Математические задачи с практическим содержанием в курсе основной школы и способы их решения

Математические задачи с практическим содержанием в курсе основной школы и способы их решения

Автор работы: Лазарев Сергей Леонидович

учащийся 9 класса

 «Математике должны учить в школе

 еще с той целью, чтобы познания,

здесь приобретаемые, были

достаточными для обыкновенных

 потребностей в жизни»

И. Л. Лобачевский

Решение математических задач – одно из основных средств развития школьников.   Каждая математическая задача служит конкретным целям обучения, но основная цель любой задачи -  развитие творческого и математического мышления школьников, повышение их интереса к математике.   Этому способствуют, прежде всего, прикладные задачи или задачи практического содержания.  

Сегодня одной из главных задач школы является не только сообщение учащимся определённой суммы знаний, но и развитие у них познавательных интересов, стремления к самостоятельному "добыванию" знаний и умений, применяя их в своей практической деятельности. Ведь новая жизнь требует новых знаний. Мы должны в принципе уметь совершать разнообразные денежные расчеты, измерить площадь комнаты,  то есть знать математику для повседневной жизни.

Идея формирования у  школьников универсальных умений, необходимых для решения жизненных и профессиональных  проблем,  является одной из ключевых в Федеральном государственном образовательном стандарте. Это определяет значимость всех школьных предметов,  в том числе и математики, в развитии  у нас умений решать задачи, возникающие в процессе практической деятельности человека. В этом и заключается актуальность моей рассматриваемой темы.

Цель моей работы – изучение математических задач с практическим содержанием и способов их решения.

Задачи:

• изучить необходимую литературу;
• рассмотреть понятие задачи с практическим содержанием в курсе математики основной школы;
• провести анкетирование;
• найти способы и решить математические задачи с практической составляющей.

В своей исследовательской работе я  определил:

 Объект исследования: математические задачи с практическим содержанием.

 Предмет исследования: применение таких задач в повседневной жизни.

Гипотеза – теоретические знания, полученные в школе, могут позволить решить любую практическую задачу.

Методы исследования:

• изучение научной и методической литературы, а также школьных учебников,
• анализ, обобщение,
• опрос, анкетирование,
• эксперимент,
• практический метод решения задач.

Практическая значимость результатов исследования

 Материалы исследовательской работы могут быть использованы для подготовки к государственной итоговой аттестации и в повседневной жизни.

Теоретическая часть

Практические задачи в курсе математики основной школы

Что же такое «задача с практическим содержанием»?  

Под математической задачей с практическим содержанием мы понимаем задачу, в которой отражаются реальные ситуации из жизни, и после решения, которой ученики научатся применять математические знания на практике.

Главная цель решения таких задач — во-первых, сформировать умение решать задачи, которые могут встретиться каждому в реальной жизни. Во-вторых, немаловажная цель решения практических задач состоит в том, чтобы показать ученикам важность и практическую нужность изучения математики. В-третьих, решение задач практического содержания в короткой перспективе пригодится для сдачи ГИА, ведь практика показывает, что эти задачи вызывают затруднения у выпускников, так как они не имеют прочных навыков решения этих задач.

А ведь навыки приобретаются, если мы постоянно решаем такие задачи, а проведенный мной анализ учебников математики 5-9 классов и открытого банка заданий ОГЭ, показал что подобных задач недостаточно в школьном курсе математики.  Если в  курсе математики 5-6 классов встречаются текстовые задачи с практическим содержанием (задачи на части, проценты, масштаб, площадь), то в курсе алгебры таких задач все меньше. В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний. С этого учебного года первые пять заданий ОГЭ по математике проверяют наши  умения  использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Все задачи, найденные мной в учебниках основной школы и в открытом банке заданий, я определил  на три группы:

1 группа - задачи профориентационного направления

2 группа - геометрические задачи, связанные с жизнью, с практической деятельностью человека

Задача №1 

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3м и 2,7м? (Геометрия 7-9, с 122)

Задача №2.

Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3м, проложена дорожка шириной 1м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка? (Геометрия 7-9, с 283)

3 группа – задачи семейно-практического содержания

Задача  № 1

Для ремонта квартиры купили 42 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 8 рулонов?

  Задача  № 2

Показания счетчика электроэнергии 1 ноября составляли 12625 кВт/ч, а 1 декабря – 12802 кВт/ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь, если 1 кВт/ч стоит 3рубль 38 коп?

Задача  №3

 Семья из четырех человек планирует поездку из Москвы в Анапу. Можно ехать поездом, а можно – на своей машине.  Билет на поезд на одного человека стоит 1510 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 1500 км, а цена бензина  - 30 руб. за литр. Сколько рублей будет стоить самая дешевая поездка для этой семьи?

Задачи 3 группы находятся, в основном,  в открытом банке заданий.

При решении задач из данных групп наибольшее затруднение вызвали геометрические задачи. Поэтому я решил, более подробно исследовать данный тип задач.

2. Исследовательская часть

Этапы исследования:

1.Решение практических задач древними геометрами

В ходе работы я изучил литературу: книгу Я.И. Перельмана "Занимательная геометрия",  узнал, что великие геометры – Фалес, Пифагор, Архимед, Платон, Евклид внесли огромный вклад в развитие геометрии. Выяснил, что уже в древнем мире люди занимались решением практических задач. Исходя из практики, возникла и теория.

Решение практических задач древними геометрами позволяет:

находить на местности расстояние между двумя точками, которое невозможно пройти по прямой; находить на местности расстояние между двумя точками, одна из которых недоступна; определять высоту высоких предметов; строить прямые углы на местности; строить окружность при помощи веревки и т.д.

2. Решение практических задач моими современниками

 Для того чтобы выяснить, как мои современники справляются с математическими задачами практического содержания я провел опрос учащихся 7, 9 классов, родителей, учителей. Для опроса я использовал составленные мной  практические задачи. (Приложение 1)

 Результат опроса показал, что математические знания  на практике применяют, в основном, взрослая часть опрошенных.

Из предложенных задач наиболее часто применяемыми оказались:

определять высоту высоких предметов, ширину – 5 чел.

строить прямые углы, окружности на местности – 8чел.

делать ремонт – 17чел.

Учащиеся,  зная теоретический материал, затруднились решить практические задачи.

Анализ данных диаграмм (Приложение 2) позволил сформулировать проблему: многие учащиеся не умеют применить полученные знания в жизни при решении практических задач.

3. Решение практических задач автором данной работы.

Следующим этапом в моей работе стало решение данной проблемы, т.е изучение и применение способов решения задач на практике.

1. Задача «Определение геометрического места точек» (Задачи 1 и 2 в Приложении 1)

Используемый мной теоретический материал для решения задачи:  «Свойства серединного перпендикуляра к отрезку»

1.Решение: Обозначим через А и В данные в задаче населенные пункты и проведем на местности серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Так как все точки этого перпендикуляра равноудалены от пунктов А и В и никакие другие точки этим свойством не обладают, то автозаправочную станцию нужно построить в точке пересечения перпендикуляра с шоссе (если такая точка найдется). (Приложение 3)

2.Решение: Пусть А, В и С — точки расположения трех данных домов. Проведем серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и АС. Тогда точка О их пересечения будет единственной точкой, равноудаленной от точек А, В и С, поскольку для этой точки выполнены равенства АО=ОВ и АО=ОС. Таким образом, искомое место для колодца — точку О — можно найти приведенным способом, но лишь при условии, что дома расположены не на одной прямой. (Приложение 4 )

2. Задача «Измерение высоты дерева» (Задача3)

Данную задачу я решил тремя способами:

1 Способ: Определение высоты предмета по длине его тени. (Приложение 5 )

Это самый древний способ, с помощью которого греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. То же самое проделал я.

Используемый мной теоретический материал: «Признаки подобия треугольников»

Решение: Измерил длину тени дерева АС, рост В1С1 и длину тени АС1 своего одноклассника.

                                                                                         АС=20м

                                                                                          В1С1=1,5м

                                                                                          АС1=2,3м

Искомая высота дерева: ВС =  13м.

2 Способ: Измерение высоты дерева с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника. (Приложение 6)

Используемый теоретический материал: «Признаки подобия треугольников». «Определение равнобедренного треугольника».

Решение: Для того чтобы измерить высоту дерева BD, приготовил прямоугольный равнобедренный треугольник и, попросил одноклассника, держа его вертикально, отойти  на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы, он увидел верхушку дерева. Измерил расстояние от него до дерева и прибавил к данному числу его рост до уровня глаз.

АЕ = DE = 12м, АК = EF = 1,4м, DF = DE +EF = 12м + 1, 4 м = 13,4м. – искомая высота дерева.

3 Способ:  Определение высоты дерева по фотографии. (Приложение 7)

Используемый теоретический материал: «Масштаб. Пропорция».

Решение: Отношение роста одноклассника на фотографии к его истинному росту равно отношению дины изображения дерева на фотографии к его истинной длине на местности.

a : А = b : В

а      a=1 см,  А=1,5м , b= 9 см.

В =  = 13,5 – искомая высота дерева.

3. Задача «Определение расстояния между двумя объектами»

(Задача 4)

Необходимо измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую  между этими объектами.

Используемый мной для решения задачи теоретический материал: «Теорема Пифагора»

Решение: Пусть А и В — данные точки на местности, между которыми определяется расстояние. Выберем точку С, из которой видны обе точки А и В . Угол С строим на местности прямой. Тогда АС и ВС – катеты треугольника АВС, а АВ его гипотенуза, которую мы находим по теореме Пифагора: .

4. Задача «Построение прямого угла»

Используемый теоретический материал: «Египетский треугольник»

Решение: Я взял длинную веревку,  сделал 12 узелков на расстоянии 30 см  между узелками. Концы веревки соединил и получил кольцевую веревку. Потом натянул веревку так, чтобы получился  треугольник со сторонами  пропорциональными числам  3, 4 и 5. Полученный треугольник прямоугольный. Этот способ я использовал на местности для построения прямого угла. (Приложение 8)

5. . Задача «Построение окружности»

Используемый теоретический материал: «Окружность»

Решение: На местности я установил колышек, к которому привязал верёвку. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, я прошел вокруг, получилась окружность. (Приложение 9)

Заключение

В своей  работе я проанализировал учебники основной школы на наличие в них задач с практическим содержанием, попытался эти задачи распределить на группы, а также выяснил, что их недостаточно в школьном курсе, чтобы учащийся мог  использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Изучил  теоретический материал необходимый для решения задач с практическим содержанием и решил подобранные задачи, с акцентом внимания на практическую составляющую.

В ходе работы также проведен опрос учащихся 7, 9 классов и их родителей, учителей по поводу применения, использования и важности решения математических задач с практическим содержанием в повседневной жизни; исследованы различные способы и методы их решения.

Я рассмотрел наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – измерением высоты предмета, построением прямого угла, окружности, нахождением расстояний до недоступных точек, определением места для построения. Эти задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии, используются для практических работ и вызывают наибольшее затруднение у учащихся. Для того чтобы в реальной жизни ученики могли не бояться встретившихся на их пути проблем, необходимо разбирать такие задачи, которые будут отражать реальную действительность и которые можно с легкостью решить математическими методами.

В результате проведенных исследований я подтвердил выдвинутую мной гипотезу, что теоретические знания, полученные в школе, позволяют  решать практические задачи. 

Тем самым цель работы достигнута, поставленные задачи реализованы.

Работа подтвердила и тот факт, что знания, полученные в школе, имеют вес, если ты умеешь их применить в жизни.

Список литературы и источников информации

1. Атанасян Л.С. «Геометрия. 7-9 классы»: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2017. – 383с.
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И, Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 5 класс.- М.: Мнемозина,2015.
3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И, Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс.- М.: Мнемозина,2015.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. - М.: Просвещение, 2017 г.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс.- М.: Просвещение, 2015 г.
6. Перельман Я.И. «Занимательная геометрия», М.: РИМИС, 2010. – 320с.
7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрические задачи с практическим содержанием - М.: Чистые пруды, 2009.

Интернет – ресурсы:

8. Абрамов А.В., Абрамова Н.В, Зайнуллин М.Н. «Математические задачи с практическим содержанием». М: Академия Естествознания, 2015. https://monographies.ru/en/book/view?id=528
9. Федеральный институт педагогических измерений: http://fipi.ru/