Старинные приемы умножения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Табатская средняя общеобразовательная школа»

Секция: Математика

Старинные приемы умножения

Автор:

Баузер Юлия Анатольевна, 6 класс

Руководитель:

Чекурина Кристина Петровна,

учитель физики, математики

Табат, 2019

“Счёт и вычисления – основа порядка в голове”. 
Песталоцци

Содержание

1. История счета
2. Старинный способ умножение на 9 на пальцах
3. Умножение методом Ферроля
4. Японский способ умножения
5. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)
6. Русский способ умножения
7. Индийский способ умножения

Актуальность использования приемов быстрого счета

Основополагающим элементом вычислительной культуры являются сознательные и прочные вычислительные навыки. Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для всего школьного курса математики, начиная с начальных классов, и требует не простого овладения вычислительными навыками, а использования их в различных ситуациях. Владение вычислительными умениями и навыками имеет большое значение для усвоения изучаемого материала, позволяет воспитывать ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду. Однако, в последнее время уровень вычислительных навыков, преобразований выражений имеет ярко выраженную тенденцию к снижению, учащиеся допускают массу ошибок при подсчетах, все чаще используют калькулятор, не мыслят рационально, что отрицательно сказывается на качестве обучения и уровне математических знаний учащихся в целом. Одной из составляющих вычислительной культуры является устный счёт, который имеет большое значение. Умение быстро и правильно произвести несложные вычисления “в уме” необходимо для каждого человека.

В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Поэтому цель  моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта.

Задачи:

• Познакомиться со старинными приемами умножения.
• Расширить знания по различным приемам умножения.
• Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения.

1. История счета

Картина Н.П. Богданова – Бельского «Устный счет». (1985г)

История математики – это история открытий и совершенствования алгоритмов решения различных задач. Среди них вычислительные алгоритмы имеют древнюю и необычайно богатую историю. В истории вычислительной техники можно условно выделить следующие этапы:

Домеханический (ручной) - с древних, древних времен до н.э.

Механический - с середины XVII-го века н.э.

Электро-механический - с 90-х годов XIX-го века

Электронный  - с 40-х годов XX-го века

Эти периоды включают всю эволюцию вычислений человечества, начиная от счета на пальцах и до вычислений на современных сверхмощных компьютерах. Первые устройства для счета существовали еще до нашей эры. В те времена люди считали, используя пальцы рук, которые и были счетными приборами. Именно пальцы и были первоосновой двоичной системы счета. Количество пальцев на руках человека стало основой позиционной системы счисления, ставшей, в конце концов, общепризнанной.

Домеханический период

 Пальцы человека были не только первым счетным прибором, но и первой вычислительной машиной. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях играли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи в полнее хватало. Однако фиксация результатов счета производилась различными способами: нанесение насечек, счетные палочки, узелки и др. Например, у народов доколумбовой Америки был весьма развит узелковый счет. Более того, система узелков выполняла также роль хранения и летописи, имея достаточно сложную структуру. Однако использование ее требовало хорошей тренировки памяти.

К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития. Известные средневековые математики рекомендовали в качестве вспомогательного средства именно пальцевой счет, допускающий довольно эффективные системы счета.

Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.

Несмотря на то, что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного "пять", у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения.

 У итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный - цифру 2; когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний - 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.

В древнерусской нумерации единицы назывались "перстами", десятки - "суставами", а все остальные числа - "сочислениями". Счет парами вплоть до середины XVIII века всегда занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: "два сапога - пара", "двугривенный" и т.д.

Четверичная ситема счета основана на "перстах" руки, не считая большого пальца. Большой - вовсе не "перст", он "палесъ"! - в этой системе счисления означал конец счета, то есть являлся эквивалентом нуля.

Счет восьмерками также основан на пальцевом счете и, по сути, является сочетанием двоичной и четверичной систем. Элементы восьмеричной системы существовали на Руси еще в начале XX столетия. Это и восьмиконечный крест, который использовали староверы, и восьмиголосное церковное пение, и название русской питейной меры - "осьмушки", получаемой в результате последовательного троекратного деления пополам. В русской народной метрологии - это вообще деление какой-либо учетной нераздельной меры (например, куска пахотной земли, сажени или ведра вина) на части, соответствующие 1/2,1/4 и 1/8 долям.

Пальцевой счет девятками является, пожалуй, самым распространенным русским народным способом умножения на пальцах с помощью, так называемых девятериц - своеобразной таблицы умножения, обозначающей девятилетние сроки человеческой жизни. Наши предки в древности какое-то время считали девятками (впрочем, похоже, что они все-таки считали восьмерками, а с девяти начинался уже новый отрезок счета). С тех пор прошло не менее семи - девяти столетий, но мы до сих пор трепещем перед грозным "девятым валом" или устраиваем поминки по усопшему на девятый день после кончины.

Счет десятками возник около 3-2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте. Претерпев небольшие изменения, древнеегипетская десятеричная система сначала обосновалась на Востоке (в Индии примерно к VI веку нашей эры, более известная как индийский счет), а затем через весьма активную торговлю в XI-XIII веках достигла пределов Древней Руси. От Орды Русь переняла десятичную систему счисления для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с десятеричной системой счисления через арабов только в XIII веке, а усвоила ее и того позже. Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы.

В Древней Руси (особенно в Новгородской республике XII-XV веков) был широко распространен счет, основанный на счислении числа фаланг на руке "счетовода". Счет начинался с верхней фаланги "перстка" (мизинца) левой руки, а заканчивался нижней фалангой ("низ перста") указательного пальца. Большой, или "палесъ великий", левой руки при этом последовательно осуществлял "подсчет" суставов на растопыренной пятерне. Досчитав до двенадцати, "счетовод" обращался к своей правой руке и загибал на ней один палец. Так продолжалось до тех пор, пока все пальцы правой руки не оказывались сжатыми в кулак (поскольку число фаланг на четырех пальцах было равно 12, получалось 12 пятерок, то есть 60). Кулак в данном случае символизировал пятерку дюжин, то есть "шестьдесят".

Счет сороками (или "сороковицами") имел преимущественное распространение в Древней Руси. Число 40 (четыре десятка) долгое время называли "четыредцать" или "четыредесят". Но восемьсот лет тому назад для обозначения этого множества на святой и православной Руси впервые появилось название "сорок". До сих пор ученые спорят, откуда взялось это слово. Одни полагают, что его истоки находятся в греческом названии числа 40 - "тессаконта", другие утверждают, что оно появилось, когда Русь платила дань "сороковинами" (ежегодная ордынская подать, равная сороковой части наличного имущества). Третья группа исследователей убеждена, что это слово произошло от так называемых меховых денег и названия "сорочка ". Поэтому наши предки, например, на Русском Севере считали "сорока ми", а их собратья - сибирские звероловы вели счет "сорочками", то есть мешками для пушнины, в которых хранились звериные шкуры (преимущественно по 40 штук беличьих шкурок или по 40 собольих хвостов, шедших в XVI веке на пошив одной боярской шубы, именовавшейся "сорочкой").

О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для российского охотника, убить паука - означало избавиться от сорока грехов и т.д.

Все то - количество, которое превышало некое множество (например, "сорок"), превосходящее всякое воображение ("сорок сороков") и не умещавшееся в голове российского землепашца из-за своей ничем не ограниченной величины, называлось одним словом - "тьма".

 Более сложные вычисления понадобились в 5 веке до н.э. тогда, когда стала развиваться торговля. С началом торговых отношений произошел следующий прорыв.

Долгое время считалось, что русские счеты ведут свое происхождение от китайского суаньпаня. Старинные китайские счеты СУАНЬ-ПАНЬ - одна из разновидностей абака, так называемой доски, разделенной на полосы, где передвигались камешки или кости, служившая для арифметических вычислений с древнейших времен до 18 века. Подобные вычислительные инструменты распространялись и развивались по всему миру. Родоночальником их был абак. К его потомкам числился так же и выше упомянутый суаньпань Со временем были созданы тысячи разновидностей абака, изготовленные из разных металлов.

 Механический период

Теперь от домеханического периода в истории вычислительной техники перейдем к механическому периоду. Основной прорыв в счете начался в 17 веке – начало эры науки. Ученые сменили торговцев и начали изобретать новые вычислительные механизмы. Важным прорывом стало создание логарифмов и счетных палочек Джоном Непером. Позднее на смену ручному счету приходит более удобный. В 1642 г. француз Блез Паскаль (1623-1662), в дальнейшем великий математик и физик, в возрасте 19-и лет создал первую счетную машину.

 Машина Паскаля работала по следующему принципу: при полном повороте колеса меньшего разряда механизм поворачивает колесо большего разряда на единицу. Так же и на счетах: когда младший разряд косточек заполнен, тогда добавляется косточка к старшему разряду.

Принцип связанных колес, заложенный Паскалем, почти на 3 столетия стал основой для создания последующих модификаций вычислительных устройств. В 1673 г. великий математик Готфрид Лейбниц, развив идею Паскаля, создал механический арифмометр, на котором можно было выполнять все четыре арифметические операции с многозначными числами.

В 1880 г. русский изобретатель В.Т.Однер создал арифмометр с зубчаткой с переменным количеством зубцов. Более того, в 1890 г. он наладил массовый выпуск арифмометров, нашедших применение во всем мире.

Прародителями этих счетных устройств были простые механические часы. Зубчатое колесо помогло автоматизировать некоторые процессы. Наиболее сложные арифмометры могли уже извлекать из чисел квадратный корень. В начале 19 века арифмометр превращается в предмет массового спроса. Но все эти изобретения могли производить только один набор действий.

Электро-механический период

 В прошлом для математических вычислений использовались абаки, счёты, математические таблицы, механические или электромеханические арифмометры. Но человек издавна стремился облегчить свою жизнь. Необходимость проведения массовых расчетов (экономика, статистика, управление и планирование, и др.) и развитие прикладной электротехники, позволили создавать «умные» механизмы и электромеханические вычислительные устройства. Расчеты были необходимы повсюду: когда требовалось построить дом, создать новое оружие или инструменты. Наконец, математические расчеты постоянно требовались для развития науки.

Спустя немного времени Жозеф-Мари Жаккар (752 - 1834) создает первый механизм, управляемый программой – ткацкий станок, работающий по установленному алгоритму. Изобретение Жаккард  представляет весьма остроумный механизм: по разнообразию и безошибочности своего действия он может быть приравнен к движениям отлично дрессированного животного. Для получения узорной ткани недостаточно опускать попеременно все четные или все нечетные нити основы, чтобы пропускать в образующийся "зев" челнок с уточною нитью, а необходимо опускать только некоторые из них, в определенном порядке, различном для всех нитей утка, составляющих заданный узор. Каждая нить основы проходить в ткацком стане через особое колечко-нитяницу, соединенное у Жаккард  с особым вертикальным стержнем. Все они расположены довольно тесно, рядами, и на их верхние концы нажимается кусок картона с дырочками, соответствующими стержням, долженствующим остаться в покое. Необходимое для узора число таких картонов соединено в непрерывную цепь, а простой механизм перекладывает их автоматически после каждого прохода челнока. Принцип станка Жаккард  применен во многих аппаратах, напр., в аристофоне, механическом тапере, одном из телеграфов Витстона и т. п.

 Работы Жаккарда продолжил Герман Холлерит (1860-1929). Герман Холлерит вошел в историю как создатель электрической табулирующей системы. Он придумал машину, которая работала не с цифрами, а с зашифрованными данными.

Следующим скачком, приближающим нас к современному компьютеру, стало изобретение Конрадом Цузе своего первого образца автоматической «оперативной памяти» по принципу движущихся металлических стержней. Поэтому его изобретение могло хранить в памяти итоги промежуточных расчетов. Но по вполне не понятным причинам, доделать свое изобретение до совершенства он не смог.

Электронный период

 Группа изобретателей в 1943 году (ее возглавили Преспер Эккерт и Джон Мочли) начала разрабатывать другое изобретение, которое стало первым компьютером. Это был знаменитый ENIAC – первая вычислительная машина, в основе которой была работа электронных ламп.

Это представитель первого поколения компьютеров. Вычислительная машина занимала 300 кв. метров в помещении и работала, не выключаясь всего пару десятков минут, потому что лампы все время перегорали и машина останавливалась. Жизнь изобретения была не долгой, и оно устарело к 1949 году. Эстафету этого прибора перехватил компьютер EDSAC, который мог хранить в памяти программу. Уже через два года UNIVAC создали первый компьютер, имеющий оперативную память, которая сохраняла информацию на магнитной ленте. В одно время с ним появилось и новый гаджет – принтер, используемый для вывода информации.

В 1950 – 1952 гг. начинается эра компьютерных разработок. В лаборатории киевского института создают необычный компьютер - малая и большая электронно–счетная машина. В тот период времени это были самые мощные компьютеры.

А в 1948 году было изобретено устройство, сделавшее настоящий переворот и ставшее сердцем всех компьютеров – транзистор.Он вытеснил ламповый механизм, дал начало современным процессорам. С его изобретением габариты компьютеров сильно уменьшились. На его основе фирма Bell Laboratories выпускает компьютер второго поколения.

Но эволюция на этом не остановилась и в 1958 году создается новый элемент, который объединил в себе несколько транзисторов – интегральные схемы. Их появление зародило новые вычислительные технологии – компьютеры третьего поколения. Они были способны производить до 300 млн. операций за секунду. Для этих компьютеров и выпускались первые виды операционных систем.

Переломным моментом стало изобретение микросхем и создание на их основе супербыстрого и очень маленького «мозга» компьютера — процессора. Так, в 1970-х годах началась эра персональных компьютеров (ПК, по-английски: PC), которые сегодня широко используются на различных предприятиях и дома. Одной из первых ПК стала выпускать американская фирма IBM (Ай-Би-Эм). Машины IBM собирались по принципу детского конструктора, т.е. из готовых блоков. Сегодня такой принцип сборки ПК стал стандартным.

Весной 2005 года количество проданных в мире персональных компьютеров, начиная с середины 70-х годов, когда эти устройства появились на рынке, достигло миллиарда. Четверть из них покупали для дома, три четверти — для учреждений.

2. Старинный способ умножение на 9 на пальцах

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9 x 3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9 x 3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7).

Ответ:  27 [1].

3. Умножение методом Ферроля

Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20 [2].

Например: 12х14=168

а) 2х4=8, пишем 8

б) 1х4+2х1=6, пишем 6

в) 1х1=1, пишем 1.

4. Японский способ умножения

Такой прием напоминает умножение столбиком, но проводится довольно долго.

Использование приема. Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:

Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)

• Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)
• А эти линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии) [3].

Теперь нужно сосчитать пересечения линий на всех четырех концах следующим способом:

(пересечения на рисунке указаны точками)

Количество пересечений:

• Верхний левый край: 2
• Нижний левый край: 6
• Верхний правый: 4
• Нижний правый: 12

1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа

2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа

3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.

Получается: 2; 10; 12.

Т.к. два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.

3(2+1)1(0+1)2

Ответ: 312

5. Итальянский способ умножения (“Сеткой”)

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Использование приема:

Например, умножим 6827 на 345.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

т.е.            6*3 = 18. Записываем 1 и 8

т               8*3 = 24. Записываем 2 и 4

Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

(Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Ответ: 2355315.

6. Русский способ умножения

Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2-4 века назад, а разработан был еще в глубокой древности. Суть этого способа та:“На сколько мы делим первый множитель, на столько умножаем второй”.Вот пример: Нам нужно 32 умножить на 13. Вот как бы решили этот пример 3-4 века назад наши предки:

• 32 * 13 (32 делим на 2, а 13 умножаем на 2)
• 16 * 26 (16 делим на 2, а 26 умножаем на 2)
• 8 * 52 (и т.д.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение [4], [5].

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочки указывают, что данную строку надо зачеркнуть):

• 19*17
• 9*34
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

17 + 34 + 272 = 323

Ответ: 323

7. Индийский способ умножения

Такой способ умножения использовали в Древней Индии.

Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:

• Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.
• Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения [6].

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).

Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ: 72956.

Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.

Заключение

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую - ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - “Всё есть число!”.

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

“Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели”.(А.Маркушевич)

Литература

1. https://pikabu.ru/story/9_legkikh_matematicheskikh_tryukov_973721
2. https://multiurok.ru/files/starinnye-sposoby-slozheniia.html
3. https://www.liveinternet.ru/users/4332544/post442354481/
4. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5-6 кл./ О.С.Шейнина, Г.М. Соловьева – М.: Изд-во НЦЭНАС, 2007. – 208 с.
5. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
6. Минских Е. М. “От игры к знаниям”, М., “Просвещение” 1982г.