Магические квадраты

МАОУ средняя «Школа № 81»

Нижегородского района г.Н.Новгорода

Научное общество учащихся

Исследовательская работа по теме «Магические квадраты»

Выполнил: Шахматов Никита

ученик 7 Б класса.

Преподаватель: Наталья Викторовна

2019 год

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение……………………………………………………............…….2

2.Цели и задачи исследования.....................................................................3

3.История появления магических квадратов….……………………........4

4.Магические квадраты 3*3……………………………………….............5

5.Виды магических квадратов………………………………………........6-7

6.Количество решений магических квадратов……………………….......8

7.Методы заполнения магических квадратов…………………..…..........8

8.Вывод…………………………………………………………...................9

9.Список литературы и Интернет-ресурсов………………………..........10

1

1.Введение

    Магические (волшебные) квадраты — квадратные таблицы размером n x n,

заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на  обеих диагоналях одинакова. Магический квадрат называется         ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2+1.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой:

M(n)=(n(n2 + 1))/2

M(n)=(3(32 + 1))/2

M(n)=(3 x 10)/2

M(n)=30/2=15

2

2.Цели и задачи исследования

Цель: изучение магических квадратов, их видов и способов их заполнения.

Задачи:

• познакомиться с историей происхождения магических квадратов;
• узнать виды магических квадратов и способы их заполнения; 
• выявить области применения магических квадратов.

3

3.История появления магических квадратов

Магический квадрат, пожалуй, является одной из самых интересных головоломок.  А произошёл он от  двух китайских легенд.

Первый вариант  гласит:

"Император династии Ся прогуливался по берегу Хуанхэ, когда увидел черепаху. Ее панцирь был разделен на девять частей, и на каждой были точечки. Посмотрев на эти точки, император обнаружил, что, как ни складывай их - вертикально, горизонтально или по диагонали, - сумма всегда получается одна и та же. Позднее его назвали Ло Шу.

Второй вариант легенды:

 Как гласит древнее китайское предание, некогда из бурной воды реки Ло на берег выползла гигантская черепаха. Это не такое уж редкое событие могло бы остаться незамеченным, но черепаха оказалась обладательницей необычного панциря, на котором были ясно видны девять цифр, расположенные в виде квадрата три на три. Так боги преподнесли людям ценнейший и удивительный дар, который и был назван магическим квадратом Ло Шу.

Если соединить линиями цифры от 1 до 9  получается символ "печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом «Девяти императоров», считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти.

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

4

4.Магические квадраты 3*3

Самый маленький квадрат — квадрат 3 порядка. Магических квадратов 2*2 не существует, т.к. квадрат с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магическим, нужно составить 6 комбинаций (слева направо, начиная от верхнего левого квадратика, сверху вниз, справа на лево, снизу вверх и о двум диагоналям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3) из этого следует, что такой квадрат составить нереально.  Поэтому считается, что квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат будет образован перемещением строк или столбцов, поворотом на 90 или 180. 

5

5.Виды магических квадратов

Нормальный - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2

Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется.

Aссоциативный, или симметричный, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2

Пандиагональный (дьявольский) - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата.

6

Идеальный  - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный.

Бимагический - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов 3, 4, 5 порядка не существует.

Нетрадиционный - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел.

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2, …, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу.

7

6.Количество решений магических квадратов

Я установил, что с увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например:

для 3 порядка – единственный;

для 4 - 880;

для 5 - около к четверти миллиона.

7.Решение магических квадратов

Рассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9.  

Его сумма равняется 15. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого нового квадрата. Переносим ее в наш квадрат и ставим в правом нижнем углу. Число 3 также ставим справа по диагонали вверх - и там опять нет ячейки, при помощи воображаемого квадрата узнаем, что его место в середине левого столбца. Число 4 ставим по такому же принципу, но эта ячейка занята единицей - в этом случае ставим ее прямо под цифрой 3. Число 5 по диагонали вверх и вправо от 4 оказывается в самом центре, а число 6 в верхнем правом углу. Число 7 при помощи воображения должно было оказаться в левом нижнем углу. Но там уже стоит 4, поэтому ставим ее прямо под числом 6. Число 8 оказывается при помощи воображаемого квадрата в левом верхнем углу, а число 9 в оставшейся ячейке в середине правого столбца.

Общий алгоритм таков: ставим следующее число справа вверху по диагонали, если нет места - применяем воображаемый квадрат, а если ячейка занята, то ставим число прямо под предыдущим.

8

8.Вывод

1.Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

2.МК является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.

3.Существует много видов МК.

9

9.Список литературы и Интернет-ресурсов

1.https://ru.wikipedia.org/wiki/Магический_квадрат

2.https://ru.wikihow.com/решить-магический-квадрат

10