"В стране рыцарей и лжецов"

ХIII  Региональная научно – практическая конференция школьников

«Горизонты поиска и достижений»

В стране рыцарей и лжецов

Авторы    работы:

Гильманова Аделина Евгеньевна,

Шестиперова Виктория Александровна

ученицы 6 А класса,

МБОУ «Заинская средняя общеобразовательная школа № 3»

Заинского муниципального района Республики Татарстан

Руководитель: Хасметдинова А.А.

учитель математики

МБОУ «Заинская средняя общеобразовательная  школа  № 3»

Заинского муниципального района Республики Татарстан

 Заинск, 2019

Оглавление

1. Введение

1. Подготовка к исследованию
2. Исторические сведения

2. Проведение исследования

2.1 Рассмотрение логических задач

2.2 Исследование уровня логического мышления

2.3. Социальный опрос

3. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение

Впервые с решением нестандартных задач мы столкнулись во время олимпиады по математике, нам стало интересно, а как бы справились с решением подобных задач мои одноклассники и ученики других классов. Поэтому мы решили провести собственное исследование данной темы и назвали ее «В стране рыцарей и лжецов». При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Решать логические задачи очень увлекательно! Задачи на нестандартное логическое мышление помогут и в повседневной жизни решать проблемы нестандартным образом.

Актуальность. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

Цель исследования: повышение интереса школьников к математике как к науке; развитие способности логически рассуждать и приходить к правильным выводам, подробный анализ решения логических задач типа «рыцарь - лжец».

Задачи исследования:

1) изучить основные методы решения логических задач;

2) провести диагностику для определения уровня логического мышления учащихся 5 – 6 классов МБОУ «ЗСОШ №3»;

3) проанализировать результаты диагностики;

4) провести анкетирование учащихся 5-6 классов;

4) подготовить рекомендации для развития логического мышления школьников.

Основные методы (методика): наблюдение, анализ, эксперимент, обобщение экспериментального и теоретического материала.

1. Подготовка к исследованию

Для начала, мы определили цель исследования – то, что  хотим изучить и исследовать. Далее, мы определились с названием исследования, т.е. обозначили тему исследовательской работы. Описали актуальность исследовательской работы, т.е. обосновали выбор именно этой темы работы. Сформулировали цель исследовательской работы и расписали задачи исследовательской работы. Выбрали оптимальный вариант решения проблемы. Составили вместе с учителем план работы для реализации своего исследовательского проекта.

1. Исторические сведения

Вот что говорили знаменитые ученые. Логика-наука о формах способах мышления. Основы логики были заложены работами учёного и философа Аристотеля (384-322гг. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос «Как мы рассуждаем?», изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы - понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

Мало иметь хороший ум, главное - его хорошо применять. (Р. Декарт). Прежде чем решать задачу-прочитай условие. (Ж. Адамар). Истина ничуть не страдает от того, что кто то ее признает. (Ф. Шиллер).Человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида. (Артур Конан Дойл)

Опираясь на эти высказывания, можно сделать вывод, что задачи на логическое мышление появились еще в глубокой древности, и многие великие ученые придавали большое значение мысли!

Проведение исследования

2.1 Рассмотрение логических задач.

В практической части моей работы мы рассмотрим задачи с тремя типами персонажей — рыцари, лжецы и нормальные люди.

Задачи о рыцарях и лжецах — разновидность увлекательных математических задач, в которых: Лжец (плут, сумасшедший, оборотень) — человек, всегда говорящий ложь. Рыцарь(человек, поступающие правдиво и правильно, правдец) - человек, говорящий всегда правду. Нормальный человек (шпион, человек говорящий, как правду, так и ложь). Решение подобных задач обычно сводится к перебору вариантов с исключением тех, которые приводят к противоречию.

Задача №1

На острове живут рыцари и лжецы. Путешественник, встретивший одного из местных жителей, спросил его, кем он является.

Что ответит житель?

Решение:

Интересно отметить, что и рыцари и лжецы могут произносить фразу "Я - рыцарь". В устах рыцаря это истинное высказывания, лжеца - ложное.

А высказывание "Я - лжец" не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу (т.н. парадокс лжеца).

Задача № 2

По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы". Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?

Решение:

Все не могут быть лжецами – тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они солгали. Единственная оставшаяся возможность – один сосед — лжец, другой – рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные — лжецы) удовлетворяет условиям задачи.

Ответ:2 рыцаря.

Задача №3 :На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес фразу «Все мои друзья — рыцари», либо «Все мои друзья — лжецы», причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой — лжец.

Решение: Заметим, что в паре рыцарь-лжец каждый должен сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправду. Значит фраза «Все мои друзья — лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное кол-во пар рыцарь-лжец, когда фразу сказали 100 человек, это 50. Если пар будет меньше, то и фраз тоже будет меньше.

Задача №4 : Двое людей A и B, о которых известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо нормальный человек, высказывают следующие утверждения:

A: B - рыцарь.

B: A - не рыцарь.

Докажите, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь.

Решение: Эта задача обладает интересной особенностью. Условия ее не позволяют установить, кто из двух островитян говорит правду, не будучи рыцарем: A или B. Мы можем доказать более слабое утверждение: по крайней мере один из двух островитян A и B говорит правду, не будучи рыцарем. Островитянин A либо говорит правду, либо не говорит правду. Докажем два утверждения: 1) если A говорит правду, то он говорит правду, не будучи рыцарем; 2) если A лжет, то B говорит правду, не будучи рыцарем.

1) Предположим, что A говорит правду. Тогда B - рыцарь и, следовательно, говорит правду. Значит, A - не рыцарь. Таким образом, если A говорит правду, то A - лицо, говорящее правду, не будучи рыцарем.

2) Предположим, что A не говорит правду. Тогда B - не рыцарь. Но B должен говорить правду, так как A не может быть рыцарем (ведь A не говорит правду). Следовательно, в этом случае B говорит правду, не будучи рыцарем.

Задача №5

На остров рыцарей и лжецов приехал путешественник и нанял себе проводника. Однажды, увидев вдали туземца, путешественник сказал проводнику: "Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец". Вскоре проводник вернулся и сказал: "Этот человек сказал, что он лжец".

Кем был проводник, рыцарем или лжецом?

Ответ: Лжецом

Задача №6

В компании из 12 аборигенов каждый заявил всем остальным: «Вы все лжецы!».

Сколько лжецов в этой компании?

Ответ: 11.

Задача №7

На острове живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят только правду. У каждого жителя острова есть одно любимое время года. Каждому островитянину было задано 4 вопроса:

Любите ли Вы зиму?

Любите ли Вы осень?

Любите ли Вы лето?

Любите ли Вы весну?

На первый и второй вопрос утвердительно ответили по 25 человек, на третий — 45, на четвёртый — 55.

Сколько лжецов на острове?

Решение:

Если бы все жители острова говорили правду, было бы дано 100 утвердительных ответов.

Каждый лжец даёт три утвердительных ответа вместо одного, то есть он увеличивает общее число утвердительных ответов на два.

Так как всего было дано 25 + 25 + 45 + 55=150 утвердительных ответов, то количество лжецов равно 50:2=25.

Задача №8

Возле огрызка Священного Яблока были задержаны 4 аборигена. Агр заявил, что Яблоко съел Бгр, который, в свою очередь, утверждал, что виноват Вгр. Вгр уверял, что Бгр лжёт, а Ггр твердил, что это сделал не он. Выяснилось, что только один из них был рыцарем. Кто рыцарь, и кто обглодал священный фрукт?

Решение:

Бгр и Вгр друг другу противоречат. Значит, один из них рыцарь. Так как рыцарь всего один, то Агр и Ггр лжецы, то есть они врут. Значит Ггр обглодал священное яблоко.

Теперь разберемся кто рыцарь. Так как на виновника мог указать только рыцарь, а на Ггра никто не указал, то рыцарь никого не обвинял, значит рыцарь Вгр.

Задача №9

В стране три города - А, Б, В. Жители города А всегда говорят правду, а города Б - лгут. В городе В лгут и говорят правду в строгой очередности. Дежурному на каланче, увидевшему пожар, позвонили. Состоялся такой разговор: "У нас пожар!" - "Где горит?" - "В городе В!". Куда ехать пожарным?

Ответ: В город А.

Задача №10

Малыш спрятал от Карлсона банку с вареньем в одну из трех разноцветных коробок. На коробках Малыш сделал надписи: на красной – «Здесь варенья нет»; на синей – «Варенье - здесь»; на зеленой – «Варенье в синей коробке». Только одна из надписей правдива. В какой коробке Малыш спрятал варенье?

Ответ: В зеленой.

2.2. Исследование уровня логического мышления учащихся 5-6 классов.

Учащиеся 5-6 классов были разделены на две группы, им было предложено решить   два типа задач: логические и математические.

Например:

1 тип (логическая) задача:

Перед нами трое людей A, B и C. Один из них рыцарь, другой лжец и третий - нормальный человек. Эти люди высказывают следующие утверждения.

A: Я нормальный человек.

B: Это правда.

C: Я не нормальный человек.

Кто такие A, B и C?

Решение: Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя нормальным человеком. Следовательно получается, что, A - либо лжец, либо нормальный человек. Тогда истинно высказывание человека B. Значит, B - либо рыцарь, либо нормальный человек. Но B не может быть нормальным человеком (так как A - нормальный человек), поэтому B - это доблестный рыцарь, а C - маленький лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не нормальный человек (так как любой лжец - не нормальный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, A не может быть нормальным человеком. Следовательно, A - хитрый лжец. Это означает, что высказывание человека B ложно, в силу чего B должен быть нормальным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец - человек A). Итак, A - хитрый лжец, а B - нормальный человек. Отсюда мы заключаем, что C - доблестный рыцарь.

2 тип(математическая) задача:

Расстояние по автомобильной дороге от Санкт-Петербурга до Москвы 687 км, от Москвы до Ростова-на-Дону 1064 км, от Ростова на Дону до Сочи 712. Сколько километров нужно проехать на автомобиле, чтобы из Санкт-Петербурга приехать в Сочи через Москву и Ростов на Дону?

Решение:

687+1064=1751((км)от С-П до Р-Д)

1751+712=2463((км)от С-П до Сочи)

Ответ: От Санкт-Петербурга до Сочи 2463 километра.

Из диаграммы видно, что 13 учащихся (43%) успешно решили обе задачи, с математической задачей – 18 учащихся (60%), со второй задачей на логику справились лишь 9 учеников (30%) и не справились с решением задач 3 учащихся (10%)

  Подводя итог, можно сделать вывод, что с задачами более простыми в целом ученики 5-го и 6-го классов справляются, но если добавляются немного больше элементов в рассуждениях то справляются с такими заданиями не все.

Анализируя полученные результаты, в целом можно сказать, что лучше с решением логических задач справились те учащиеся, которые встречали подобные задачи при подготовке к олимпиаде или на факультативах. Ученики, занимающиеся лишь в рамках школьной программы, показали хуже результаты, возможно причиной этому является, что для решения данного вида задач требуется хорошее знание математики, ученики 5х классов пока ещё не имеют опыта в решении таких задач.

2.3 Социальный опрос

Также мы провели соц. опрос среди учащихся 5-6 классов. Всем задали вопрос: «Какие задачи легче решать: математические или логические? В опросе участвовали 25 человек. 15 человек ответили – математические, 6-логические, 4 - никакие не смогут решить. Результат опроса представлен на диаграмме:

Выводы

Анализируя полученные в ходе исследований результаты, в целом можно сказать, что лучше с решением логических задач справились те учащиеся, которые встречали подобные задачи при подготовке к олимпиаде или на факультативах. Ученики, занимающиеся лишь в рамках школьной программы, показали хуже результаты, возможно причиной этому является, что для решения данного вида задач требуется хорошее знание математики, ученики 5х классов пока ещё не имеют опыта в решении таких задач.

Заключение

В данной работе Вы познакомились с логическими задачами. С тем, что такое логика. Вашему вниманию были предложены различные логические задачи, которые помогают развивать логическое и образное мышление.

У любого ученика есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике.

Для таких школьников, мы предлагаем применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях. Для этого мы создали небольшой сборник логических задач, который можно использовать при подготовке к олимпиадам, на факультативах и для развития логического мышления учеников. Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению.

Также мы считаем, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено. С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.

Список литературы

     1. Рэймонд М. Смаллиан. Как же называется эта книга? – М.: АСТ, 2013

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Задачи_о_рыцарях_и_лжецах

Дата обращения: 21.11.2019

2. https://web.archive.org/web/20030329201720/http://ntl.narod.ru/logic/smullyan/name/p3.html/

Дата обращения: 14.11.2019

3. https://xkcd.ru/246/

Дата обращения: 25.11.2019