Исследовательская работа

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Кемеровский государственный университет»

Институт профессиональной ориентации

VIII Областная научно-практическая конференция «Диалог»

математика

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

                  Автор: Рыбинская Алина

Витальевна

Класс: 5

МБОУ «Гимназия№41

Город: Кемерово

                Научный  руководитель:  

 Ломонова Ольга Александровна,

учитель математики,                                                                                

        МБОУ «Гимназия№41»    

КЕМЕРОВО 2019

Содержание

Введение………………………………………………………………………3

Историческая справка  .…………………………………………………...4-5

Признаки делимости ………………………………………………………5-6

Признаки делимости на 2…………………………………..…………6

Признаки делимости на 3……………………………………………..6

Признаки делимости на 4……………………………………………..6

Признаки делимости на 5……………………………………………..6

Признаки делимости на 6………………………………………...…...6

Признаки делимости на 7……………………………………………..6

     Признаки делимости на 8……………………………………………..7

Признаки делимости на 9……………………………………………..7

Признаки делимости на 10……………………………………………7

          Признаки делимости на 11……………………………………………7

Признаки делимости на 12……………………………………………..8

Признаки делимости на 13……………………………………...………8

          Признаки делимости на 14……………………………………………..8

Признаки делимости на 15…………………………………………......8

Признаки делимости на 19………………………………………..........9

          Признаки делимости на 25………………………………………...……9

         Признаки делимости на 50…………………………………………….9

         Применение признаков делимости натуральных чисел

          при решении задач…………………………………………………10-12

Заключение……………………………………………………………………..13 Список используемой литературы ………………………………………...14

Введение

Изучая  на уроках математики тему «Делимость чисел», мы познакомились с признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, узнали, какие числа являются простыми и составными. У нас возникли вопросы: «А существуют ли признаки делимости на другие числа?».  Так появилась идея начать работу над учебным проектом «Признаки делимости». Было предположено, что  если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки,  по которым можно определить делимость и на другие числа. 

    Цель  исследовательской работы – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким расчетам и вычислениям.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: 

1)  Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и  обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать  вывод.

Гипотеза: Мы предполагаем, что  если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки,  по которым можно определить делимость и на другие числа. 

    Предмет исследования: Признаки делимости.

    Методы исследования:

1. Изучение литературы и электронных источников.
2. Систематизация и обобщение полученной информации.
3. Применение изученной теории при решении проблемных задач.

Работа имеет практическое применение. Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Историческая справка

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. Над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа от 1 до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес  Блез Паскаль (1623-1662г.г.).  Ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
          При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

           Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. Умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время. 

            Какие-то из них более легкие изучают  в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический.

            Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.

Признаки делимости

Признак делимости на 2.

           Итак, самый простой и часто применяемый из них.  Проверка, делится ли число на 2, не требует никаких вычислений: либо оно четное и делится на 2, либо нечетное и не делится на 2.

Признак делимости на 3.

         Если же решение задач по алгебре требует установить делимость числа на 3, то придется выполнить простейшие вычисления, а именно сложить все цифры числа и, если полученный результат делится на 3, то и само число делится на 3.                                                                                                         Например, число 528 на 3 делится, так как 5 + 2 + 8 = 15, а 15 на 3 делится без остатка.

Признак делимости на 4.

             Следующий признак – деление на 4. Здесь стоит обратить внимание на последние две цифры – если образуемое ими число делится на 4, то и все число делится на 4. Кроме того, все числа, оканчивающиеся двумя нулями, так же делятся на 4.

Признак делимости на 5.

             Правило делимости на 5 так же просто, как и делимость на 2, необходимо посмотреть на последнюю цифру этого числа. Если она равна 5 или 0, то будьте уверены - это число разделится на 5 без всяких проблем.

Признак делимости на 6.

            Уже более интересно определять делимость на 6. В этом случае сначала стоит установить четность числа, так как нечетные числа на 6 вообще не делятся, а затем проверить его на делимость на 3, что, впрочем, тоже достаточно просто.      

            Кстати, упомянутое уже число 528, делится на 3 и, поскольку оно четное делится на 6.

Признаки делимости на 7.

           А вот с делимостью на 7 вы вряд ли познакомитесь в школе. Дело в том, что это достаточно сложный признак. Если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делятся на 7, то само число делится на 7.

        Например:   рассмотрим число 154  (15*3+4=49, 49 делится на 7, значит и 154 делится на 7).  

Признак делимости на 8.
        Признак делимости на 8 очень похож на признак делимости на 4, но здесь нужно обратить внимание уже на 3 последние цифры. Если они нули или делятся на 8, то и все число тоже будет делиться на 8.

Признак делимости на 9.
      Признаком делимости на 9 пользуются достаточно часто, и знать его нужно обязательно. Так же как и при проверке делимости на 3, необходимо сложить все цифры, и если полученное число делится на 9, то и исходное число тоже делится  на 9.

Признак делимости на 10.
 И, конечно же, всем известен признак делимости на 10. Просто в конце должен стоять ноль!

Признаки делимости на 11.

          Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

          Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.

        Испытаем число 100397.

Нумерация идет слева направо.

1+0+9=10

0+3+7=10

10-10=0,  0 кратно 11, значит,  100397 делится на 11.

         Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Например, испытаем число 15235.

Разбиваем на группы

1. 52. 35  и складываем их:

1+52+35=88.

88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признак делимости на 12.

            Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значит  и на 12.

Признак делимости на 13.

           Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Например: 858 делится на 13, так как    делится на 13.

Признак делимости на 14.

    Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

 Пример:  Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.  

Признак делимости на 15.

            Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Например: 1146795   1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.

Признак делимости на 19.

     Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.                                                             Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

   Применим последовательно признак делимости. Число десятков  в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

  1) 1 0 2  +2 ∙ 6= 114

   2) 11+ 2∙4=19

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно,  число 1026 делится на 19.

Признак делимости на 25.

         Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.                            

  Пример:  Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.

Признак делимости на 50.

      Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы  на конце записи  числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число.                   А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться  на 00 или 50.

Например:

6957200, 67906850.

Применение признаков делимости натуральных чисел

при решении задач

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:  203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

Решение: 

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина, 175 : 15 = 11 – орехов и 225 : 15 = 15 – конфет.

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Задача 7. Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ: Наибольшее – 987652413, наименьшее – 102347586.

Задача 8. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.

Заключение

   В ходе исследования, работая над поставленной проблемой, мы выяснили, что:

• кроме известных нам признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще  признаки делимости на 4, 6, 7, 8,  11, 12, 13, 14, 15, 19 , 25 и 50.
• изучили  различные источники  информации по данной  теме.
• систематизировали полученную информацию.
• научились пользоваться признаками для определения делимости чисел.

Все это позволило более широко изучить тему делимости чисел, расширило наш математический кругозор.      

         Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложноваты.  Может, поэтому они не изучаются в школе.                                                          

    В дальнейшем знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих задач. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках  математики, на олимпиадах.

Собранный нами материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендуем ознакомиться с нашей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Список использованной литературы

• Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы», Москва, 1982, «Просвещение».
• «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»
• Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

  Электронные источники.

•  Журнал "Hard" n "Soft" (online) №6-2003.
• Энциклопедический ресурс www.rubricon.com (Большая советская энциклопедия, Иллюстрированный энциклопедический словарь).