Проекты моих учеников

Департамент образования и науки Тюменской области

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Средняя образовательная школа №65

Формула Пика

                   Автор:

                                                               Крюкова Екатерина Викторовна

                                            Ученица 9 «Б» класса

                                                                       МАОУ СОШ №65 г. Тюмени

                                  Руководитель:

                                                            Федотова Любовь Николаевна

                                           Учитель математики

г. Тюмень, 2018

Содержание

1. Введение…………………………………………………………...3
2. Биография Георга Александра Пика………..………………….4
3. Теорема Пика

1.  Суть теоремы Пика………………………………………….5-6
2. Доказательство теоремы Пика………………………………6-7
3. Рациональность применения………………...……………....8-10
4. Области применения…………………………………………10

4. Мой эксперимент………………………………………………..11-12
5. Заключение………………………..……………………………..13
6. Список литературы…………………………...…………………14

Введение

Теорема Пика является одной из тех теорем, которых нет в базовой школьной программе. Она обходится стороной, хотя может так облегчить жизнь на ОГЭ и ЕГЭ. На экзаменах есть задания по нахождению площади фигуры, представленной на клетчатой бумаге, и теорема Пика помогает нам найти площадь фигуры, зная лишь количество вершин у фигуры и количество узлов внутри фигуры.

Гипотеза: задачи на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге, можно решить более рационально с помощью формулы Пика.

Цели работы: научится пользоваться формулой Пика; доказать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождении площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Задачи:

1. Проанализировать литературу, отобрать информацию;
2. Изучить формулу Пика и ее возможности;
3. Доказать теорему Пика;
4. Провести исследование в своем классе на удобство и быстроту формулы Пика;
5. Сделать выводы по результатам работы.

Предмет исследования: формула Пика.

Объект исследования: учащиеся 9 «Б» класса МАОУ СОШ №65 г. Тюмени.

Актуальность: данная тема является дополнением и углублением в курс геометрии; формула Пика поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Методы исследования: моделирование, построение, анализ и классификация информации, сравнение, обобщение.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Биография Георга Александра Пика

Георг Александр Пик - австрийский математик, родившийся 10 августа 1859 года в еврейской семье. Мать звали Йозефа Шляйзингер, отца- Адольф Йозеф Пик. Георг Пик был одаренным ребенком, его обучал отец, который возглавлял частный институт. В 16 лет он окончил школу, поступил в Венский университет,  а уже в 20 лет получил право преподавать физику и математику.

В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.

Интересно еще и то, что в 1910 г. Он был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна в университет. Пик был движущей силой этого назначения, и Эйнштейн был принят на кафедру математической физики в Немецком университете в Праге в 1911 г. Он занимал этот пост до 1913 г., и все эти годы он и Пик были близкими друзьями. Мало того что они имели общие научные интересы, но они также оба страстно увлекались музыкой. Пик, который играл в квартете, познакомил Эйнштейна с научным и музыкальным обществом Праги.

Круг математических интересов Пика был очень широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. Широкую известность получила именно теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьную программу.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году после аншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того в 1928 году Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии.

О нем писали так:

“Пик был холостяком … необыкновенно правильным в одежде и отношениях’’.

Теорема Пика

Суть Теоремы Пика

Теорема Пика является самой популярной работой австрийского математика. Он доказал ее в 1899 году, но в течении некоторого времени после публикации она была не замечена, однако в 1969 году польский ученый Гуго Штейнгауз включил теорему Пика в свой знаменитый «Математический калейдоскоп».

Примечательна формула Пика в том, что она привлекает своей простотой и элегантностью.

Теорема Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равноотстоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Обратите внимание, что основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий.

Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником. Теорема Пика утверждает, что площадь целочисленного многоугольника равна , где N– количество узлов решетки внутри многоугольника, а M– количество узлов решетки на границе многоугольника. Главное условие использования формулы Пика – вершины многоугольника должны располагаться в узлах клетки.

Пусть дана система координат с клетками 1х1. В этой системе задан треугольник, площадь которого требуется найти (рис.1).

Что бы сосчитать площадь треугольника по формуле Пика нужно:

1. Подсчитать количество целочисленных точек внутри треугольника (обозначается N);
2. Подсчитать количество целочисленных точек на границе треугольника (обозначается M);
3. Применить формулу Пика .

Отметим узлы (рис.2).

Мы видим, что целочисленных точек внутри треугольника 34, а целочисленных точек на границе фигуры 15. Следовательно, N=34, а M=15.

Воспользуемся формулой Пика:

Однако, чтобы показать точность результата, воспользуемся классической формулой из геометрии для нахождения площади треугольника: , где h- высота треугольника,  a- основание, к которому проведена высота.

Если посчитать по клеткам (см. рис.1), тоh=9, a=9, следовательно

Результат одинаковый.

Доказательство теоремы Пика

Теорема: площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна, где N – количество узлов решетки внутри многоугольника, а M – количество узлов решетки на границе многоугольника.

Доказательство теоремы Пика производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

• Единичный квадрат. Мы имеем M=4, N=0, следовательно, , значит, формула Пика верна для квадрата 1х1.
• Прямоугольник. Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Для доказательства формулы обозначим через a и b длины сторон прямоугольника. В этом случае N=(a-1)(b-1), M=2a+2b, и, по формуле Пика , следовательно, формула Пика для прямоугольника верна.
• Прямоугольный треугольник. Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат.Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Пусть c- число целочисленных точек на диагонали. Значит, , , тогда , следовательно, для прямоугольного треугольника формула Пика справедлива.
• Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат. Но если и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, значит она будет справедлива и для произвольного треугольника.
• Произвольный многоугольник. Возьмем многоугольник В и треугольник Т. Пусть они имеют общую сторону. Предположим, что для многоугольника В она справедлива . Тогда докажем, что она справедлива и для многоугольника, полученного из В добавлением Т. Так как В  и Т имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Пусть c- число общих точек, тогда

 – количество внутренних целочисленных точек нового                        многоугольника;

 – число граничных точек нового многоугольника;

             Из этих равенств получаем:

,

             Так как мы предположили, что теорема верна для B и для T по отдельности, то

Таким образом, теорема Пика доказана.

Рациональность применения

Я решила провести исследование и проверить, насколько удобно и рационально использовать формулу Пика, по сравнению с традиционными формулами для нахождения площадей. Для этого я составила таблицу, что бы наглядно рассмотреть результат.

Основываясь на этом исследовании, можно сделать вывод о том, что естественно легче находить площадь квадрата, треугольника, параллелограмма, трапеции по традиционным формулам, нежели по формуле Пика, но только если даны целочисленные значения. Однако площадь пяти-, шести-, семиугольника и больше легче находить по формуле Пика.

Области применения формулы

Формула Пика может применяться при решении заданий из ОГЭ и ЕГЭ на нахождение площади многоугольника, даже без клетчатой поверхности. Достаточно просто сделать клетчатую бумагу самим и подложить ее под фигуру.

Мой эксперимент

Я решила проверить, насколько формула Пика удобна и проста в использовании. Что бы проверить правильность этого тезиса, я решила провести эксперимент среди учеников 9 «Б» класса МАОУ СОШ №65. В течение первого этапа эксперимента ученикам были розданы пятиугольник, шестиугольник и семиугольник на клетчатой бумаге. Большинство учеников воспользовалось традиционной формулой. Позднее им было рассказано о формуле Пика. Далее их попросили найти площадь других пяти-, шести-, семиугольников. Наглядный пример сравнения этапов эксперимента можно посмотреть в таблице.

Мы можем заметить, что процент нашедших человек площадь во втором этапе выше, чем в первом. Основываясь на этом, мы можем сделать вывод, что  формула Пика просто и удобна в использовании, эстетична, а также понятна большинству ученикам.

Сравнить результаты первого этапа исследования со вторым мы можем, внимательно рассмотрев приведенные диаграммы.

Заключение

Подведём итог. Проводя эту работу, мы пришли к выводу, что формула Пика - это  рациональный и легкий способ нахождения площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, ведь формула легка для запоминания и проста в применении. Эта формула была бы полезна для изучения в школьной программе, так как она помогает найти площадь любого многоугольника, не пользуясь традиционными формулами, а также она понятна ученикам.

Список литературы

1. Свободная энциклопедия Википедия, статья «Формула Пика», URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0
2. Свободная энциклопедия Википедия, статья «Пик, Георг», URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3
3. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»,  Н.Б.Васильев, статья «Вокруг формулы Пика», URL:http://kvant.ras.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
4. Математика, которая мне нравится[электронный ресурс], статья «Формула Пика», URL:http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/
5. Математика, которая мне нравится [электронный ресурс], статья «Георг Александр Пик (1859-1942)», URL: http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/
6. Справочный портал Калькулятор, статья «Многоугольник. Формула Пика», URL: https://www.calc.ru/Kubicheskiye-Uravneniya-Formula-Pika.html