Малая и большая теоремы Ферма

ВСЕРОССИЙСКИЙ ДЕТСКИЙ КОНКУРС

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ

 «ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ» 

Секция: ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, МАТЕМАТИКА

Тема: Малая и большая теоремы Фермы

Автор: Цебоева Анастасия Анатольевна

Научный руководитель: Диамбекова Алла Лазаровна

Место выполнения работы: МКУДО ДДТ Дигорского района РСО-Алания

2018г.

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………….3

Основная часть

1. «Князь любителей» математики …………………………….…4
2. Малая теорема Ферма………………… ………………………  6
3. Большая головоломка Ферма…...................................................8

Заключение ………………………………………………………………….12

Библиографический список………………………… ……………………13

Введение

«Среди всех наук  Математика пользуется особенным уважением; основанием этому служит то единственное обстоятельство, что её положения абсолютно верны и неоспоримы, в то время как положения других наук до известной степени спорны, и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями» - утверждал Альберт Эйнштейн.      [2]

Действительно, история математики является историей накопления преемственных научных знаний. Даже перерывы на многие века в развитии математической науки, даже  научные и социальные революции не могут нарушить эту преемственность. Доказательность математических утверждений делает её историю менее всего историей ошибок. Любое математическое утверждение, доказанное уже один раз, не подлежит пересмотру, а может лишь развиваться и обобщаться. Поэтому меня и привлекают занятия в математическом кружке.

В истории математики есть главы, посвящённые отдельным людям и открытиям, которые нельзя читать без волнения.  Одна из них - история жизни и деятельности Пьера де Ферма.

Цель данной работы - рассмотреть биографию учёного, его Малую и Большую теоремы.

В результате проведённой работы расширился мой общий кругозор:

- я пополнила свои знания в области делимости чисел Малой теоремой Ферма, не изучаемой в школьном курсе;

- познакомилась с понятием сравнение по модулю, также не изучаемым в школьном курсе;

- узнала формулировку Большой теоремы Ферма и увлекательную историю её доказательства;

- изучила биографию уникального учёного Пьера де Ферма.

Основная часть

1. «Князь любителей» математики

       Никто никогда столь успешно не

проникал в тайны чисел, как Ферма

                                  Леонард Эйлер    [2]

Одним из немногих блестящих и загадочных математиков в истории человечества был Пьер де Ферма (20.08.1601 – 12.01.1665.Франция). Современники признавали Пьера де Ферма разносторонним гением. Он родился 20 августа 1601 года на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань. Его отец был помощником мэра, а мать  происходила из семьи юристов.

Мальчик получил хорошее образование. Он прекрасно владел латинским, греческим, испанским и  итальянским языками. Пьер писал на этих языках стихи, ориентировался в греческой классике, тонко изучил культуру античности.

Но Ферма привлекала математика. Математическая мысль уводила его в загадочный мир взаимосвязей разных величин. Но посвятить себя любимой науке он не мог, так как надо было получить образование для «дела», чтобы содержать себя и семью. И молодой человек выбирает профессию юриста.

Избрав стратегию неукоснительного исполнения возложенных на него обязанностей, Пьер весьма успешно продвигался по служебной лестнице и вскоре вошёл в высший свет Франции, став Пьером де Ферма.  В 1631 году Пьер и  Луиз де Лонг поженились. Семья разрослась  пятью ребятишками. [7]

В начале 17 века математика, как и вся передовая мысль, только оживала после многовековых преследований инквизиции. Единственным учебным заведением, где была учреждена кафедра геометрии, был Оксфордский университет. В Европе действовало небольшое математическое сообщество, где математики обсуждали свои работы. А основная часть учёных проводила свои исследования в одиночку.

Парижский священник Марен Мерсенн (1588-1648) - философ, физик, математик - решил покончить с таким положением. Он начал привлекать в сообщество «одиночек», помогал математикам обмениваться полученными результатами.  Научных журналов ещё не существовало, поэтому идеи распространялись в письмах. Мерсенн стал как бы информационным центром для математиков разных стран: получив письмо от учёного, он переписывал его для других членов сообщества и срочно рассылал. Таким образом, сообщить Мерсенну о своём открытии означало опубликовать его для всей Европы. Позднее сообщество Мерсенна стало тем ядром, вокруг которого сформировалась Французская академия.   [9]

В научном центре мира – Александрийской библиотеке – в результате пожаров 389 и 642 годов были уничтожены многие величайшие научные труды учёных предыдущих столетий. Исчезли и 13 книг «Арифметики» Диофанта, в которых были собраны все предыдущие достижения человечества в теории чисел и исследования самого Диофанта. Спустя почти тысячелетие, в 1453 году, когда турки разграбили Константинополь, среди книг, случайно прихваченных беженцами в Европу, были обнаружены 6 томов «Арифметики». Благодаря замечательному переводу французского лингвиста Баше де Мезириака в 1621 году читатели на латинском языке получили доступ к их содержанию. Так на письменном столе  Ферма оказалось сочинение, с которым он уже не расставался до конца своей жизни. Оно воодушевило его на возрождение самой фундаментальной из всех математических дисциплин – теории чисел. [9]  

 «Арифметика» Диофанта стала наставником и учителем Ферма.  Для каждой своей задачи древний математик приводит подробное решение.  Пьер не стал идти по его стопам.  Он не готовил учебник для потомков, а решал задачи для своего удовольствия.  Задачи  Диофанта  воодушевляли его на создание аналогичных и более тонких задач.  При этом Пьер записывал сформулированные задачи и утверждения, а их решения «прокручивал в уме». Только иногда делал пометки на полях книги, чтобы убедиться в правильности своей идеи.   [3]    

Старший сын Пьера  Клеман-Самюэль  после его смерти пять лет собирал все заметки и письма отца, изучал неразборчивые надписи на полях «Арифметики» и вскоре издал книгу научных трудов учёного.  Изучив книгу, математическое содружество поняло, что письма Ферма были лакомыми кусочками из сказочного сокровища открытий. [8]

Ферма внёс значительный вклад во многие области математики. Но больше всего его прославили работы по теории чисел.  Он страстно был увлечён теорией чисел – Страница «Арифметики» Диофанта    наиболее древнейшей областью математики, которую получил в наследство от Пифагора и Диофанта.  Пьера манили свойства чисел и отношения между ними. Особенно его занимают «невозможные» задачи – задачи, не имеющие решений.   [6]

Несмотря на настойчивые просьбы отца Мерсенна, Пьер упорно отказывался раскрывать свои доказательства, а лишь формулировал созданные теоремы. Признание результатов для него ничего не значило. Он получал удовольствие от сознания, что в тиши своего кабинета может творить новые теоремы. Тактика формулирования проблемы и скрытия её решения имела под собой и практическую мотивацию: Ферма не имел времени подробно излагать полученные доказательства и  избавлялся от мелочных придирок ревнивых критиков, на которых  пришлось бы тратить время и силы, чтобы разъяснять им ход своих мыслей.

Но даже великие мира сего не могут не озорничать: он поддразнивал своих коллег, направляя им формулировки новых теорем без доказательств. Учёный как бы бросал вызов своим современникам, испытывая их способность самим найти выкладки. В этом - весь Ферма!

2. Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма — одна из наиболее известных теорем о делимости. Сам Ферма, конечно, оставил свою теорему без доказательства. Первым, кому удалось его найти, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, который не знал о результате Ферма и открыл теорему независимо. Но работа Лейбница не была опубликована, и доказательство (очень похожее) в 1736 году обнародовал Леонард Эйлер.   [4]

Сформулируем малую теорему Ферма так: для любого простого числа p и положительного целого числа a разность   aр– a     делится на p без остатка.

Сам учёный дал следующую формулировку:

для любого простого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,  ap-1– 1 делится на p без остатка.

Очевидно, что эти формулировки равносильны. Если в разности aр– a     вынести множитель а за скобки, то получим произведение   а(ap-1– 1). Если a кратно p,  то первый множитель делится на p, а если a не кратно p,  то второй множитель делится на p.

Дадим определения сравнения по модулю и факториала:

пусть m – произвольное натуральное число. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если  a и b дают одинаковые остатки при делении на него. При этом пишут ab(mod m)    [1]

факториал числа n – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n и обозначается n!.

Тогда доказательство теоремы можно предложить в следующем виде:

поскольку остатки от деления чисел a, 2a, 3a, … (p-1)a  на р – это какие-то из  чисел 1; 2; 3; …; р-1, то

  1 2 … (р-1) ( р),

откуда получаем:

(p-1)!   (p-1)! ( р).

Сократив на (p-1)! , получим  1 ( р).

Что и требовалось доказать.  [5]

При решении задач часто используется следующее утверждение:

Говорят, что два числа а и b сравнимы по модулю т, и пишут а ≡ b(тоd т), если разность            а - b делится на т.

Действительно. Если два числа а и b сравнимы по модулю m, то они при делении на m  имеют один и тот же остаток r. Тогда

a=sm+r,

b=km+r

где s и k некоторые целые числа.

Разность этих чисел  а - b = m(s-k)   делится на m.  ЧТД

Малая теорема Ферма имеет широкое применение при решении задач, служит одним из способов распознавания простоты натурального числа и используется при доказательстве многих теорем теории чисел. Я намерена в дальнейшем изучить последнее предложение. Также хочу изучить изменение её формулировки при непростом модуле, установленное Леонардом Эйлером.

А теперь рассмотрим несколько задач, решаемых с помощью данной теоремы.

Пример 1. Вычислить остаток при делении:

а) 24 на 5;                                 б) 34 на 5;                                 в) 36 на 7;

г) 56 на 7;                    д) 310 на 11;                е) 810 на 11;                 ж) 5996 на 97?

Решим так: так как во всех случаях показатель степени на 1 меньше простого числа, на которое делится эта степень, то получим в остатке 1.

Пример 2. Чему равен остаток, если поделить 3102 на 101.

Решим так: так как 101 – простое число, то по мтФ верно сравнение 3100  1 (mod 101).

Умножим обе части на 9:

93100  91 (mod 101),

3102  9 (mod 101). Значит,  искомый остаток равен 9.

Пример 3. Доказать, что 7120 -1 делится на 143.

Решение. Число 143 = 11  13.

По мтФ 710  1 (mod 11)  и  712  1 (mod 13).

По свойству сравнений an  bn (тоd т)  получаем:

(710)12  1 (mod 11)  и  (712)10  1 (mod 13). Тогда  7120 -1 делится и на 11, и на 13, значит, разность  делится и на 143. ЧТД

Пример 4. Найти остаток, который получится при делении  7122 на 143.

Решим так: из предыдущего примера 7120 -1 делится на 143, то есть 7120 1 (mod 143). Умножим обе части на 72. Получим 7122 49 (mod 143). Ответ: 49.

Пример 5.  Каков будет остаток от деления:  а) 47 на 7;      б) 75 на 5?

Решение. В этом случае удобнее применить первую формулировку теоремы:

а)    47  4 (mod 7);              б)  75 7 (mod 5), так как 7 = 5 +2, то остаток равен 2.

Ответ: а)  4;    б)  2.

3. Большая головоломка Ферма

Среди образованных людей редко встретишь таких, кто ни разу не слышал о Великой теореме Ферма. Об этом утверждении пишут во многих литературных произведениях, упоминают в разных фильмах.

              Почему же теорема так знаменита?

Существуем много пока ещё не доказанных теорем, то эта теорема знаменита тем, что                          её формулировка очень проста и понятна даже ученику 5-го класса, а доказательство настолько трудное, что даже не каждый учёный-математик его поймёт.  

Пьер в 1637 году читал очередную задачу из «Арифметики» Диофанта и был поражён разнообразием и обилием пифагоровых троек – чисел, которые могут служить сторонами прямоугольного треугольника. Другими словами, в известной всему миру теореме Пифагора можно брать бесконечное количество троек натуральных чисел и всегда квадрат одного (гипотенузы) будет равен сумме квадратов двух других (катетов).  Пьер вместо показателя 2 написал число 3. Это незначительное изменение  невероятно преобразило равенство: оно не имело решения при всех натуральных числах. Другими словами, нет ни одной тройки натуральных чисел, для которых куб одного из них был бы  равен сумме кубов двух других.  Аналогично для чисел четыре, пять, шесть и до бесконечности. Как всегда, свои выводы Пьер пишет на полях рядом с читаемой задачей: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».  [6]

Так началась история доказательства Великой, Большой, Последней теоремы Ферма. Словно дразня потомков ложными надеждами, Ферма оставил короткое сообщение, с которого началась гонка за романтической мечтой продолжительностью 358 лет.

За прошедшие после смерти гения столетия ученые смогли доказать почти все утверждения Ферма, тем самым удостоверившись в том, что он действительно для себя устанавливал их справедливость.  И только Великая теорема не поддавалась. Так как она была последней недоказанной, то вместе с «Великой» её стали называть ещё и «Последней». И наконец, из-за существования в теории чисел «малой» теоремы Ферма она получила ещё одно название - «Большая» теорема Ферма.  Более трех столетий все попытки доказать ее терпели поражение. Она стала неприступной крепостью, покорить которую мечтал каждый математик. Это был вызов всему математическому миру: удастся ли кому-либо сравняться с Ферма по блеску ума?

В записях Ферма приводится схема доказательство для случая с показателем четыре. Более века спустя  математический гений восемнадцатого столетия Леонард Эйлер, единодушно признанный современниками «первым математиком мира»,  разобрал эти выводы Ферма и только через два десятилетия   совершил первый крупный прорыв и решил в 1768 году данную задачу для третьей степени. При этом способ доказательства в корне отличался от приёма самого Ферма, который не давал решение случая с тройкой.

 Прошло ещё полвека. В двадцатых годах девятнадцатого века Французская Академия Наук учредила в качестве награды  золотую медаль и назначила премию в 3000 франков за разгадку «тайны Ферма». Может поэтому  девятнадцатый век стал более  плодородным в поиске загадочного доказательства, так как научному миру были представлены следующие частные случаи:

- в 1825 году одновременно  и независимо друг от друга немецким математиком Петером Густавом Дирихле и французом Адриеном Лежандром была установлена справедливость утверждения для пятой степени;

- вскоре в 1839 году усилиям французского математика Габриеля Ламе поддался случай для седьмой степени. Одно время он даже вывел общий случай, но в рассуждениях была обнаружена ошибка, что стало глубочайшей душевной травмой для учёного;

- самые серьёзные исследования рассматриваемого вопроса в девятнадцатом веке связаны с именем немецкого математика Эрнста Куммера, которому и была вручена вышеназванная награда.  Куммер смог  доказать теорему для всех простых степеней из первой сотни. Но к концу жизни  (1810-1893) он понял, что уже не сможет доказать теорему в полном объёме, поэтому  хотел рассмотреть её справедливость для всех простых показателей. Но и это ему не удалось.   [6]

Зато Куммер смог показать, что для полного доказательства методы девятнадцатого века не подходят. Этот блестящий образец логики нанёс чудовищный удар по целому поколению ученых, потративших многие свои творческие  годы на решение этой умопомрачительно сложной задачи. После вывода Куммера погасли надежды ученых решить проблему, и в их глазах она стала романтической мечтой. Если кто-то втайне и пробовал найти её доказательство, вслух об этом уже не говорилось.

Знаменитый в начале 20 века математик из Германии Давид Гилберт на вопрос о том, почему он никогда не пытался доказать Великую теорему Ферма, ответил:  «Прежде чем начать, я должен был бы затратить года три на усиленную подготовку, а у меня нет столько времени, чтобы так расточительно тратить его на решение проблемы, которое может закончиться неудачей».[8]

Новый всплеск в уникальной истории доказательства головоломки Ферма дает оглашение завещания немецкого промышленника Пауля Вольфскеля. Эта история весьма интересна.

Богатый Пауль увлекался математикой на любительском уровне. Его тоже влекла Великая теорема. Он мечтал её доказать. Но она была ему не по зубам. В 1908 году промышленник умер. Его завещание поразило всех: он завещал большую долю своего состояния математику, нашедшему разгадку головоломки Ферма. Премия составляла более 1 000 000 фунтов стерлингов.  Она была на счету Королевского научного общества Гёттингена.

 Но профессионалы не проявили к ней интерес, так как понимали свою безнадёжность. Зато нашлось много молодых не совсем компетентных в математике людей, которые ринулись покорить загадку нескольких веков. Они получили название «ферматисты».

Жаждущие получить премию завалили Гёттингенский университет своими научными статьями. Нетрудно догадаться, что все они содержали ошибки.

Доказать теорему Ферма в среде любителей так популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя в №3 статью Гастева Ю.А. и Смолянского М.Л. «Несколько слов о Великой теореме Ферма», сразу сделал приписку: «Редакция «Кванта» со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Даже сегодня, открыв страницы интернета, мы наблюдаем множество предлагаемых «доказательств»  Великой проблемы Ферма. Это является следствием того, что авторы верят в существование элементарного доказательства, которым мог располагать сам создатель обсуждаемой головоломки.

Но вернёмся к профессиональным математикам. Несмотря на 300-летние провалы ученых, теорема безудержно волновала математиков.

В далёком 1954 году в Японии встретились два начинающим математика Ютака Танияма и Горо Шимура. В учёной среде принято, чтобы начинающие аспиранты работали под руководством опытного старшего коллеги.  Ютака и Горо отказались от этой формы деятельности и работали самостоятельно.

      В сентябре 1955 года в Токио состоялся международный симпозиум, на котором Танияма сообщил о результатах своей работы. Его идея была настолько необычна, что присутствующие сочли её забавным наблюдением и случайным совпадением. По их мнению, утверждение молодого учёного опирается на интуицию, а не на научные факты. Только Шимура верил в правоту друга. Горо по двухлетнему контракту работал в Америке, и по возвращении хотел работать над проблемой вместе с Ютака. Но его планы не сбылись, так в ноябре 1958 года Танияма, которого научное математическое сообщество не поняло, покончил жизнь

    Ютака Танияма         самоубийством.

Тогда Шимура решил продолжить дело друга. Он приложил очень много сил и потратил  много времени, но не смог доказать гипотезу Ютаки. Зато научный мир стал называть это утверждение гипотезой Таниямы–Шимуры.

Осенью 1984 года на симпозиуме в Германии математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал утверждение, что Последняя теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы–Шимуры. Вроде найден путь к разгадке головоломки Ферма, но ведь этот путь сам без указателя, так как в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Шимуры никому не удавалось.                                                                                                                              Горо Шимура

Один из наиболее одарённых математиков этого периода профессор  Принстонского университета (США) Эндрю Уайлс писал: «Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы–Шимуры и доказательством Великой теоремы Ферма.  Я почувствовал себя так, словно через меня пропустили мощный электрический разряд.  Мне сразу стало ясно, что отныне весь ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие: доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры. Значит, моя детская мечта — не пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни минуты, я отправился домой и принялся за работу». [8]

Чтобы понять суть его фразы, вернёмся в Кембридж 1963 года. Десятилетний худой конопатый рыжик Эндрю Уайлс по дороге из школы домой, как всегда, заглянул в библиотеку. На этот раз его выбор остановился на книге Э.Белла «Великая проблема». Он не мог оторвать взгляд от страниц, с которых перед ним, как джин из лампы, постепенно вырастала, казалось бы, простая, но недосягаемая великая математическая тайна. Завершив чтение, мальчик был озадачен, заинтригован. В нем загорелась страсть покорителя, и он немедленно принялся за работу – срочно доказать эту теорему. Его ничуть не смущало, что самые блестящие умы человечества здесь потерпели фиаско. Эндрю мечтал потрясти мир!

В зрелом возрасте Уайлс вспоминал: «Она выглядела такой простой, и всё же великие в истории математики умы не смогли доказать её. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от этой проблемы. Я должен был решить её».  [8]

В 1975 году юноша стал аспирантом университета в  Кембридже. Следующие три года он пишет диссертацию, успешно её защищает и становится профессором философии. Среди коллег молодой учёный зарекомендовал себя отличным знатоком в своей области.

 Приступая к доказательству своей мечты, Эндрю хотел работать секретно. Так как в среде современных математиков принято совместная деятельность, то решение учёного удивляет и очень напоминает нам поведение самого Пьера де Ферма. Причины такого решения понятны:  во-первых, Уайлс не хотел отвлекаться от основной задачи, а во-вторых, не хотел делиться славой победителя с другими.

Шестилетний упорный труд принёс свои плоды в июне 1993 года. Двадцать третьего числа  в Кембридже двести математиков сидели как завороженные, следя за густой мешаниной греческих букв и алгебраических символов, выводимых Уайлсом на доске.  Лишь четверть из них понимала смысл записей, а остальные присутствовали    Эндрю Уайлс                     для того, чтобы стать счастливыми очевидцами поистине исторического события. Поставив последнюю точку, сияющий учёный сказал: «Думаю, мне следует на этом остановиться». Зал в едином порыве зааплодировал.  [8]

Но через несколько месяцев один из экспертов Ник Катц обнаружил очень тонкий логический просчёт. Учёный решил собраться с духом и попытаться восполнить пробел. Но удача полгода ускользала от Эндрю, он не мог исправить ошибку. Все СМИ мира трубили о сенсационном провале. Многократная история провала протекала по известному сценарию: многолетний адский труд и упорство, надежда и радость сменились горьким разочарованием и отчаянием.

Уайлс был уже на грани нервного срыва, а тут ещё появилось ужасное для него сообщение: «Сегодня в доказательстве великой теоремы Ферма произошел поистине поразительный сдвиг. Наум Элькис заявил, что располагает контрпримером. Таким образом, великая теорема Ферма оказалась неверной!» 

Хуже было некуда! Казалось, Эндрю уже не оправится от удара. Но через пару дней выяснилось, что это сообщение – шутка на 1 апреля канадского специалиста по теории чисел Анри Дармана. Наконец справедливость восторжествовала – мучительный, унизительный и отчаянный период  жизни длиной в 14 месяцев завершился блестящим       Чешская марка в честь 

озарением, позволившим Уайлсу найти правильное решение                               Великой теоремы

проблемы. И в 1995г. в ведущем математическом журнале «Анналы математики» на 130 страницах было опубликовано всё доказательство Великой теоремы Ферма.

Это величайшее событие в истории развития человеческой мысли Эндрю Уайлс прокомментировал так: «Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача. … Я был настолько поглощён доказательством, что не мог думать ни о чём другом. … Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрёл покой».  [8]

Заключение

Исходя из вышеизложенного, я могу сказать, что математика не является сухой и нудной наукой. В её истории есть главы, посвящённые отдельным людям и открытиям, которые нельзя читать без волнения.  Одной из таких глав является приведённая мною история жизни и деятельности Пьера де Ферма.

 Его Малая теорема имеет широкое применение при решении задач, служит одним из способов распознавания простоты натурального числа и используется при доказательстве многих теорем теории чисел. Я намерена в дальнейшем изучить последнее предложение.  

 А для доказательства его Великой теоремы был проделан титанический труд многими поколениями математиков. История этого доказательства подобна многоступенчатой лестнице, преодоление каждой ступеньки которой стоило учёным огромных умственных, физических и душевных сил.  Хотя сама теорема «стоит на краю» математических исследований, особого применения не имеет, но все попытки  её доказательства дали ощутимый толчок развитию математики. Именно в этом и состоит её научная значимость. Романтические оптимисты верят в существование гениально простого доказательства  самого Ферма, основанного на элементарных методах 17 века, и не теряют надежды открыть его.

В результате проведённой работы расширился мой общий кругозор:

- я пополнила свои знания в области делимости чисел Малой теоремой Ферма, не изучаемой в школьном курсе;

- познакомилась с понятием сравнение по модулю, также не изучаемым в школьном курсе;

- узнала формулировку Большой теоремы Ферма и увлекательную историю её доказательства;

- изучила биографию уникального учёного Пьера де Ферма.

Библиографический список

1. Деревянкин А.В. Числа и многочлены. Методическая разработка для учащихся заочного отделения. М. 2008.- 10,17,19,20,23,28с.
2. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.:Просвещение,1981. – 11,73с.
3. Меркулов М.Ю.История доказательства Великой теоремы Ферма - CoolReferat.com›
4. Малая теорема Ферма - globuss24.ru›Разработки›malaa-teorema-ferma
5. Малая теорема Ферма. kvant.mccme.ru
6. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.:Педагогика,1985. -310,311с.
7. Самин Д.К. 100 великих учёных. kovalencko.ucoz.ru>Elektron_book
8. Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. – ega-math.narod.ru.
9. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. –М.:Наука, 1984.-142-144с.
10. wiki2.org›ru/Великая_теорема_Ферма