Принцип Дирихле

МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №32»

Проектно-исследовательская работа

Тема: «Принцип Дирихле»

                                                                        Подготовили:

                                              ученицы 6 Г класса

                                                                        Макушкина Нина Александровна

                                                                        Ремнева Ангелина Павловна

                                       Руководитель:

                                                                Биктеева Милана Николаевна

Саранск, 2020 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………..3

Глава  I. Общие сведения о принципе Дирихле.

1.1 Биография Дирихле………………………………………………………...5

1.2 Формулировки принципа Дирихле…………………………………………………………………………7

Глава II. Применение принципа Дирихле при решении различных задач.

2.1 Арифметические задачи………………………………………………….10

2.2 Комбинаторные задачи………………………………...…………………10

2.3 Олимпиадные задачи……………………………………………………...11

2.4 Задачи на раскраски………………………………………………………12

Глава III. Исследование………………………………………………………14

Заключение…………………………………………………………………….15

Список использованных источников………………………………………...16

Приложение……………………………………………………………………17

Введение.

Просто знать – ещё не все,

знания нужно уметь использовать.

Иоганн Гете

Математика – один из главных школьных предметов. Умение решать задачи, особенно олимпиадные, всегда являлось одним из показателей математической одаренности ученика. Что же такое олимпиадные задачи? Существует такая трактовка: олимпиадные задачи – это задачи, при решении которых используются специальные методы, как правило, не рассматриваемые в школе на уроке.  Значит, решение таких задач способствует развитию не только интеллектуальных способностей учащихся, но развивает их творческие способности и познавательный интерес.  В данной работе подробно изучается принцип Дирихле, который позволяет находить верное решение в нестандартной ситуации.

Интерес к данному принципу у нас возник в этом учебном году, после победы в школьной олимпиаде по математике. Достичь таких результатов нам помог учитель, решая с нами логические задачи, при решении одной из которых использовался данный принцип:

В классе 30 учеников. В контрольной Вася сделал 13 ошибок, а остальные -  меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали одно и то же число ошибок.

Тема нашей исследовательской работы: Принцип Дирихле.

Объект исследования – способы и методы решения логических задач.

Предмет исследования – принцип Дирихле.

Гипотеза: Принцип Дирихле   позволяет  решать некоторые логические  и  олимпиадные   задачи, которые сложно решить другими способами.

Целью исследования было изучение принципа Дирихле и класса задач, решаемых этим способом.

Задачи исследования:

1. Изучить биографию и различные формулировки принципа Дирихле.
2. Подобрать и систематизировать задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле;
3. Научиться самостоятельно решать задачи данным методом.
4. Провести анкетирование;
5. Оценка проделанной работы и формулировка вывода.

Методы исследования: анализ, опрос учащихся 6 «Г» класса, сбор информации из книг, сети Интернет.

Актуальность исследования  заключается в том, что принцип Дирихле не рассматривается в учебниках математики, а полученные знания пригодятся нам в будущем для сдачи экзаменов и решении задач на олимпиадах, ведь роль олимпиад с каждым годом становится более значимой.

Глава I. Общие сведения о принципе Дирихле.

1.1 Биография Дирихле

Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминания школьниками всегда обеспечено одно из самых высших мест. Начиная исследовать принцип Дирихле, у нас возник вопрос: «А знают ли этого ученого наши одноклассники?». Мы решили провести среди них опрос. 

«Кто такой Петер Густав Лежен Дирихле?»

Всего в классе 20 учеников.

Судя по результатам ответов, можно говорить, применяя оба варианта.

Это великий немецкий математик, который изучал арифметику, математический анализ, механику и математическую физику.

Решили изучить его биографию, используя интернет-источники.

 Ио́ганн Пе́тер Гу́став Лежён Дирихле́ (13 февраля 1805 – 5 мая 1859) – немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел.

Дирихле родился в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. Его предки были выходцами из бельгийского городка Ришле (Richelet), этим обусловлено происхождение необычной для немецкого языка фамилии. Часть фамилии "Лежён" имеет аналогичное происхождение – деда называли «молодым человеком из Ришле» (фр. Le Jeune de Richelet).

В 12 лет Дирихле начал учиться в гимназии в Бонне, спустя два года – в иезуитской гимназии в Кёльне, где в числе прочих преподавателей его учил Георг Ом.

С 1822 года по 1827 год жил в качестве домашнего учителя в Париже, где вращался в кругу Фурье.

В 1827 году молодой человек по приглашению Александра фон Гумбольдта устраивается на должность приват-доцента университета Бреслау (Вроцлав). В 1829 году он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент, затем с 1831 года как экстраординарный, а с 1839 года как ординарный профессор Берлинского университета.

В 1831 году Дирихле женится на Ребекке Мендельсон-Бартольди, сестре знаменитого композитора Феликса Мендельсон-Бартольди.

В 1855 году Дирихле становится в качестве преемника Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете.

Оригинальное творчество Дирихле касается, в основном, теории чисел, теории рядов, интегрального исчисления и некоторых проблем математической физики.

В 1825 году Дирихле написал труд „Memoire sur l’impossibilité", который, будучи представлен Парижской академии, обратил на него внимание ученых и обеспечил ему славу прекрасного математика. В этой работе Дирихле рассмотрел случай так называемой великой теоремы Ферма для n=5 (Эйлер и Лагранж рассматривали случай n=3 и n=4). После этого Дирихле дал доказательство теоремы Гаусса для двуквадратичных остатков. Дирихле показал большую роль анализа и теории аналитических функций для решения проблем теории чисел.

Известна доказанная им теорема о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой бесконечной арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой – числа взаимно простые. До Дирихле эта проблема представляла для математиков непреодолимые трудности.

Дирихле первый дал точное доказательство сходимости рядов Фурье, известное повсеместно как признак Дирихле, а в вариационном исчислении привел так называемый принцип Дирихле. Эти работы дали повод другим математикам, например, Риману и Кантору, углубить исследования, что привело их к новым открытиям.

Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике.

Свои исследования и трактаты Дирихле печатал в математическом журнале Крелла и в трудах Академии. Он не написал крупного произведения, но его научное наследие и его лекции значительно продвинули вперед развитие математических знаний в Германии. После смерти Дирихле его лекции по теории чисел в обработке Дедекинда стали классическим трудом.

Учениками Дирихле были Леопольд Кронекер и Рудольф Липшиц. Большое влияние оказали лекции Дирихле на  Римана и Дедекинда.

Летом 1858 года во время поездки в Монтре, c Дирихле случился сердечный приступ. 5 мая 1859 года, он умер в Гёттингене, через несколько месяцев после смерти своей жены Ребекки. Мозг Дирихле хранится в отделе физиологии в Гёттингенском университете, наряду с мозгом Гаусса.

1.2 Формулировки принципа Дирихле.

Познакомившись с краткой биографией Дирихле, нам хотелось узнать, что же это за принцип и как он звучит. В итоге мы поняли, что формулировок у принципа несколько, но смысл у них один.

В несерьезной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов».

Существует несколько формулировок данного принципа.

1. «Если в n клетках сидит m зайцев, причем m >n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца».

Доказывается данный принцип Дирихле методом доказательства от противного:

Пусть не найдется такой клетки, в которой сидят два зайца, тогда количество зайцев m должно быть меньше или равно количеству клеток n, что приводит нас к противоречию.

2. «Пусть в n клетках сидят m зайцев, причем n > m. Тогда найдется хотя бы одна пустая клетка».

Доказательство:

Пусть нет ни одной пустой клетки. Тогда количество зайцев m должно совпадать с количеством клеток n (если в каждой клетке хотя бы по одному зайцу) или быть больше, что противоречит условию.

3.  «Если m зайцев сидят в n клетках, то найдется клетка, в которой не менее m/n зайцев».

Не надо бояться дробного числа зайцев – если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

Доказательство:

Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем m/n.. Тогда в n клетках вместе зайцев меньше, чем n • (m/n) = m. Противоречие!

4. «Если в n клетках сидят m зайцев и m > kn + 1 , то в какой-то из клеток сидят, по крайней мере, k + 1 заяц» (обобщенный принцип)

Доказательство:

Пусть не найдется такой клетки, то есть  в каждой из n клеток сидят по k зайцев, тогда зайцев должно быть  k•n, а по условию зайцев как минимум на одного больше. Пришли к противоречию с условием. Значит, есть клетка, в которой сидят k + 1 заяц.

Некоторые задачи на применение данного принципа также можно решить, используя метод доказательства от противного, но не все.

На первый взгляд, непонятно, почему это совершенно очевидное предложение, тем не менее, является мощным математическим методом решения задач, причем самых разнообразных. Всё дело оказывается в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что же здесь выступает в роли «зайцев», а что — в роли «клеток». И почему надо, чтобы «зайцев» было больше, чем «клеток». Выбор «зайцев» и «клеток» часто неочевиден. Далеко не всегда по формулировке задачи можно определить, что следует применить принцип Дирихле.

Таким образом, применяя данный метод, надо:

1)   определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев»;    

2)   получить «клетки». Чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну;

3)   выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

Глава II. Применение принципа Дирихле при решении различных задач.

Попробуем решить задачи с применением этого метода.

2.1 Арифметические задачи

Задача  № 1. В классе 27 учащихся. Найдется ли такой месяц в году, в который свой день рождения отмечают не менее трех учащихся этого класса?

Решение: Рассуждаем от противного. Если бы такого месяца не нашлось, то в каждом из 12 месяцев день рождения отмечали бы не более двух учеников. Значит, всего учеников было бы не более 12*2=24. Но по условию у нас 27 учеников, а значит найдётся такой месяц в году, котором отмечают свой день рождения не меньше чем 3 ученика этого класса.

Задача  № 2. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Решение: Ящики в данной задаче это – «зайцы», а сорта яблок - «клетки». Так как 25 = 3 * 8 + 1, то применим обобщенный принцип Дирихле для n = 3, k = 8 и получим, что в какой-то «клетке» k + 1 «заяц», то есть 8 + 1 = 9. Из этого следует, что найдутся 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

2.2 Комбинаторные задачи

Задача № 1. В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (белые, черные, синие, красные). Какое наименьшее количество шариков надо вынуть из коробки, чтобы среди них оказались два шарика одного цвета?

Решение: Шарики примем за «зайцев», а за «клетки» - сами цвета. Клеток 4, значит по принципу Дирихле нужно вытащить хотя бы 5 шариков, чтобы среди них оказалось 2 шарика одного цвета.

Задача  № 2. На контрольной работе 10 школьников решили в сумме 35 задач, причем среди них были решившие ровно одну, ровно две и ровно три задачи. Докажите, что кто-то из них решил не менее 5 задач.

Решение: Возьмем одного школьника, решившего ровно одну задачу, одного, решившего ровно две и одного, решившего ровно три. Эти трое решили в сумме 6 задач. Остается еще 7 школьников, решивших в сумме 29 задач. Значит, по обобщённому принципу Дирихле n = 7, k = 4,    7 * 4 + 1 = 29, из этого следует, что найдётся кто-то из них, кто решил не менее 5 задач.

2.3 Олимпиадные задачи

Задача № 1. На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришли 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришел ни один гость

Решение: Обозначив комнаты – «клетками», а гостей – «зайцами», имеем: 36<42. Тогда по принципу Дирихле найдется как минимум одна пустая «клетка», т.е. в какую-то комнату не придет не одного гостя.

Задача  № 2. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 35 учеников?

Решение: Допустим, что во всех классах не менее 35 учеников, тогда по всей школе будет не менее чем 35*33=1155 (учеников), что противоречит условию задачи. Значит, в школе найдется класс, в котором меньше, чем 35 учеников

Задача  № 3. Каждая грань куба раскрашена в чёрный или белый цвет. Докажите, что найдутся две одинаково раскрашенные грани, имеющие общее ребро.

Решение: Для решения данной задачи выбираем следующую формулировку: «если в n клетках сидит n + 1 зайцев или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца». Принимаем за «клетки» - цвета, а за «кроликов» грани, пересекающиеся в одной вершине. «Клеток» получилось две, по принципу Дирихле из этого следует что «зайцев» будет 2 + 1 = 3. Так как у нас получилось 3 грани, а цвета всего 2, из этого следует, что какие-то две грани будут одинаково раскрашены.

Задача  № 4. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см.

Решение: Пусть 5 точек – «зайцы». Так как «клеток» должно быть меньше, то пусть их будет 4. Чтобы получить 4 «клетки», разобьем равносторонний треугольник с помощью проведенных отрезков к серединам сторон  на 4 равных треугольника – «клетки». Так как «зайцев» - 5,  «клеток» - 4 и 5>4, то по принципу Дирихле найдется клетка – равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее 2 зайцев – точек. А так как все 4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике будет меньше, чем 0,5см, то мы доказали, что между некоторыми 2 точками из 5 расстояние будет меньше, чем 0,5см (рис.1).

          Рис. 1

2.4 Задачи на раскраски.

Задача  № 1. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр друг от друга.

Решение: Рассмотрим вершины равностороннего треугольника со стороной 1 м. Если две точки разного цвета, то третья обязательно либо первого, либо второго, значит, мы нашли две точки одного цвета.

Задача  № 2. Каждая грань куба раскрашена в чёрный или белый цвет. Доказать, что найдутся одинаково раскрашенные грани, имеющие общее ребро.

Решение: Рассмотрим любую вершину куба. В ней пересекаются три грани. Примем за "клетки" цвета, а за зайцев грани, пересекающиеся в одной вершине (их три). Поэтому согласно принципу Дирихле найдутся два "зайца" в одной "клетке", а это и означает, что найдутся две грани имеющие общее ребро (так как они имеют общую точку) и окрашенные одинаково.

Глава III. Исследование.

Опрос проводился среди моих одноклассников. В опросе участвовало 23 ученика. Были предложены три вопроса, целью которых было выявить, кто из учеников знает немецкого математика Петера Густава Лежен Дирихле, слышали ли  они про принцип Дирихле и применяли ли они его при решении задач. Проанализируем результаты проведенного опроса.

По результатам первого вопроса выявлено, что большинство из них – 20 человек (87%) знают Иоганна Петера Густава Лежен Дирихле, как учёного математика, принцип которого известен – 9 ученикам (39%), как показывает анализ второго вопроса. А вот по результатам третьего вопроса – к решению этих задач приступали только 3 человека из всех опрошенных (13%).

Из вышеизложенного сделаем вывод: мои одноклассники не отличаются особой любознательностью.

Но хочу отметить, что было бы очень интересно провести тот же опрос в следующем учебном году, и посмотреть, насколько изменятся результаты, представленные на сегодняшний день. 

Заключение.

Несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное решение. При исследовании содержания олимпиадных заданий мы заметили, что задачи, которые решаются с помощью принципа Дирихле встречаются почти в каждой работе. Самым интересным и сложным было находить, казалось бы, в простых задачах "зайцев" и "клетки", так как это иногда было совсем не очевидно. Из-за неправильного выбора задачи не решались, а как только определялись "зайцы" и "клетки", принцип Дирихле начинал работать.

Изучив этот принцип доказательства, мы стали придумывать несложные задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле. Мы считаем, что проделанное нами исследование, дало положительные результаты. Элементы нашей работы можно использовать для ознакомления с принципом Дирихле в школьном курсе математики. Этот метод необходимо знать и применять его на практике. В процессе исследовательской деятельности нами были рассмотрены задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле. Они могут использоваться в качестве олимпиадных заданий для учеников школьного этапа. Мы собираемся продолжить наши исследования дальше.

Список использованных источников:

1. Андреев А.A., Савин А.Н., Саушкин М.Н. "Принцип Дирихле" (сайт Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников http: ermine.narod.ru).

2. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике Москва МЦНМО, - 2004

Газета «Математика» № 25-26. Изд. дом. «Первое сентября».

3. Школьная энциклопедия Математика. Гл. ред. С. М. Никольский. – Москва. Изд. дом «Дрофа», 1997.

4. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А. П. Савин – Москва. Педагогика – Пресс, 1999.

5. Летчиков А.В. Принцип Дирихле. Задачи с указаниями и решениями: Учебное пособие. Ижевск: Изд – во Удм. ун-та, 1992. 108с.

6. Севрюков П. Ф. Школа решения олимпиадных задач по математике. — М. : Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2012. — 176 с.

7. Спивак А.В. Математический праздник. – М.: Бюро Квантум, 2004. – 288 с. – ( Библиотечка «Квант». Вып. 88)

8. Успенский В. А. Простейшие примеры математических доказательств.— М.: Изд-во МЦНМО, 2009.—56 с.

9. Википедия Биография Дирихле

10. Фоксворд. Учебник. Принцип Дирихле

11. Статья Принцип Дирихле

Уважаемый респондент!

Просим Вас принять участие в нашем исследовании и ответить на вопросы. Впишите суждения в соответствующие графы анкеты. Анкета анонимна.

АНКЕТА

Кто такой Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле? ________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________

В чём заключается смысл принципа Дирихле?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Приходилось ли Вам решать задачи на применение принципа Дирихле?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________