"Нестандартные олимпиадные задачи"

Слайд 1

Сборник нестандартных олимпиадных задач по алгебре Автор: Крестьянникова Эльвира ученица 8 класса «МОУ Едогонская СОШ»

Слайд 2

Содержание Предисловие___________________________ 1 Глава 1.Задачи на числа.__________________ 3 Глава 2. Комбинаторика ______________________ 6 Глава 3 . Задачи на проценты _________________ 9 Глава 4. Задачи на работу (конкретная и совместная) _________ 12 Глава 5. Задачи на движение_________________ 15 Глава 6. Задачи на круги Эйлера ____________ 19 Глава 7. Задачи на спички __________________ 22 Глава 8. Логические задачи __________________ 25 Литература __________________28

Слайд 3

Предисловие Не мыслям надобно учить, а учить мыслить . Э.Кант Математика – это инструмент для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений. К тому же воспитание интереса школьников к математике, развитие их математических способностей невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических фокусов, числовых головоломок, арифметических ребусов и лабиринтов, дидактических игр, загадок и т. п. Сборник нестандартных задач содействует развитию у детей математического мышления: краткости речи, умелому использованию символики, правильному применению математической терминологии, умению отвлекаться от всех качественных сторон предметов и явлений, сосредотачивая внимание только на количественных, умению делать доступные выводы и обобщения, обосновывать свои мысли. 1

Слайд 4

Задачи подобраны таким образом, чтобы можно было провести качественную подготовительную работу к олимпиадам различного уровня. Кроме того, индивидуально-дифференцированный подход с использованием предлагаемых заданий позволит решить очень важную психологическую проблему – воспитание у ребёнка уверенности в себе, в своих силах. Регулярная, систематическая работа в рамках дополнительного образования направлена на развитие сложного психического процесса – мышления, а именно на овладение школьниками навыками аналитической и проблемно-поисковой деятельности. 2

Слайд 5

Глава 1. Задачи на числа. 1. К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 15. РЕШЕНИЕ: Поскольку оно делится на 15, значит, последняя цифра должна быть 5 или 0. (чтобы делилось на 5). Теперь нужно сделать так, чтобы оно делилось еще и на 3. Если последняя цифра 5, то такие числа 1155, 4155, 7155. Если последняя цифра 0, то такие числа 0150(возможно, это число и не подходит, т. к. 0 не может быть первой цифрой) , 3150, 6150, 9150 ОТВЕТ : 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150. 2 . Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось 2011533. Как её зовут ? ОТВЕТ: Таня. 3. Решите числовой ребус. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным- разные. а) ку- простое ; б) ку- составное. РЕШЕНИЕ: а) к=8 у=2 3

Слайд 6

8*2*82=1312- если ку простое. б) к=5 у=2 5*2*52=520 – если ку составное . ОТВЕТ: а) 1312; б) 520 4. Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24? ОТВЕТ: Нет. Например, число 12 не делится на 24. 5. Решите числовой ребус: + Т И Р Т И Р К О Р Т Решение: Т ≥ 5 , т.к. Т последняя цифра суммы двух одинаковых слагаемых. Значит, Т= 6 или 8 Если Т=8, то + 8 И Р 8 И Р К О Р 8 Пусть Р=4 и отсюда следует, что И=2; О=6; К=1: + 8 2 4 8 2 4 1 6 4 8 ОТВЕТ: 824+824= 1648 4

Слайд 7

6. Я задумала число, прибавила к нему 5, потом разделила сумму на 3, умножила на 4,отняла 6, разделила на 7 и получила число 2. Какое число я задумала? РЕШЕНИЕ: Начнём с конца. 1) 2*7=14- это число до деления на 7. 2) (14+6) :4=5 – это число до умножения на 4. 3) 5*3= 15 – это число до деления на 3. 4) 15-5= 10 – задуманное число. ОТВЕТ: задуманное число 10. 7. Три друга сделали по одному заявлению про целое число x . Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить почему другие варианты ответа невозможны. РЕШЕНИЕ: Число х должно быть больше 4, но и меньше 9, иначе все мальчики солгали. Значит, для числа х подходят числа: 5, 6, 7, 8. Если х=5, то правду сказал Петя. Если х=8, то правду сказал Вася. Если х=7, то все трое сказали правду. Но, если х=6, то правду сказали только Петя и Толя. ОТВЕТ : х=6 5

Слайд 8

Глава 2. Комбинаторика. 8. Есть три шарика – красный, синий и зеленый. Сколькими способами можно эти шарики выложить в ряд? РЕШЕНИЕ: К. С. З. С З З К С К З С К З К С ОТВЕТ: шары можно разложить 6 способами. 9 . В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем ? РЕШЕНИЕ : 6

Слайд 9

1 ч 5 ч 2 ч 3 ч 1 1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 4 ч 5*3= 15 (сп.) ОТВЕТ: 15 способами можно купить чашку с блюдцем. 10. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране? РЕШЕНИЕ: Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа: 20*19 = 380. Но, при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды, т.е. число авиалиний равно 380:2 = 190. ОТВЕТ: в стране 190 авиалиний. 7

Слайд 10

11. В 8 классе в пятницу 4 урока: русский язык, алгебра, физика, химия. Сколькими способами можно разложить эти уроки на расписание пятницы? РЕШЕНИЕ: Нужно сделать все возможные перестановки из 4. Перестановка Вычисляется по формуле: Pn=n! Р4=4!=1*2*3*4=24 (сп.) ОТВЕТ: 24 способа. 12. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причём каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире? РЕШЕНИЕ: Каждый из 15 шахматистов сыграл 14 партий. В каждой партии участвуют два шахматиста. 15*14:2= 105 (п.) ОТВЕТ : 105 партий. 13. Для подарков первоклассникам закупили книги пяти разных авторов и сувениры шести разных видов. Сколько различных подарков можно составить, если в каждый должна входить одна книга и один сувенир? РЕШЕНИЕ : 5*6= 30 (п.) ОТВЕТ : 30 подарков. 8

Слайд 11

Глава 3. Задачи на проценты 14. Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 130%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 320000 рублей ? РЕШЕНИЕ: Через год банк должен начислить на счет вкладчика 130% от суммы 320000 рублей, то есть 1,3*320000= 416000 рублей, так что на счете будет находиться 320000+ 416000 =736000 рублей. Ответ: 736000 рублей. 15. В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация полученного раствора ? РЕШЕНИЕ : 1) 200+50=250 (г) – масса полученного раствора. 2) Составим пропорцию: 250 г. – 100% 50 г. – Х% Х= 50*100 / 250= 20% ОТВЕТ: 20% 9

Слайд 12

16. Клиент открыл счёт в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 рублей, то через год получил бы доход 220 рублей. Какая сумма была внесена им в банк? Х руб. – сумма, которую клиент внёс в банк. Х+800 руб. – было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб. 11%= 0.11 0.11(х+800) – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы. Составим уравнение: 0.11(х+800)=220 0.11х= 220-(800*0.1) х= 132 (руб.) ОТВЕТ: 132 руб. 17. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе ? РЕШЕНИЕ : Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. 14/30*100 % = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47 %. ОТВЕТ: 47% девочек в классе. 10

Слайд 13

18. После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 рубля. Сколько книга стоила до повышения? РЕШЕНИЕ: х руб. – стоила книга. 52 руб. – стала стоить книга. Х руб. – 100% 52 руб. – 130% Составим пропорцию: х 100% 130% 52*100 х= 130 = = 40 (руб.) ОТВЕТ: 40 рублей стоила книга. 19. Цена товара повысилась на 40%, а затем ещё повысилась на 10%. На сколько % повысилась цена товара? РЕШЕНИЕ: Начальная цена товара- 100%. 1 повышение - 100%+40%= 140% 2 повышение – 140*0,1(10%) = 14% Общее повышение- 40% + 14% = 54% ОТВЕТ : на 54% 11

Слайд 14

Глава 4. Задачи на работу (конкретная и совместная). 20. Мальчик пошёл с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах забирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него закончились. Сколько раз он попал? РЕШЕНИЕ: Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющих пуль у него оставалось прежним, т.к. одну он использовал и одну получал от отца. Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющих пуль уменьшалось на 2, т.к. одну он использовал и одну забирал отец. За 55 выстрелов мальчик промахнулся: 10:2=5 раз, а попал: 55-5=50 раз . ОТВЕТ : 50 раз. 21. Мастер производил на 5 изделий в час больше, чем его ученик. За 2 часа совместной работы они произвели 58 изделий . Сколько изделий за семичасовую смену произведет каждый из них ? РЕШЕНИЕ: 12

Слайд 15

Ученик изготовил за 1 час-х изделий за два часа-2х, тогда рабочий за два часа изготовит 2 * ( х+5), а вместе 58 изделий. Составим уравнение: 2 х+2 * (х+5) = 58 2 х+2 х+10=58 2 х+2 х=58-10 4 х=48 х=12 -изделий изготовит ученик за 1 час. 12+5=17 -изделий изготовит рабочий за 1 час. 12*7=84 -изделий изготовит ученик за 7 часов. 17*7=119 -рабочий за 7 часов. ОТВЕТ : 84 и 119 изделий изготовили ученик и рабочий. 22. По плану слесарю необходимо сделать 120 гаек за 5 часов. Но он в час делал на 8 деталей больше нормы. Сколько гаек слесарь изготовил за это время ? РЕШЕНИЕ : Вычислим сколько гаек в час должен был изготавливать слесарь по плану: 120:5 = 24 гайки . Вычислим сколько гаек изготавливал слесарь в час : 24 + 8 = 32 гайки . Вычислим сколько гаек изготовил слесарь за всё время: 32 * 5 = 160 гаек . ОТВЕТ: 160 гаек. 13

Слайд 16

23. 10 грузчиков на разгрузке мешков проработали до обеда 4 часа, причем дважды из них разгружал по 15 мешков за час. После обеда пришло еще столько же грузчиков. Сколько еще времени понадобится для ящиков, если всего было 1800 мешков ? РЕШЕНИЕ : 1)10 * (15*4) = 600 (ящ.)- разгрузили 10 грузчиков. 2)10*2=20 (гр.)-грузчиков стало после перерыва. 3)1800-600=1200 (м.)-надо разгрузить. 4)1200:20=60 (м.)-разгрузит один. 5)60:15=4 (ч.)- понадобится времени. ОТВЕТ : 4 часа. 24. Автомобильный завод должен был выпустить по плану 48000 автомобилей, причем на один легковой автомобиль по плану приходилось 3 грузовика. Завод перевыполнил план по легковым машинам на 600 машин, а по грузовым — на 1200. Сколько тех и других машин выпустил завод? РЕШЕНИЕ: 1 ) 48000:(3+1)=12000 групп, в каждой из которых 3 грузовика и 1 легковой автомобиль. 2)3*12000=36000 план по грузовикам. 3)1*12000=12000 или 48000-36000=12000 план по легковым автомобилям. 4)36000+1200=37200 выпустили грузовых машин. 5)12000+600=12600 выпустили легковых машин. ОТВЕТ : 37200 и 12600. 14

Слайд 17

Глава 5. Задачи на движение. 25. Вика плывёт со скоростью 4 км / ч. Если скорость течения равна 1 км / ч. , то ей требуется 1 час, чтобы плыть к месту и вернуться обратно. Найдите расстояние до этого места. РЕШЕНИЕ : х км – расстояние Скорость Вики по течению: 4+1=5 км / ч. Скорость Вики против течения: 4-1=3 км / ч. х /5+ x/3=1 , т.к. S:V=t Составим уравнение: 3х+5х=15 8х=15 х=15:8 х= 1,875 (км) ОТВЕТ: 1,875 км. 26. Пароход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч. РЕШЕНИЕ: X - V парохода . x+6,5 - V по течению реки, а x-6,5 - V против течения реки. 33/x+6,5- t по течению 4/x-6,5 - t против течения 15

Слайд 18

33/(x+6,5)+4/(x-6,5)=1 33*(x-6,5)+4(x+6,5)=(x+6,5)(x-6,5) 33x+4x-33*6,5+4*6,5=x^2-6,5^2 37x-208=x^2-42,25 x^2-37x+165,65=0 x=(37+-√37^2-4*165,25)/2=(37+27)/2=32 км/ч . ОТВЕТ: 32 км / ч. 27. Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с. и затратил 25 с. , чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м. РЕШЕНИЕ: Для проезда мимо платформы поезду потребовалось: 25-7=18 (с.) V п.= 378:18=21 (м / с) Длина поезда: 21*7-147 (м ) ОТВЕТ : 21м / с , 147 м. 28. Максимальная скорость советского истребителя военного времени "ЯК-3"720 км/ч , немецкого истребителя "Мессершмидт МЕ 109" на 120 км/ч меньше скорости"як-3" и на 30 км/ч больше скорости другого истребителя "Фокке-Вульф FW 190-А". Найдите скорость немецких истребителей и сравните их со скоростью "ЯК-3". РЕШЕНИЕ : 16

Слайд 19

1) 720-120=600 (км / ч) – скорость «Мессершмидт Ме 109» 2) 600-30=570 (км / ч)- скорость «Мессершмидт Ме 109» 3) 720:600=1,2 (р.) 4) 720:570=1,3 (р .) ОТВЕТ: скорость "ЯК-3« в 1,2 р. Больше скорости "Мессершмидта МЕ 109" и в 1,3 р. больше скорости "Фокке-Вульфа FW 190-А ». 29. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах . РЕШЕНИЕ : 65 +35 =100 (км/ч) =100000 (м/ч) х (м) – длина скорого поезда S =(х+700) м, t = 36 с.= 36/60 мин.=36/ 3600 ч.=0,01ч. v =100 000 м/ч., S= v*t х +700 =100 000 × 0,01, х +700 =1000, х =300 . ОТВЕТ: 300 м. 17

Слайд 20

30. Тоша в 7 часов утра отплыл от пристани «Веселые собачки» на плоту вниз по течению реки. Через 8 часов Филя отплыл от этой же пристани на моторной лодке со скоростью 25 км/час и через два часа догнал Тошу. Найти скорость течения реки . РЕШЕНИЕ: S = v · t 1) 25*2 = 50 (км) – проплыл Филя до встречи с Тошей. 2) 8 + 2 = 10 (ч) – плыл Тоша, пока его не догнал Филя. V = S:t 3) 50 :10 = 5 ( км/ч.) – скорость, с которой плыл Тоша на плоту. Это и есть скорость течения реки (собственная скорость плота равна нулю ). ОТВЕТ : 5 км / ч. – скорость течения реки. 31. Из двух городов, расстояние между которыми 66 км, навстречу друг другу в 8 ч утра выехали два мотоциклиста . Они встретились в 11 ч дня. С какой скоростью двигался первый, если скорость второго мотоциклиста - 12 км/ч ? РЕШЕНИЕ: 1) ( 11-8) * 12км/ч=36 (км) -проехал 2 мотоциклист. 2) 66-36=30 (км) - проехал 1 мотоциклист. 3) 30:3 = 10 (км/ч.) - скорость 1 мотоциклиста. ОТВЕТ: 10 км / ч. – скорость 1 мотоциклиста. 18

Слайд 21

Глава 6. Задачи на круги Эйлера. 32. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие – нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг ? РЕШЕНИЕ: Обратимся к кругам Эйлера: Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2, так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг. ОТВЕТ : 9 подруг. 3 4 2 19

Слайд 22

33. В классе 35 учеников. 20 из них занимается в математическом кружке, 11 — в биологическом, а 10 ничем не занимается. Сколько ребят занимается и математикой, и биологией? М Б М Б 10 РЕШЕНИЕ : 1) 35-10=25 (уч.)- посещают кружки. 2) 25-20=5 (уч.)- не посещают математический кружок. 3) 11-5=6 (уч.) – биологов и математиков. ОТВЕТ: 6 учеников, которые занимаются и математикой, и биологией. 20

Слайд 23

34. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий и 83 — французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки? 100 Ф- 83 ? Н- 75 РЕШЕНИЕ: 1) 100-10=90(ч )-знают один из языков. 2) 90-83=7(ч)- знают только немецкий. 3) 75-7=68(ч)-знают немецкий и французский. ОТВЕТ: 68 человек знают и немецкий, и французский. 21

Слайд 24

Глава 7. Задачи на спички. 35. Как из 8 спичек сложить 3 квадрата? Спички ломать нельзя. РЕШЕНИЕ: 36. На рисунке из спичек выложено неверное равенство: 7+3=21. Переложите 2 спички так, чтобы равенство стало верным. 22

Слайд 25

РЕШЕНИЕ: 37. Из спичек построен дом. Переложить 2 спички так, чтобы дом повернулся другой стороной. 23

Слайд 26

РЕШЕНИЕ: 38. Переложите 3 спички, чтобы стрела поменяла своё направление на противоположное. РЕШЕНИЕ: 24

Слайд 27

Глава 8. Логические задачи. 39. Книга в переплёте стоит 2р 50коп. Книга на 2 рубля дороже переплёта . Сколько стоит переплёт ? РЕШЕНИЕ: 2руб 50 коп=250 коп . 2руб=200коп. 1) 250-200=50(коп.) стоили бы книга и переплет, если бы у них была одна цена, как у переплета . 2 ) 50:2=25 ( коп.)- цена переплета . ОТВЕТ: 25 копеек цена переплёта. 40. На покупку 8 воздушных шариков у Тани не хватило 2-ух рублей. Если она купит 5 шариков, то у неё останется 10 рублей. Сколько денег у Тани? РЕШЕНИЕ : х руб. – стоит один шарик. 8х руб. – стоят 8 шариков. 5х руб. – стоят 5 шариков. Зная, что для покупки 8 шариков не хватает 2 руб, а после покупки 5 шариков останется 10 руб, составляем уравнение: 8х-2=5х+10 8х-5х=10+2 3х=12 х=4 руб - стоит 1 шарик. 4*5+10=30 руб - было у Тани. ОТВЕТ: 30 руб. 25

Слайд 28

41. Можно ли вы записать число 1000 при помощи только восьми восьмёрок и арифметических знаков суммы? РЕШЕНИЕ: 888+88+8+8+8=1000 ОТВЕТ: можно. 42. Как вы думаете, какой знак следует поставить между 0 и 1, чтобы было получено число больше 0, но меньше 1? РЕШЕНИЕ : Этот знак является запятой. Т. е. 0,1. Это число больше 0, но меньше 1. 43. Три друга - Алёша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один - на трамвае, один - на троллейбусе. Однажды после уроков Алёша пошёл проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: " Боря, ты забыл в школе тетрадь!" Кто из друзей на чем ездит домой ? РЕШЕНИЕ : Если Алёша провожал друга до остановки, значит он не ехал на автобусе, когда из троллейбуса крикнули Боре, значит что Алёша так же не ехал на троллейбусе. Значит Алёша ездит домой на трамвае. Из троллейбуса крикнули Боре, значит Боря не е здит на троллейбусе и трамвае, так как на трамвае ездит Алёша , значит Боря ездит на автобусе, а Витя ездит на троллейбусе. 26

Слайд 29

ОТВЕТ: Алёша ездит на трамвае, Боря на автобусе, а Витя на троллейбусе. 44. Три купчихи –Сосипатра Титовна, Олимпиада Карловна и Полистена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карловна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек чая. ПолистенаУваровна и Олимпиада Карловна – 15 чашек, а Сосипатра Титовна и ПолистенаУваровна – 14 чашек. Сколько всего чашек чая было выпито ? РЕШЕНИЕ: Сосипатра Титовна - С Олимпиада Карповна - О Поликсена Уваровна - П О+С=11 П+О=15 С+П=14 Чашка, выпитая каждой купчихой, учитывалась дважды - один раз как выпитая с одной подругой, второй - с другой. Составим уравнение: 2О+2П+2С=11+15+14 2*(О+П+С)=40 О+П+С=40:2=20 (ч.) - выпили все трое вместе. ОТВЕТ: 20 чашек чая. 45. Чертим окружность. На столе лежит линейка, карандаш, циркуль и резинка. На листе бумаги нужно начертить окружность. С чего начать? ОТВЕТ: надо достать лист бумаги. 27

Слайд 30

Литература. [ 1 ] Горбачёв, Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике [ Текст ]/ Н.В. Горбачёв.- М.: МЦМНО, 2004.-560 с. [ 2 ] Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.. Математика. Районные олимпиады. – М.: Просвещение, 2010. [ 3 ] Бабинская И.Л., Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975г. [ 4 ] Шевкин А.В., Школьная олимпиада по математике.– М.: Русское слово, 2002г. [ 5 ] Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре [ Текст ] : Учеб. Пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.- М.: Просвещение, 2001.-271 с. [ 6 ] Научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР . [ 7 ] Методы решения школьных олимпиадных задач по математике: Учебное пособие / Е . С. Лапшина, Н. Н. Штыков.-Иркутск: Изд-во ФГБОУ ВПО «ВСГАО», 2013.- 256 с. 28

Слайд 31

Крестьянникова Эльвира Михайловна ученица 8 класса МОУ Едогонская СОШ. Сборник нестандартных олимпиадных задач по алгебре 2018-2019 г.

Слайд 1

Творческий проект по алгебре на тему: «Нестандартные олимпиадные задачи» Автор :Крестьянникова Эльвира ученица 8 класса «МОУ Едогонская СОШ». Учитель-куратор : Кирильчик Евгений Олегович. Учитель: алгебры и геометрии. 2018-2019 год

Слайд 2

Цель работы: Создать сборник нестандартных олимпиадных задач по математике. Задачи: Расширить и углубить теоретические знания по данной теме; Ознакомиться с понятием «нестандартная задача» и изучить методы решения олимпиадных нестандартных задач. Рассмотреть структуру процесса решения задач; Изучить методы решения олимпиадных нестандартных задач; Выявить различные подходы к решению нестандартных олимпиадных задач по математике.

Слайд 3

Актуальность : Нестандартные задачи способствуют повышению мотивации к изучению математики ; Нестандартные задачи развивают мышление; Формируют умения в решении задач; Изучение данной темы помогает подготовиться к олимпиадам, контрольным работам и ЕГЭ. Проблема исследования: Проблема заключается в подходах к решению нестандартных олимпиадных задач по математике.

Слайд 4

Объект исследования: Некоторые виды нестандартных олимпиадных задач по математике. ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Способы решения нестандартных олимпиадных задач по математике. ГИПОТЕЗА: Решение нескольких олимпиадных нестандартных задач позволит сделать вывод о едином подходе к их решению или его отсутствию.

Слайд 5

Методы исследования: Поиск информации с использованием учебной и научной литературы; Практический метод решения задач; Исследовательский метод решения задач; Анализ полученных результатов.

Слайд 6

Что же такое нестандартная задача? Е. Н. Турецкий сказал: «Нестандартные задачи - это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих их решение». А Ю. М. Колягин сказал: «Нестандартная задача – это задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение»

Слайд 7

Виды нестандартных задач: 1. Задачи на проценты; 2. Задачи на числа; 3. Задачи на работу: 3.1 совместная 3.2 конкретная 4. Задачи на движение: 4.1 водные 4.2 сухопутные 4.3 воздушные 4.4 навстречу друг другу 5. Задачи на круги Эйлера; 6. Задачи на комбинаторику 7. Задачи на спички и т. д.

Слайд 8

Структура процесса решения задач: 1-й этап: Анализ 2-й этап: Схематическая запись 3-й этап: Поиск способа решения 4-й этап: Осуществление решения 5-й этап : Соотнесение ответа с условием задачи 6-й этап: Формулировка ответа

Слайд 9

Задача 1 Мальчик пошёл с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах забирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него закончились. Сколько раз он попал? Решение: Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющих пуль у него оставалось прежним, т.к. одну он использовал и одну получал от отца. Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющих пуль уменьшалось на 2, т.к. одну он использовал и одну забирал отец. За 55 выстрелов мальчик промахнулся: 10:2=5 раз, а попал: 55-5=50 раз. Ответ: 50 раз.

Слайд 10

Задача 2 Клиент открыл счет в банке на небольшую сумму денег. Годовой доход по вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк? Решение: х-небольшая сумма денег, внесенная первоначально 0,11х-годовой доход на сумму (х+0,11х)= 1,11х- вклад через год с учетом процентов (1,11х+800) -стал бы вклад после того, как клиент добавил бы 800 (р.) (1,11х+800)* 0,11- доход через год на последнюю сумму. (1,11х+800)*0,11=220 0,1221х+88=220 0,1221х=220-88 0,1221х=132 х=132:0,1221 х=1081 ( р.)- первоначальная сумма Ответ: 1081 р. первоначальная сумма.

Слайд 11

Задача 3 Три друга сделали по одному заявлению про целое число x . Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить почему другие варианты ответа невозможны. Решение: Число х должно быть больше 4, но и меньше 9, иначе все мальчики солгали. Значит, для числа х подходят числа: 5, 6, 7, 8. Если х=5, то правду сказал Петя. Если х=8, то правду сказал Вася. Если х=7, то все трое сказали правду. Но, если х=6, то правду сказали только Петя и Толя. Ответ: число х=6.

Слайд 12

Задача 4 Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник ? Решение: x -пенал y -ластик z -карандаш k -тетрадь 1) x + y =40 2) y +с=12 3) а+ z +2* k =50- из 1 и 2 следует: 4) x + z =28 из 3 и 4 следует: 5) 2* k =22 k =11 сложим 1 и 4 6)2* x + y + z =68 7) x + k =28+11=39 Ответ: 39 руб.

Слайд 13

Задача 5 По двум параллельным железнодорожным путям друг другу навстречу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах . Решение: 65 +35 =100 (км/ч) =100000 (м/ч ) х (м) – длина скорого поезда S =(х+700) м, t = 36 с.= 36/60 мин.=36/ 3600 ч.=0,01ч. v =100 000 м/ч., S= v*t х +700 =100 000 × 0,01, х +700 =1000, х =300. Ответ : 300м.

Слайд 14

Задача 6 В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причём каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире? Решение: Каждый из 15 шахматистов сыграл 14 партий. В каждой партии участвуют два шахматиста. 15*14:2= 105 (п.) ОТВЕТ: 105 партий.

Слайд 15

Задача 7 В классе 35 учеников. 20 из них занимается в математическом кружке, 11 — в биологическом, а 10 ничем не занимается. Сколько ребят занимается и математикой, и биологией? М Б м б 10 20 11 Решение: 1) 35-10=25 (уч.)- посещают кружки. 2) 25-20=5 (уч.)- не посещают математический кружок. 3) 11-5=6 (уч.) – биологов и математиков . ОТВЕТ: 6 учеников, которые занимаются и математикой, и биологией.

Слайд 16

Задача 8 Как из 13 спичек сложить метр, если длина одной спички 5 см? Решение : https:// im0-tub-ru.yandex.net/i?id=ce6e816c976e5daae3438af205b60b42-sr&n=13 Ответ : из 13 спичек нужно составить слово «метр».

Слайд 17

Вывод по проектной работе: Мне понравилось работать с таким видом задач. Решать такие задачи оказалось непросто, ведь нужно найти особый подход. Каждая задача в решении уникальна и общих подходов к решению нестандартных олимпиадных задач нет. Приведённая мной гипотеза была подтверждена. При решении нестандартных олимпиадных задач я сделала вывод что, эти задачи не имеют единого подхода к их решению.

Слайд 18

Список литературы: Сборник «Нестандартные задачи из запасников математических олимпиад» автор Толпыго А.К.; Сборник олимпиадных задач по математике Горбачёв Н.В. ; Сборник нестандартных задач по математике. Авторы Черепанова Л.Д.; Шашлова Н.И.; Шекер Г.В. Научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР; https://studwood.ru/1069154/pedagogika/nestandartnye_zadachi_vidy

Слайд 19

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!