Презентация "Дельтоид"

Слайд 1

Слайд 2

Актуальность. Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция выпуклые четырехугольники, которые изучаются в школьной программе. Но четырехугольник дельтоид не рассматривается. Хотя в экзаменационных заданиях ОГЭ и ЕГЭ задачи, которые решаются через дельтоид присутствуют.

Слайд 3

Уточнение: При изучении темы: «Четырёхугольник» дельтоид , как геометрическая фигура, не рассматривается. Привычные школьные учебники таких авторов как: Л.С. Атанасян, И.М. Смирнов, А.Г.Мерзляк, Бутузов В.Ф, Александров А.Д, Шарыгин И.Ф, Погорелов А.В. И др. не содержат никаких сведений о дельтоиде .

Слайд 4

Однако в учебнике Муравина Г.К «Математика 5 класс» упоминается о дельтоиде:

Слайд 5

Цель: Изучить дельтоид , его свойства и признаки, рассмотреть применение их к решению задач. Для выполнение этой цели были поставлены следующие задачи : Определение дельтоида. Исследовать дельтоид в окружающем мире и историю его изучения. Изучить свойства и признаки дельтоида Рассмотреть задачи которые решаются через дельтоид , задачи экзаменационных заданий ОГЭ и ЕГЭ . Вывод. Гипотеза: можно предположить, что решение задач школьной программы, а также задач из открытого банка заданий ОГЭ и ЕГЭ возможно, используя геометрию дельтоида и зачастую гораздо быстрее приводит к получению необходимого результата т.е. является более рациональным. Объект исследования: Дельтоид. Предмет исследования: Свойства и признаки (геометрия) дельтоида. Метод исследования включает в себя изучение свойств, признаков и задач на дельтоид. Работа носит теоретический характер. Теоретическая значимость расширить кругозор и использовать этот материал для подготовки к экзаменам. Практическая значимость применение изученного материала в решение задач и подготовке к экзаменам, а так же использование исследовательской работы в школьном материале.

Слайд 6

Определение: Дельтоид - выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон. Я́коб Ште́йнер ( 1796 — 1863) — швейцарс кий математик, основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших порядков . Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Слайд 7

Дельтоид в окружающем мире. Дельтоидом также называют мышцы плеча. 1 ) Передние волокна дельтоида начинаются на внешней части ключичной кости,3) задние - на верхней и задней частях лопаточной кости, а 2) средние - между двумя вышеупомянутыми на акромиальном отростке лопатки. Все волокна, сходясь вместе, крепятся в районе верхней/передней части плечевой кости. Соединённые человеческие руки Лист дерева Человеческий мозжечок имеет рисунок, который ученые называют(деревом жизни),составной частью которого являются дельтоиды . Крона дерева туя Тело рыбы .

Слайд 8

Свойства и признаки дельтоида Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника Дано: ABCD- дельтоид, AC- неглавная диагональ Доказать: ∆ABC и ∆ ADC - равнобедренные Доказательство: 1) По определению, дельтоид - это четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон, следует AB=BC, AD=DC. 2) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны, AB=BC, значит ABC- равнобедренный; AD=DC, значит ADC- равнобедренный. Ч.Т.Д.

Слайд 9

Свойства и признаки дельтоида Углы, лежащие по разные стороны от главной диагонали равны. Дано: ABCD- дельтоид, BD-главная диагональ Доказать: ∠ A= ∠ C Доказательство: 1) По определению дельтоида - выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон. Значит AB=BC, AD=DC. 2) ∠ А является углом ∆BAD, ∠ C является углом ∆ BCD. 3) Рассмотрим ∆ BAD и ∆ BCD: 1) AB=BC, по доказанному 2) AD=DC, по доказанному 3) BD - общая, значит ∆ BAD= ∆ BCD, по трём сторонам (III приз.). Значит ∠ А= ∠ С. Ч.Т.Д .

Слайд 10

Свойства и признаки дельтоида Главная диагональ является биссектрисой углов дельтоида. Дано: ABCD - дельтоид, BD – главная диагональ. Доказать: BD- биссектриса. ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ Доказательство: 1) ∠ 1 и ∠ 3 входят в ∆ BAD, ∠ 2 и ∠ 4 входят в ∆ BCD. 2) Рассмотрим ∆ BAD и ∆ BCD: 1) АВ=ВС по определению дельтоида 2) AD=CD 3) BD- общая, ∆ BAD= ∆ BCD, по трём сторонам(III приз.), значит ∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4, BD- делит углы пополам т.е. является биссектрисой. Ч.Т.Д.

Слайд 11

Свойства и признаки дельтоида Неглавная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю, делится пополам. Дано: ABCD- дельтоид, AC-неглавная диагональ, BD- главная диагональ. Доказать: АО=ОС Доказательство: 1) По свойству, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных треугольника АВС и АDC: АВ=ВС, AD=DC 2) По свойству, главная диагональ дельтоида является биссектрисой: ∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4. 3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольника является медианой , то АО=ОС. Ч.Т.Д.

Слайд 12

Свойства и признаки дельтоида Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны. Дано: ABCD- дельтоид, АС- неглавная диагональ, BD- главная диагональ. Доказать: АС ┴ BD Доказательство: 1) По свойству, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных треугольника АВС и АDC: АВ=ВС, AD=DC 2) По свойству, главная диагональ дельтоида является биссектрисой: ∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4. 3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольник является медианой и высотой. 4) т.е. ВО ┴ АС следовательно АС ┴ BD. Ч.Т.Д.

Слайд 13

Свойства и признаки дельтоида Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.

Слайд 14

Свойства и признаки дельтоида В дельтоид всегда можно вписать единственную окружность. Дано: ABCD- дельтоид. Вписать: окружность(о; r) Доказательство: 1) Известно, что если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. (т.к.AB=CB и AD=DC , то AB+DC=CB+AD) 2) По определению дельтоида, это выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон, следует. Значит АВ+ DC= AD+ ВС. 3) Точка О пересечение биссектрис СО и АО углов С и А. Следует: в дельтоид можно вписать окружность. Единственную. Ч.Т.Д.

Слайд 15

Свойства и признаки дельтоида Площадь дельтоида определяется по формуле: S = 0,5 ·d 1 · d 2 , где d 1 и d 2 - диагонали. Дано: ABCD- дельтоид, d 1 - главная диагональ, d 2 - неглавная диагональ Доказать: S ABCD =0,5d 1 d 2 Доказательство: 1) Рассмотрим DAС-равнобедренный, DО –высота. Площадь равна высота умноженная на половину основания. S BAD = DO*0,5d 2 . 2) Рассмотрим BCА- равнобедренный, BО- высота. Площадь треугольника равна произведению высоты на половину основания S ВСD = BO *0,5 d 2 . 3) S ABCD = S BAD +S BCD = DO*0,5 d 2 + AO*0,5d 2 =0,5d 2 (AO+CO)= 0,5 d 2 d 1 . Ч.T.Д.

Слайд 16

Свойства и признаки дельтоида Периметр дельтоида определяется по формуле: Р= 2(а+в), где а и в смежные неравные стороны дельтоида.

Слайд 17

Свойства и признаки дельтоида Если в четырехугольнике одна из двух, взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник- дельтоид. Дано: Четырехугольник ABDC, d 1 -биссектриса ( ∠ 1= ∠ 2), d 2 - не является биссектрисой, d 1 ┴ d 2 , В= D Доказать: ABDC- дельтоид Доказательство: 1. АD входит в АОD, АВ входит в АОВ и AO ┴ DB. 2. Рассмотрим АОD и АОВ: 1) АО - общая 2) ∠ 1= ∠ 2, т.к. d 1 -биссектриса по условию, АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ. 3. DС входит в СОD, ВС входит в СОВ и CO ┴ BD. 4. Рассмотрим СОD и СОВ: 1) ОС - общая 2) ∠ 3= ∠ 4, т.к. d 1 -биссектриса по условию, СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС. 5. АDС не равнобедренный, т.к. АD=DС. ABDC- дельтоид по определению. Ч.Т.Д.

Слайд 18

Свойства и признаки дельтоида Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид. Дано: Четырехугольник ABDC, d 1 ┴ d 2 , АО=ОС Доказать: ABDC- дельтоид Доказательство: 1. АD входит в АОD, АВ входит в АОВ и AO ┴ DB. 2. Рассмотрим АОD и АОВ: 1) АО - общая 2) ∠ 1= ∠ 2, т.к. d 1 -по первому признаку, АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ. 3. DС входит в СОD, ВС входит в СОВ и CO ┴ DB. 4. Рассмотрим СОD и СОВ: 1) ОС - общая 2) ∠ 3= ∠ 4 , т.к. d 1 -биссектриса по свойству 3.1, СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС. 5. Биссектриса равнобедренного треугольника проведенная из вершины равнобедренного треугольника является и медианой, следует, АО и СО - медианы, значит DО=ОB. 6. DО- перпендикуляр, не является медианой т.к. АDС не равнобедренный. ABDC- дельтоид по определению.

Слайд 19

Вывод: Мною был изучен дельтоид, а так же доказаны его свойства и признаки. Я решала задачи из открытого банка заданий ОГЭ и ЕГЭ , а так же задачи из школьного курса геометрии , и выявила , что более рационально задачи решаются при помощи геометрии дельтоида.

Слайд 20

Список литературы. 1. http://gazpromschool.by.ru/projects/geometry/tr/tr3 12.. 2. http://geometricheskie.narod.ru/3D/Vparallelepiped. html 3. http://dic.academic.ru/dic.nsf/business/ 8852 4. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия 7-9 классы.б Учебник. 15-е изд. М.:"Просвещение", 2015. 5. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия 10-11 класс»; издательство «Просвещение», 1996. 6. О.В.Георгиевский. Начертательная геометрия ( сборник задач с решением типовых примеров). АСТ; Астрель, 2002. 7. Я.И. Перельман. Занимательная алгебра, геометрия. Изд-во: Книга, 2005.

Слайд 21

Спасибо за внимание!