Муниципальное образовательное учреждение

Дашковская средняя общеобразовательная школа

Итоговый проект по математике

за курс 9 класса

по теме: «Треугольники»

Введение

        На протяжении всей своей сознательной жизни каждый человек проявляет неподдельный интерес к такой геометрической фигуре, как треугольник. Игра в пирамидки, складывание оригами, составление аппликации из цветной бумаги с помощью треугольных фигурок - все эти действия дают ребёнку первое представление о треугольниках. Треугольники существуют  в природе,  в архитектуре,  в искусстве и в окружающей нас жизни.

Актуальность данного  проекта определяется важностью умения видеть математику в мире, в котором мы живём, необходимостью добывать  знания о треугольниках, а также применением полученных знаний в повседневной жизни.

Цель: Обобщение знаний  о треугольниках, и их практическом применении.

Задачи:

• Изучение исторических сведений о треугольниках;
• Изучение  сведений о нахождении  треугольников в окружающем  мире;
• Исследование свойств треугольников и  применения этих свойств в решении практических задач.

Практическая значимость:  данный материал способствует формированию представления о прикладных возможностях математики.

Раздел I.

        Треугольник как символ. Исторические сведения.

        Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов.

        В Древнем Египте он был прямоугольным и являлся воплощением триады духовной воли, любви и высшего разума человека. Вертикальная сторона египетского треугольника составляла три единицы длины, основание - четыре, а гипотенуза – пять.

        На Древнем Востоке почитали треугольник как символ природы всего сущего. Треугольник с вершиной, соединенной с такой же геометрической фигурой, ацтеки использовали в качестве эмблемы временного цикла. В буддийской традиции два смыкающихся треугольника олицетворяют чистое пламя и Три Драгоценности Будды. Китайский символ восстановления изображается в виде треугольника с подвешенными к нему мечами.

         У  христиан - треугольник, образованный тремя пересекающимися окружностями, олицетворяет Троицу в единении и равенстве трех ее составляющих. Два соединенных вершинами вертикальных треугольника разделяют символизм песочных часов, олицетворяя неумолимо идущее время и смертность. Также песочные часы часто используются для обозначения благочестивого, тихого образа жизни, краткости человеческой жизни, а также применяются как атрибут отца-времени и порой даже смерти.

Начиная с ранних христиан треугольник был символом Святой Троицы. Равносторонний треугольник толковался как равенство и единая божественная сущность Бога Отца, Бога Сына и Духа Святого. Иногда этот символ составляли из трех переплетенных между собой рыб. Символ Троицы по католической традиции составлялся из трех малых треугольников, вписанных в один большой с кругами на вершинах. Три этих круга означают триединство, но каждый круг независим и совершенен сам по себе. Эта схема иллюстрировала принцип триединства и вместе с тем индивидуальности каждого составляющего Святой Троицы. 

 Печать Соломона - другое название звезды Давида, образованной наложением друг на друга двух треугольников, т.е. гексаграммы. По преданию, царь Соломон с помощью этого знака управлял духами, заключенными в медный сосуд. Считается, что печать Соломона является мощным амулетом, способным защитить своего обладателя от влияния злых духов.

Раздел II. Треугольник в геометрии.

        п.2.1 Понятие.

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника.

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому глубокое исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

2.1.1. Основные элементы треугольника ABC

Вершины – точки A, B, и C;

Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;

Углы – α, β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является внешним углом треугольника.

2.1.2. Виды треугольников.

Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его не равны друг другу.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. 

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°.

Египетский треугольник –прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25.

        Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины. В VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет - и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы.                                  
        Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников - треугольников с целочисленными сторонами и площадями. 
        Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.. Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло. 

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью, наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра.

 Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах.

2.1.3. Основные свойства треугольника.

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

        Теорема Чевы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.

        Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.

        Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

Свойства углов

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы.

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

Неравенство треугольника

В треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны.

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Теорема о сумме углов треугольник

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

α + β + γ = 1800.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где  R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между нимиЯвляется обобщением теоремы Пифагора. 

Теорема о проекциях

Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины С, делит противоположную ей сторону АВ на две части   и , считая от вершины А к В.

Свойство «жесткости треугольника».

Треугольник - жёсткая фигура. Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек. Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Рассмотрим модели двух фигур - треугольника и четырёхугольника и выясним, можно ли, не меняя длины сторон, изменить форму фигуры? Под действием небольшой силы четырёхугольник изменил свою форму, а треугольник нет.

Вывод: можно сказать, что треугольник – не изменяющаяся фигура. В нем нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, в отличие от любого другого многоугольника. В треугольнике нельзя изменить ни один из углов. Таким образом, треугольник – жесткая фигура. Если заданы три его стороны, то форму треугольника уже изменить нельзя, не разрушив его. Это свойство широко используется на практике.

2.1.4. Замечательные точки треугольника

 Замечательные точки треугольника  - точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.

Замечательными точками треугольника являются  точки пересечения:

1. медиан — центроид, центр тяжести (центр масс): 

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Свойства:

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
• Если  М — центроид треугольника , то для любой точки О верно равенство
• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин: треугольника.

2. биссектрис — инцентр или центр вписанной окружности:

Свойства:

• Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

3. высот — ортоцентр:

В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле).

Свойства:

• Если в четвёрке точек А, В, С, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.

• Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). Их часто называют окружностями  Джонсона.
• Последнее утверждение можно сформулировать так: Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

• Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности 
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. .
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности .
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.

• Расстояние от центра описанной окружности до стороны равно . расстояние от ортоцентра до вершины равно .

4. серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.

5. симедиан — точка Лемуана.

6. кливеров треугольника  - Центр Шпикера.

Раздел  III . Треугольники вокруг нас.

Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта. Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур.      

Древнегреческий ученый Герон (I век)  впервые применил знак   вместо слова треугольник.

Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов.

Различные жилища людей: вигвам, юрта, палатка. Все они имеют конусообразную форму, в сечении получается треугольник. Такие сооружения легко обдуваются ветрами, с них быстро стекает вода. Крыши старых деревянных домов и современных многоэтажек имеют форму треугольника. Это связано с тем, что на таких крышах не задерживается талый снег и легко стекает дождевая вода.

Предметы одежды человека. Различные головные уборы: треуголки, пилотки, колпаки, косынки – имеют треугольную форму. Женские платки, прежде чем накинуть на голову, складывают пополам. При шитье юбки часто втачивают клинья, которые тоже имеют форму треугольника, что придает юбке пышность. Чтобы одежда не помялась, ее хранят на плечиках, имеющих треугольную форму.

Солдатский треугольник – письмо без марки и конверта, отправленное солдатом с фронта или солдату на фронт.

Пирами́да Хео́пса  — крупнейшая из египетских пирамид, единственное из «Семи чудес света», сохранившееся до наших дней. Строительство, продолжавшееся двадцать лет, началось около 2560 года до н. э.

На парусных судах используются паруса треугольной формы. 

При создании букета или композиции нужно соблюдать гармонию цвета. При этом используется метод равностороннего треугольника.

Треугольник широко используется в предупреждающих  знаках дорожного движения.  

Широкое применение в жизни  человека нашло свойство жесткости треугольника.

 Символ Франции знаменитая Эйфелева башня  - самая узнаваемая архитектурная достопримечательность Парижа. Колебания башни во время бурь не превышают 15 см. Это объясняется тем, что вся конструкция башни сплетена из треугольников, обладающих жёсткостью.

Во время Великой Отечественной войны для сохранения стекол во время бомбежки их заклеивали бумажными полосками, чтобы получился треугольник.

В основе геодезического купола лежит каркас, представляющий собой пространственную ферму в виде полусферы. Именно из треугольников и состоит основной каркас геокупола. Благодаря своей конструкции геодезические купола выдерживают нагрузки, в несколько раз превышающие допустимые нагрузки для обычных прямоугольных сооружений.

Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку.  Телеграфные столбы с подпоркой  называют анкерными.

Стропила зданий имеют вид треугольников. Это придаёт им крепость и устойчивость.

При строительстве любых мостов в их конструкциях также присутствуют треугольники. Треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.

п.3.1. Треугольник в   математике.

        Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.

Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество Т1, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество Т2, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность Тn, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие  - ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).

Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

п.3.2. Треугольник в   астрономии.

Треуго́льник (лат. Triangulum, Tri) — созвездие северного полушария неба. Занимает на небе площадь 131,8 квадратных градуса, содержит 25 звёзд, видимых невооружённым глазом. 

В Треугольнике находится спиральная галактика M33 (галактика Треугольника), третья по величине в Местной группе.

Звезды Треугольника не ярки: α всего лишь третьей звёздной величины. Всего в созвездии можно насчитать 15 звёзд. В телескоп можно увидеть и двойную звезду ι, компоненты которой окрашены в золотисто-жёлтый и зелёно-голубой цвета.

Треугольник  Кеплера. 
В начале XVII в. знаменитый астроном Кеплер составил диаграмму соединения планет Сатурна и Юпитера. Так в астрономии называют расположение планет, при котором для земного наблюдателя эклиптические долготы равны нулю, а сами небесные тела находятся близко друг к другу или даже перекрываются. Кеплер представил это явление в виде треугольника , который вращается по зодиакальному кругу, совершая полный оборот за 2400 лет.

п.3.3. Треугольник в  музыке.

Треуго́льник (итал. triangolo, англ. и фр. triangle, нем. Triangel) — ударный музыкальный инструмент в виде металлического прута (обычно из стали или алюминия), изогнутого в форме треугольника. Один из углов оставлен открытым (концы прута почти касаются).

Треугольник принадлежит к инструментам с неопределённой высотой звука, имеет блестящий и яркий тембр, способный украсить даже мощное оркестровое tutti. Как правило, ему поручаются несложные ритмические фигуры и тремоло. Треугольник подвешивается за один из углов на тонкой проволоке или тесьме, которую держат в руке или прикрепляют к пюпитру. По треугольнику ударяют металлической (реже деревянной) палочкой (на жаргоне музыкантов эта палочка называется «гвоздь»).

Треугольную форму имеют музыкальные инструменты: балалайка, арфа, треугольник. 

Раздел  IV .

Заключение

Треугольники окружают нас повсюду: детские пирамидки,   архитектурные сооружения, дорожные знаки,   музыкальные инструменты. В повседневной жизни мы почти перестали их замечать, а ведь это очень интересно, знать историю привычных для всех предметов, тем более, если она так увлекательна.

С одной стороны, треугольники имеют тысячелетнюю историю, с другой - это современный раздел математики. Теория треугольников имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для других наук.

        «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье, в начале ХХ века, очень точно характеризуют и наше время.

                            Список использованной литературы

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.:  Просвещение, 2002.         
2. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7 – 9 кл. сред. Шк. - М.: Просвещение, 1990. – 224 с.: ил.
3. Мякишев А. Г., Элементы геометрии треугольника., Москва, МЦНМО, 2002.
4. Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.

Интернет-ресурсы

1. Википедия. Треугольник. 

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA#%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B7%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F