. Перед анкетированием я, на уроках математики, познакомила учащихся с математическими фокусами. После чего попросила ответить на 3 вопроса.

Результаты обработки анкет одноклассников

Приложение 1

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работая над проектом, я узнала много нового:

- что математические фокусы, не что иное, как своеобразная форма демонстрации математических закономерностей;

- что секретом отгадывания многих фокусов являются уравнения;

- что математических фокусов много и они очень разнообразны;

- что в основе нумерологических расчетов лежат математические закономерности.

Анкетирование одноклассников убедило меня, что математические фокусы интересны школьникам. Задаваемые в остроумной и забавной форме, которую можно придумать по своему вкусу, эти задачи представляют собой очень хорошее и полезное развлечение для играющих. Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений, можно загадывать малые и большие числа. Поэтому, мои материалы можно использовать на уроках математики, на школьных вечерах. В этом практическая значимость моей научной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука»
2. Б. А. Кордемский «Удивительный мир чисел» Москва Просвещение
3. Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь»
4. В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус»
5. Интернет - ресурсы

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Анкета для опроса одноклассников