Научно-исследовательская работа "Применение признаков делимости"

Министерство образования и науки РБ Хоринский район

Центральный образовательный округ№1 МБОУ «Удинская СОШ»

Научно-практическая

конференция учащихся 4,5,6 классов

«Я-личность»

Номинация: Математика

Тема: «Признаки делимости и их применение»

                         Выполнила: Помазкина Виолетта 6 класс

       Руководитель: Максимова Н.Е.

Удинск.2018г.

Оглавление:

1.Введение…………………………………………………………………………………………2-3

2.Основная часть:2.1. Немного из  истории делимости………………………………………...3-9

                  2.2. Самостоятельный вывод признаков делимости натуральных чисел

 на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000;………………………………………………………………

                  2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37;..

                  2.4. Применение признаков:-в повседневной жизни;- решении олимпиадных задач;-  в математических фокусах;- решение задач ЕГЭ базового уровня…………………

   3.Заключение…………………………………………………………………………………….10

   4.Список используемой литературы…………………………………………………………………………………………10

   5.Приложения:1. Презентация на тему: «Признаки делимости»;

                 2.Буклет «Признаки делимости натуральных чисел».

Введение

       Для натуральных чисел деление нацело не всегда выполнимо, т. е. результат деления двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Узнать делится ли одно число на другое нацело, не выполняя деления, позволяют признаки делимости.

       На уроках математики мы изучали темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10», мне стало интересно, а нет ли еще каких-либо признаков делимости на другие числа?

     Цель:  Выяснить наличие других признаков делимости и рассмотреть их применение  

    Задачи: исследовать самостоятельно признаки делимости на числа от 2 до 30, классифицировать эти признаки;  научиться составлять признаки делимости на любые натуральные числа; рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач;

В ходе выполнения проекта я:

   -изучила историю вопроса;

-исследовала самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000;

 -изучила признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37;

-исследовала применение признаков:-в повседневной жизни;- решении олимпиадных задач;-  в математических фокусах;- решение задач ЕГЭ базового уровня

-составила презентацию на тему: «Признаки делимости»;

-составила брошюру «Признаки делимости натуральных чисел».

Основная часть

          2.1. Немного из  истории делимости. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, которые мы изучаем в школьном курсе математики, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры. В III веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен открыл способ составления списка простых   чисел. Его метод выделения простых чисел  назвали решетом Эратосфена.

          Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284: фигурных чисел (треугольное число, квадратное число) и др.

            Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским  математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

          Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662) - французский мыслитель, математик и физик, один из величайших ученых 17 столетия. Он сформулировал универсальный признак делимости, который носит его имя:

       Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

  2.2. Самостоятельный вывод признаков делимости 

 Выполняя действия с числами и подмечая закономерности, я сформулировала признаки делимости и из дополнительной литературы нашла подтверждение правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100,

     Признак делимости на 4:   Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы последние 2 его цифры образовывали число, делящееся на 4.  Например: число1836 делится на 4, так как число образованное двумя последними цифрами 36 делится на 4. Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями. Например: 5500

       Признак делимости на 6:  Число делится на 6 тогда и только тогда, когда разность между числом, образованным двумя последними цифрами, и удвоенным числом сотен делится на 6. Например, 138 делится на 6, так как 38 - 2·1 = 36 делится на 6.

     Признак делимости на 8:  Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число образованное тремя его последними цифрами делится на 8. Например, 67112 делится на 8, так как 112 делится на 8.

       Признак делимости на 25: Число делится на 25 тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25. Например, число 34650 делится на 25, т.к. 50 делит ся на 25.

  Признаки  делимости  на  125:    Число  делится  на  125 ,если  число,  образованное  его  последними  тремя  цифрами  делится  на  125

354 250 делится  на  125,  т.к.  250 : 125 = 2

   Признак делимости на 50. Натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …Если в конце натурального числа стоят столько же нулей, сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.

       Используя теорему о делимости произведения: Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число, можно составлять свои признаки делимости на любые натуральные числа.

Приведу примеры составления своих признаков делимости натуральных чисел по этой теореме.

       Так признак делимости на 6, составленный по этой теореме проще, чем рассмотренный выше.  Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Например, число 132 делится на 6, так как оно четное и делится на 2. И сумма цифр этого числа 1+3+2 = 6 делится на 3.

       Признак делимости на 12:  Число делится на 12  в том случае, если оно одновременно делится на 3 и на 4. Например, число 14616 делится на 3 и 4, а значит и на 12.

       Признак делимости на 14: Число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Например, число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

       Признак делимости на 15: Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3, (т.е. если число заканчивается 0 или 5, и сумма цифр этого числа делится на 3).

        Для того, чтобы число делилось на 16, нужно чтобы оно делилось на 2 и на 8. Число делится на 18, когда оно делится на 2 и на 9. Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная. Число делится на 22 тогда, когда оно делится на 2 и на 11.  Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.   Аналогично составляются признаки делимости на другие натуральные числа.

2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37;..

Я долго пыталась подметить закономерности и понять признаки делимости на 7, 11,13…, но не смогла. Пришлось изучить дополнительную литературу. В результате я узнала :

       Признаки делимости на 7: С помощью универсального признака делимости Паскаля, я смогла доказать делимость на 7.       Пример 1. Делится ли число 2814 на 7?

       Найдём остатки при делении разрядных единиц: 10, 100, 1000 на 7. 6 – остаток от деления 1000 на 7, 2 - остаток от деления 100 на 7, 3 - остаток от деления 10 на 7. 2814 делится на 7, т. к. 2·6 + 8·2 +1·3 +4 = 35,   35:7=5.

       Следовательно, признак делимости на 7 можно сформулировать следующим образом: чтобы проверить, делится ли число на 7, нужно найти остатки, полученные от деления разрядных единиц этого числа на число 7. Затем найти сумму произведений цифр заданного числа и соответствующих остатков. Если результат будет делиться на 7, то и само число будет делиться на 7. Существуют и другие  признаки

              2). Число делится на 7 тогда и только тогда, когда удвоенное число сотен, сложенное с числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 7. Например, 4690 делится на 7, так как на 7 делится 46·2 + 90 = 182, 182:7 = 26.

       3). Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — 2·4 = 28 делится на 7).

       4). Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15·3 + 4 = 49.

       5). число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится   = 294.

        Признаки делимости на 11:

       1). Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

       2). Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 85 + 37 + 10 = 132 и 32 + 1 = 33.

       Признаки делимости на 13:

1). Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например, 845 делится 13, так как на 13 делятся 84 + 5·4 = 104 и 10 + 4·4 = 26.

2). Число делится на 13, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13. Например, 858 делится на 13, так как на 13 делятся 85 - 9·8 = 13.

       Признаки делимости на 17:

1). Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как  делится на 17.

2). Число делится на 17 тогда, когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

       Признак делимости на 19:

       Число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся 64+2·6=76 и 7+2·6=19.

       Признаки делимости на 23:

1). Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся  288 + 3·42 = 414  и 4 + 3·14 = 46.

       Признак делимости на 29:

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как 26+3·1=29 делится на 29.

       Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

     1группа – когда делимость чисел определяется по последней цифре или группе цифр. Это признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 4, на 8, на 25.

    2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа. Это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 11.

    3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа. Это признаки делимости на 6, на 7, на 11, на 13, на 19, на 23, на 29.

    4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости. Это признаки делимости на 6, на 12, на 14, на15, на 16, на 18, на 22 и др.

      Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложноваты.  Может быть, поэтому они не изучаются в школе.

2.4. Применение признаков делимости чисел при решении задач

       Использование признаков делимости упрощает многие вычисления. Свойства делимости позволяют решать задачи на кратность. Неоценимо значение признаков делимости при решении практических задач, головоломок, фокусов.

При решении практических задач. Задача 1. Игорь решил сделать домашнее задание по математике с Колей и пошел к нему домой, зная, что Коля живет рядом в доме, в пятом подъезде и номер его квартиры 206. Подойдя к дому, Игорь обнаружил, что он девятиэтажный. На каком этаже живет Коля? (На всех этажах число квартир одинаковое, номера квартир в доме начинается с единицы).

Решение. Трехзначное число количество квартир авс ˃ 206.  авс :5 → с=0 или 5; :9 → (а+в+с):9. Если а=2 и с=0, то в=7(270делится на 9). Число 270:5 =54- количество квартир в подъезде, 54:9=6-количество квартир на каждом этаже, тогда 206-4•54=206-216<0. Не подходит.

Если с=5, то 225:5=45 – количество квартир в каждом подъезде. 45:9=5 – количество квартир на каждом этаже. 206 - 4∙45=206-180=26 → 26:5=5(остаток 1). Коля живет в 6 этаже. Ответ: 6

Задача 2. Семеро друзей было у Вани. Первый посещал его каждый вечер, второй-каждый второй вечер, третий-каждый третий вечер  итак до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер. Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у Вани в один и тот же вечер?   ( Задача решается с использованием признаков делимости на 2,3,4,5,6,7.)

 НОД (2,3,4,5,6,7)=420, т.е.1 раз в 420 дней

При решении олимпиадных задач. Задача3. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух

 Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь.

Ответ.  Только на 7.

При решении числовых головоломок.   Задача 4. Восстановить цифры числа 3**977*, зная, что оно без остатка делится на 792.

       Решение. Обозначим пропущенные цифры буквами a, b, с. Число 792 разложим на множители  792 = 8·9·11. Так как число  делится без остатка на 792, то оно должно делиться без остатка на 8, на 9 и на 11.По признаку делимости на 8, число, образованное тремя его последними цифрами делится на 8. Это возможно только в случае, когда с = 6  (776:8 = 97).

По признаку делимости на 11, число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. =  = .

То есть  делится на 11. Это возможно в случае, когда b – a = 0, т.е. a = b.По признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. Значит 3+a + a + 9+ 7+ 7 + 6 = 2a + 32 = 2(a + 16) делится на 9. Это возможно при a = 2.       Ответ: восстановленное число 3229776.

При  проведении фокусов. Задача5. Один человек записывает на листочке бумаги любое трехзначное число. Передает другому. Второй приписывает к этому числу справа такое же число и передает эту запись уже шестизначного числа третьему. Третий пусть разделит данное число на 7 и передаст четвертому. Четвертый разделит этот результат на 11 и передаст пятому. Пятый разделит результат на 13 и передаст первому. Если все вычисления были выполнены правильно, то первый получит трехзначное число, которое он первоначально написал на бумаге. В данном фокусе удивляет не то, что первый получает записанное им число, а то что «фокусник» уверен, что данное число делится на 7, 11, 13 – что бывает не так уж и часто. Разгадка в том, что приписывая к трехзначному числу точно такое же трехзначное число это равносильно умножению на 1001. А 1001 – число Шехерезады равно произведению 7, 11, 13.

При решении задач ЕГЭ базового уровня № 19 можно классифицировать по 4 видам:

Нахождение числа по данным об остатке и делителях Задача 6 . Найдите наименьшее трехзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 дает равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

Решение. abc → 6n+r=11m+r, abc˳→: 2 → c˳ - четное, b = (a + c) / 2. 3 → ( a+b+c˳):3, 11 → b=а+c˳ .

Число abc – наименьшее, тогда а=1; c˳=0 → b=а+c˳=1+0=1 → 1+1+0=2 - не подходит. При c˳=2 → b=а+c˳= 1+2=3→ 1+3+2=6 подойдет. 132 нацело делится на 2, 3, 11. Проводим подбор. Пусть остаток r=1, тогда 132+1=133. Проверим условие задачи 3=(1+3)/2 – не подходит. Проверяем r=2→ 134 не подойдет. Пусть r=3, тогда 132+3=135. Проверим условие задачи 3=(1+5)/2. Подходит. Ответ: 135

Нахождение числа вычеркиванием. Задача 7. Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Решение. 85417627 :18 2→ е-четное, вычеркнем 7; 9→ (a+b+c+d+е ): 9 → сумма цифр = (9 или 18 или 27)˂33, т.к. 8 + 5 + 4 + 1 + 7 + 6 + 2 = 33. 1) 33-27=6→ вычеркиваем цифры 4и2→85176 и вычеркиваем 5и1→ 84762. 2) 33-18=15→ вычеркиваем цифры8 и 7 →54162. 3) 33-9=24 не получается. Ответ: 85176 или 84762 или 54162.

Нахождение числа, зная сумму цифр. Задача8 . Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа А + 6 также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.

Решение. Заметим, что сумма цифр числа A + 6 должна отличаться от суммы цифр числа A на 12, 24, ... . аbc если c < 4, то a + b + c + 6 не подходит; если c ≥ 4 и b < 9, то a + b + 1 + c - 4 = a + b + c – 3 не подойдет; если c ≥ 4, b = 9, a < 9, то 9-(-3)=12 подойдет.

а+b+c = 24→ b =9 → а +c=24-9=15 → c = 4 и a = 11 и с=5 и а=10 - не подходят. c = 6 и a = 9 → 996; c = 7 и a = 8 → 897; c = 8 и a = 7 → 798; c = 9 и a = 6 → 699. Минимальным является 699. Проверим, 6 + 9 + 9 = 24, 24 / 12 = 2 → 699 + 6 = 705, 7 + 0 + 5 = 12, 12 / 12 = 1 Ответ: 699

Примеры задач на нахождение числа по кратности. Задача9 : Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.

 Решение. abcd :18 → d четное, но d≠0, т.к. a∙b∙c∙d=24. (a+b+c+d ): 9 по условию a•b•c•d =24. Число 24 разложим на простые множители 24=2∙2∙2∙3. Проверим делимость на 9: 2+2+2+3=9, делится нацело. Таким образом, число должно быть составлено из цифр: 2, 2, 2 и 3. Ответ: 3222, 2322, 2232.

    Заключение. Я провела исследование признаков делимости на числа от 2 до 30. В ходе выполнения работы я убедилась, что кроме признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10, изученных в школьном курсе математики, есть признаки делимости и на другие числа. Установила, что использование признаков делимости помогает развитию вычислительных навыков, используется в жизни при выполнении расчетов, при решении прикладных заданий.

   Знания и умения, приобретенные мной в ходе выполнения данной исследовательской работы, помогут мне при подготовке к экзаменам, математическим олимпиадам и конкурсам.

      Список литературы:

1. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991.
2. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. – М.: Айрис-пресс, 2005.
3. Фарков А.В. Математические кружки в школе. – М.: Айрис-пресс, 2005.
4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Триада- литера, 1994.
5. Энциклопедический словарь юного математика. Педагогика. 1989.