Исследовательская работа ученика 8 класса на тему "Формула Пика"

Введение

Многие ученики сталкиваются с задачами на нахождение площади треугольника, параллелограмма, многоугольника и других геометрических фигур по рисунку на клетчатой бумаге. Применяя правила и теоремы из геометрии, ученик может запутаться или забыть, да и к тому же уходит много времени на дополнительное построение, а в условиях экзамена дорога каждая минута. Чтобы не тратить много усилий, времени и не вспоминать  впопыхах теоремы, аксиомы, правила, существует теорема Пика, с помощью которой можно без проблем и траты времени вычислить площадь фигуры, расположенной на клетчатой бумаге.    

Увидев  такие задачи в контрольно–измерительных материалах ОГЭ и  ЕГЭ, решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Так и была определена тема для исследования.

Теорема  Пика актуальна для всех школьников, сдающих экзамены. Поэтому её  нужно знать, чтобы быстро и правильно решать задачи на нахождение площади.
  Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге.

  Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

  Методы исследования: Сравнение, моделирование, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов.

Цель исследования:  Проверить формулу Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии.

Цитата : Рано или поздно всякая правильная   математическая идея находит

применение в том или ином деле.                    (А.Н. Крылов)

А кто же такой Пик?

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942)

австрийский математик, родился в еврейской семье.

Круг математических интересов  Пика был чрезвычайно широк. Им написаны  работы в области математического  анализа, дифференциальной  геометрии, в теории дифференциальных уравнений  и т. д., всего  более  50 тем.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Существует несколько способов вычисления площади  многоугольника на клетчатой бумаге:

1. Применение формул планиметрии;
2. Разбиение  фигуры на более простые фигуры или достроение фигуры до прямоугольника;
3. Формула Пика.

       Все пособия по подготовке к ГИА, диагностические работы, а также демонстрационные варианты, содержат задания на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

      Большинство таких заданий можно быстро выполнить, применив лишь формулы для вычисления площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и трапеции. В этих задачах указан масштаб - размер одной клетки равен 1 см, соответственно, площадь одной клетки равна 1 см2. Поэтому требование дать ответ в квадратных сантиметрах равносильно требованию дать ответ в клеточках.

      Вопрос только в том, насколько эффективно мы сможем распорядиться своим экзаменационным временем.

Способ 1.  Применение формул планиметрии

Например, для треугольника, параллелограмма или трапеции во многих случаях   достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон. Выбирать в качестве стороны и   высоты нужно те отрезки, длины которых выражаются целым числом делений сетки.

Задание B3 (№ 27556)

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Ѕ=   Ответ.

В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов следует использовать теорему Пифагора

Способ 2

Ряд задач можно решить,   разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или, заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.

Прототип задания B3 (№ 254009) Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: достраиваю фигуру до прямоугольника и выделю прямоугольные треугольники.

Найду площади каждого треугольника (S1 и S2) и прямоугольника (S3).

S1 = 1*4  / 2 = 2 кв.см.

S2= 4*4 / 2 = 8 кв.см.

S3= 6*4 = 24 кв.см.

S = S3 – ( S1 + S2) = 24 – (8 + 2) = 14 кв.см.

И третий способ - использование формулы Пика. Когда я первый раз столкнулся с этой формулой, мне показалось, что легче этого ну разве что таблица умножения.

• Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).
•       Линии, идущие по сторонам клеток, образуют на нём сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки.
• Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с нулевой площадью. Обозначим его площадь через S, количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника – через В; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника – через Г.
• Тогда справедлива формула  S=В+Г:2–1, которую открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 году.

S  = В + Г:2 –1

Г   (точки на узлах)            В    (точки внутри фигуры)

Найдём площадь  вот такого  многоугольника по формуле Пика:

В = 24 (красные точки);

Г = 8 (синие точки).

Получаем,

S = 24 + 8 : 2 - 1  = 27 кв.ед.

Очень заинтересовал этот метод и попробовал решить и вот такое задание!

Задача: Вычислить площадь звезды (рис. 1)

Решение:

1 способ:

Используя формулы для вычисления площади прямоугольника и площади треугольника, вычислю площади фигур 1-16.

 кв.ед.;   кв.ед.;  кв.ед. ; кв.ед. ;  кв.ед.;

S6= 13,5 кв.ед.;S7 = 9  кв.ед.; S8 = 9  кв.ед.; S9 = 18  кв.ед.; S10 = 12,5 кв.ед.; S11 = 16 кв.ед.; S12 = 8 кв.ед.; S13 = 26  кв.ед.; S14 = 2  кв.ед.; S15 = 13,5 кв.ед.;  S16 = 4,5 кв.ед.

Площадь большого прямоугольника равна S1=16∙18=288 кв. ед.

Найду сумму площадей  S1 + S2 +…+S16 =185,5 кв.ед.

Следовательно, площадь многоугольника равна S=288-185,5=102,5 кв.ед.

2 способ: С помощью формулы Пика

1. Сосчитаю количество внутренних узлов. В=88 (красные точки рис. 5).
2. Сосчитаю граничные узлы. Г=31

(чёрные точки рис. 5).

3. Применю формулу Пика.

S=88+31:2-1 = 88+15,5-1=102,5(кв.ед)      

   Ответ: 102,5 кв.ед.

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Эта  формула для вычисления площади многоугольников, полезна при решении заданий  ЕГЭ и ОГЭ.

Например  Задания  из ЕГЭ   и ОГЭ

Основной вывод: Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

1.Для вычисления площади  многоугольника, нужно знать всего одну формулу:  S = В + Г/2  - 1

2.Формула Пика очень проста для запоминания.

3.Формула Пика очень удобна и проста в применении.

4.Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой  формы.

Заключение: При выполнении работы были решены  задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

4)Формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольников. Но и она имеет свои недостатки:

•  Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов);
•  Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге;

Способы вычисления площадей многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика позволяет успешному изучению геометрии в старших классах. Данная работа может быть полезна для учащихся при подготовке к итоговой аттестации.

И  под конец  Меня очень заинтересовало и я решил  узнать: какими способами вычисляли площадь мои одноклассники. В нашем классе никто не знал формулы Пика. Также это задание мы решили дать учащимся 9-го и 11-го классов. Вот что получилось.

Данные с таблицы, говорят, что Формулой Пика не пользуются учащиеся