6 способов решения квадратных уравнений.

Слайд 1

МОУ гимназия №41 г.Люберцы МО Проектная работа на тему: « 6 способов решения квадратных уравнений» Автор проекта: Назин Николай, учащийся 9 «А» класса. Руководитель проекта: Еремина Надежда Александровна, преподаватель математики

Слайд 2

Добрый день! Сегодня я хотел бы немного рассказать о квадратном уравнении, его видах и способах решений. «Почему я выбрал такую тему?» – спросите вы. Все очень просто: я считаю ее очень интересной и актуальной для учеников 9-11 классов, так как задания на решения квадратных уравнений различного вида нередко встречаются в экзаменационных КИМах ОГЭ и ЕГЭ Таким образом, я могу выдвинуть цели своего проекта: 1)Понять сущность квадратного уравнения; 2)Изучить литературу ; 3)Разработать алгоритмы решения квадратных уравнений ; 4)Продемонстрировать их на примерах ; 5)Выпустить буклет, в котором будут оформлены все вышеперечисленные пункты.

Слайд 3

Итак, что же такое квадратное уравнение? Квадратное уравнение - алгебраическое уравнение общего вида ax² + bx+c =0 где Х — свободная переменная, а, b ‚с — коэффициенты, причём a ≠0 Выражение аx²+ bx + с называют квадратным трёхчленом. Корень — это значение переменной Х, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство. Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия: а называют первым или старшим коэффициентом, b называют вторым или коэффициентом при x , с называют свободным членом. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент а : x²+рх+q=0. p=b / a ; q=c / a Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным называется такое квадратное уравнение, в один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент , либо свободный член равен нулю.)

Слайд 4

Из истории квадратных уравнений Древний Вавилон Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решатьквадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись: x² + x=3/4; x²-x=14 . Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. Индия Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии « Ариабхаттиам », написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным, Брахмагуптой , было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: а x² + bx = с; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a « могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Слайд 5

Графический смысл a<0; b>0 a>0;b>0 Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение) Если коэффициент а положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент b положительный (при положительном а , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Слайд 6

6 способов решения квадратного уравнения 1 способ . Общая формула для вычисления корней Для нахождения корней квадратного уравнения а x² + bx + с =0 в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом: Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения : таковым для него называется выражение D= b ² -4ac . Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами. Предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем стандартный. Пример х ² -2х-3=0 a =1; b =-2; с=-3; D = (-2 ) ² -4 * 1 * (-3) = 16. D > 0 , значит уравнение имеет два корня. x1= (2+√16)/ ( 2 *1) x=-3 x2= (2-√16)/(2*1) x=-1 Условие D>0 D=0 D<0 Число действительных корней Два корня Два совпадающих корня(иными словами один корень Действительных корней нет Формула x=(-b±√D)/2a, D=b²-4ac X1=x2= -b/2a

Слайд 7

2 способ. Корни квадратного уравнения при четном коэффициенте b Для уравнения вида а x² + 2kx + с =0 , то есть при четном b , где k=b/2 вместо формулы для нахождения корней можно использовать более простые выражения . В таком случае корни уравнения будут находиться по формуле : Или, если подставить b и значение D/4 в формулу, получится : Пример : x²-2x-3=0 D/4=1+3=4 1+√4 x=3 1- √4 x=-1

Слайд 8

b=0, c=0 b=0, c ≠0 b ≠ 0, c=0 ax ²=0 x²=0 x=0 ax ²+c=0 ax²= -c x²= -c/a x=+-√( -с /a) ax ²+bx=0 x( ax+b )=0 x=0 или ax=b=0 x=0 x= - b/a 3 c пособ . Решение неполных квадратных уравнений. К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации. Пример : 5x²-3x=0 X(5x-3)=0; Приравняем каждый из множителей к нулю : x=0 или 5x-3=0 ; x=0 x=0,6 Ответ : 0 ; 0,6.

Слайд 9

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: Если в квадратном уравнении ax² + bx+c =0 сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту : а + с = b (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются — 1 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ( -с / а). Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом. Пример: 35 x ² +36х+1=0; 35+1=36; х 1 =-1 ; x2= -1/35 Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ( а+Ь+с= 0) то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (с /a) . Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все !данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма. Пример : 3 x²+2x-5=0 3+2=5 x1=1; x2= 4 способ. Использование частных соотношений коэффициентов Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Слайд 10

5 способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к достаточно громоздким вычислениям по формуле (1). Согласно обратной теореме, всякая пара чисел x 1 , x 2, будучи решением нижеприведенной системы уравнений, являются корнями уравнения x ² + px + q =0; Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом: 1)если свободный член отрицателен, то корни имеют различные знаки, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения; 2)если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента. Пример - 7 x ² +77х-210=0 Коэффициент при x ² не равен 1 т.е. уравнение не приведенное! 'Делим все на коэффициент при x ²(-7) Получим: х-11х+30=0. По теореме Виета: x1*x2=30 x1+x2=11 из этих уравнений находим корни: 5 и 6 .

Слайд 11

6 способ. Метод «переброски» Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем: 1 )умножаем обе части на выражение: а x² + b х+с=0| а (ах ) ² + b( ах)-ас=0; 2)вводим новую переменную y =ах : y² + b у+ас=0. Далее уравнение решают устно 5 способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений у1= ах1; и у2 = ах2 . Пример: Допустим, мы желаем решить с использованием обратной теоремы Виета уравнение 8 x² + 2 x —1 = 0 . Если мы попробуем разделить обе его части на 8, то получим приведённое уравнение с дробными коэффициентами , поэтому применить к нему теорему будет трудно. Однако воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами: ( 8 x)² +2х-1=0 | 8 Совершив замену переменной по формуле у=8х, придём к уравнению : y² +2у-8=0; Очевидно, что его корнями будут числа -4 и 2. Произведем обратную замену: 8 ( х ) : =-4; 8 (x 2 ) =2 x 1 = -0,5 x 2 =0,25

Слайд 12

Таким образом, мы рассмотрели 6 способов решения квадратного уравнения. Благодарю за внимание!