Великие математики мира. Георг Пик

Нижегородская область

администрация Шатковского муниципального района

муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лесогорская средняя школа»

Творческая работа по математике

Великие математики мира.

                                                    2017г

СОДЕРЖАНИЕ.

I. Введение…………………………………………………………………….3

II. Биография

        2.1.Учеба ……………………………………………………………………4

          2.2.Преподавательская деятельность……………………………… ……..4

2.3. Работы…………………………………………………………………..5

         2.4. Последние годы жизни……………………………………………….5

III. Формула Пика ………………………………………………………………...5

IV. Нахождение площади многоугольника по формуле Пика……......6

V. Теорема Пика на детских рисунках………………………………………......9

VI.Заключение…………………………………………………………………...10

VII. Список используемой литературы………………………………………...10

I. Введение

        Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения  каких-либо задач.

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при решении задач по теме «Площади многоугольников» встал вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебнике геометрии. Это  задачи на клетчатой бумаге.  У меня возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Такие задачи  есть в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ, я решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я  приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Поэтому, проведя исследования, я выяснил, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.

II. Из биографии. Георг Александр Пик (10 августа 1859 — 13    июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.

2.1. Учеба.

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов» . В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом.

2.2. Преподавательская деятельность.

В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.

В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге.

Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

2.3. Работы.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных  уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

2.4. Последние годы жизни.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году после аншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того, в 1928 году, Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии.
13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

III. Формула Пика.

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна  

В  +  Г/2  - 1  

                                                                                                                               
В — количество целочисленных точек внутри многоугольника ;                           Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника .

Получаем,  S=28+20/2-1=37 кв.ед.

III.Нахождение площади многоугольника по формуле Пика

Вычислим площадь многоугольников, данных в условиях задач из предыдущего пункта, используя формулу Пика, и проверим, всегда ли она применима при решении подобных задач.

1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 12, В = 4,  S = В + Г/2 – 1 = 4 + 12/2 – 1 = 9

  Ответ: 9.

2.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 10, В = 5, S = В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9

   Ответ: 9.

3.Найдите площадь треугольника ABC.            

 Г = 7,  В = 5,  S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5

  Ответ: 7,5.

4. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 6, В = 8, S = В + Г/2 – 1 = 8 + 6/2 – 1 = 10

Ответ: 10.

5.Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 4, В = 7, S= В + Г/2 – 1 = 7+4/2-1 = 8    

   Ответ: 8.

6.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

 Г= 10, В= 5,  S= В + Г/2 – 1= 5 + 10/2 – 1= 9  

  Ответ: 9.

7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г= 4, В= 7, S = В + Г/2 – 1=7 + 4/2 – 1= 8

  Ответ: 8.

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6

    Ответ: 6.

IV.Теорема Пика на детских рисунках.

V. Заключение

         В процессе исследования я изучил справочную, научно-популярную литературу. Узнал, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

        В результате моей  работы я расширил свои  знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.  

Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.  Рассмотренные  задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришёл к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны.

VII. Литература

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематические этюды.etudes.ru