Нижегородская область

администрация Шатковского муниципального района

муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лесогорская средняя школа»

Творческая работа по математике

Решение одной задачи разными способами

                                                              2018г

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение……………………………………………………………………………3

I. Способы и методы рационального решения задач на смеси, растворы и сплавы

        1.1.Табличный способ решения задач.………………………………………...4

          1.2.Решение задач  «методом чаш»……………………………… ……………4

1.3. «Правило креста» или Конверт Пирсона»………………………………..4

         1.4.Решение задач «Методом рыбки»………………………………………..5

         1.5.Решение задач методом площадей равновеликих прямоугольников и подобия прямоугольных треугольников…………………………………………..5

     II.  Решение одной задачи разными способами

           2.1. 1-й способ: «метод чаш»………………………………………………….6

           2.2. 2-й способ:  табличный……………………………………………………6

          2.3. 3-й способ: метод площадей равновеликих прямоугольников………….6

          2.4. 4-й способ: через подобие прямоугольных треугольников……………...7

          2.5. 5-й способ: «конверт Пирсона»……………………………………………7

          2.6. 6-й способ: «метод рыбки»…………………………………………………7

    Заключение…………………………………………………………………………...9

    Список  литературы………………………………………………………………...10

                                                 Введение

ЗАДАЧИ НА СМЕСИ, РАСТВОРЫ И СПЛАВЫ

В данной работе я рассмотрел нестандартные, рациональные способы решения задач на смеси, сплавы и растворы, а также представил решение одной задачи разными способами.

Задачи с использованием таких понятий как концентрация, процентное содержание вещества в смеси, растворе и в сплаве часто включают в экзаменационные варианты ЕГЭ, в олимпиады по математике, физике и химии. В школьном курсе математики на решение задач отводится недостаточное количество времени. Увидев задачу на смеси, растворы и сплавы, многие сразу отказываются ее решать, считают их задачами повышенной сложности. Существуют разные способы, и методы решения задач на смеси, растворы и сплавы. В данной работе я хочу поделиться рациональными, нестандартными способами решения задач.

Цель работы: исследовать разные способы решения задач на смеси, растворы и сплавы и выявить рациональные способы.

Задачи:

1. познакомиться с литературой по данной теме;
2. научиться решать задачи на смеси, растворы и сплавы разными способами;
3. применить полученные знания при решении задач такого типа вариантов ЕГЭ.

Объект исследования: задачи на смеси, растворы и сплавы.

Предмет исследования: способы и методы решения задач.

Методы исследования: изучение литературы по теме исследования, сравнение, анализ, систематизация способов решения.

Глава 1. Способы и методы рационального решения задач на смеси, растворы и сплавы

1. Табличный способ решения задач

При решении задач рассматриваемого вида, удобно использовать таблицу, т.к. зрительное восприятие определённого расположения величин в таблице даёт дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её про- верки.

2. Решение задач «Методом чаш»

Метод состоит в следующем: необходимо изобразить каждый сплав (раствор, смесь) в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты. После заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1. Над каждым «маленьким» прямоугольником указываем соответствующие компоненты сплава (смеси, раствора).
2. Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание соответствующего компонента. Если сплав (смесь, раствор) состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
3. Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента). И учитывая, что масса сплава (раствора, смеси) нескольких веществ равна сумме масс компонентов, составляем уравнение.

1. «Правило креста» или «Конверт Пирсона»

«Конверт Пирсона» - это удобный и рациональный способ решения задач. Данный способ предложил английский математик, статистик, биолог и философ Карл Пирсон. Метод состоит в следующем: при расчетах записываем одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитаем по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

2. Решение задач «Методом рыбки»

Впервые в России такой способ решения задач был описан в арифметике 18 века, автором которой был замечательный русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий. При решении задач этим способом строится схема, похожая на рыбку, вот поэтому он так и называется. Метод состоит в следующем: друг под другом записываем содержания веществ имеющихся растворов (смесей, сплавов), слева от них и примерно посередине - содержание вещества в растворе (в смеси или в сплаве), который должен получиться после смешивания. Соединяем написанные числа прямыми. В каждой паре из большего числа вычитаем меньшее, и результат записываем в конце соответствующей прямой. Получаемые массовые доли показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы (смеси, сплавы). Записываем пропорцию и решаем её.

3. Решение задач методом площадей равновеликих прямоугольников и подобия прямоугольных треугольников

В тех задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, целесообразно для наглядности представлять такое произведение в виде площади прямоугольника. Для решения задач необходимо построить диаграмму по заданному условию. В горизонтальном направлении откладываем массу сплава (раствора, смеси), а в вертикальном — концентрацию сплава (раствора, смеси) или число долей вещества в сплаве. Получаем равновеликие прямоугольники, составляем уравнение, приравняв их площади [3].

Глава 2. Решение одной задачи разными способами

Задача. Для приготовления торта «Воздушный» маме требуется 10 г 40% раствора лимонной кислоты. Какова масса 20% и 70% растворов лимонной кислоты, которые она смешала, чтобы получить раствор нужной концентрации?

1-й способ:

Решение: «метод чаш»

Масса лимонной кислоты в нужном растворе равна сумме масс лимонной кислоты в исходных растворах. Составляем уравнение и решаем его:

0,2х + 0,7(10 – х) = 0,4·10; 0,2х + 7 – 0,7х = 4; 0,5х = 3; х = 6 (г) – масса 20%

раствора; 1) 10 – 6 = 4 (г) – масса 70% раствора.

Ответ: 6 грамм 20% раствора и 4 грамма 70% раствора.

2-й способ:

Решение: табличный способ

Масса лимонной кислоты в новом растворе равна сумме масс лимонной кислоты в исходных растворах. Составляем уравнение и решаем его:

0,2х + 0,7(10 – х) = 0,4·10; 0,2х + 7 – 0,7х = 4; 0,5х = 3; х = 6 (г) – масса 20%

раствора; 1) 10 – 6 = 4 (г) – масса 70% раствора.

Ответ: 6 грамм 20% раствора и 4 грамма 70% раствора.

3-й способ:

Решение: метод площадей равновеликих прямоугольников

Прямоугольники с площадями S1 и S2 равновелики. Составляем уравнение по площадям прямоугольников: (70 – 40)х = (40 – 20)(10 – х) ; 30х = 20(10 – х); 3х = 20 - 2х; 5х = 20;

х = 4(г) - масса 70% раствора;

1)10 – 4 = 6(г) - масса 20% раствора

Ответ: 6 грамм 20% раствора и 4 грамма 70% раствора.

4-й способ:

Решение: через подобие прямоугольных треугольников

Прямоугольные треугольники подобны. Запишем равенство отношений соот

ветствующих сторон, подставив значения70−20=  10    ; 50 = 10  ;    5  =10

; 5х = 20

40−20        х          20        х        2          х

; х = 4; 1) 10 – 4 = 6(г) - масса 20% раствора.

Ответ: 6 грамм 20% раствора и 4 грамма 70% раствора.

5-й способ:

Решение: «конверт Пирсона»

Отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей лимонной кислоты во втором и в новом растворах к разности соответствующих величин в новом растворе и в первом. Составляем

уравнение и решаем его:        х

= 30;        х

= 3; 2х = 30 – 3х; 5х = 30; х = 6 (г) – масса

10−х        20  10−х        2

20%        раствора;        1)        10        –        6        =        4        (г)        –        масса        70%        раствора.

Ответ:        6        грамм        20%        раствора        и        4        грамма        70%        раствора.

6-й способ:

Решение: «метод рыбки»

Решение: составляем пропорцию и решаем её        х

= 30 ;        х

=  3; 2х = 30-3х;

10−х        20        10−х        2

5х = 30; х = 6(г) - масса 20% раствора; 1) 10 – 6 = 4(г) - масса 70% раствора.

Ответ: 6 грамм 20% раствора и 4 грамма 70% раствора.

Заключение

Я рассмотрел разные способы решения задач на смеси, растворы и сплавы, научился решать задачи всеми способами. Составил презентацию по всем способам решения задачи. В процессе решения задач выяснил, что таблицы, схемы, рисунки позволяют точнее, быстрее и проще составлять уравнения и системы уравнений к задачам, при этом вычислительный процесс не столь сложен.

Работа имеет практическое значение, так как может служить пособием при подготовке к итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов.

Большая часть учащихся 9 - 11 классов испытывает затруднения при решении задач на смеси, растворы и сплавы. Мало кто знает рациональные и нестандартные способы решения подобных задач и поэтому при решении таких задач на ЕГЭ и ОГЭ выпускники могут потерять «драгоценное» для себя время и баллы.

Список литературы

1. Мальцев, Д.А., Мальцев, А.А., Мальцева, Л.И., Каибханова, С.З. и др. Математика 9 класс. Итоговая аттестация 2012. Предпрофильная подготовка: учебно-методическое пособие / под ред. Д.А. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: НИИ школьных технологий, 2012. – 208 с.
2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://reshuege.ru.
3. Решение задач с помощью двумерных диаграмм. Занятие элективного курса по математике 9 класс. Учитель математики Фролова А.Х. 2011-2012 учебный год. Тема: «Решение задач с помощью двумерных диаграмм» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://litcey.ru/ matematika/49222/index.html.
4. Сборник практико-ориентированных задач по теме «Рациональные способы решения задач на смеси, растворы и сплавы» (наша публикация) [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://nsportal.ru/ap/ap/nauchno-tekhnicheskoe- tvorchestvo/sbornik-praktiko-orientirovannykh-zadach-po-teme.
5. Семенов, А.В. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие / А.В.Семенов, А.С. Трепа- лин, И.В. Ященко, П.И. Захаров; под. ред. И.В. Ященко; Московский центр не- прерывного математического образования. – 2-е изд., доп. – М.: Интеллект- Центр, 2012. – 112 с.
6. Шевкин, А.В. Текстовые задачи. Пособие для учащихся. – М.: Просвеще- ние, 1997. – 112 с.: ил.