В мире математических иллюзий

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Усть-Бюрская средняя общеобразовательная школа»

Секция: «Математические науки»

«В мире математических иллюзий»

                                                                                Автор:

                                                                                Архипова Надежда,

 ученица 7 класса

                                                                                Руководитель:

                                                                                Шиман Ольга Алексеевна,

                                                                                учитель математики

с.Усть-Бюр

 2018 год.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………3

1.Основная часть «В мире математических иллюзий»…..………...4-14

1.1 Мир иллюзий………..…………………………………….............4-7

1.2. Опрос учащихся «Не верь глазам своим»………………............8-10

1.3. Объяснение иллюзий с точки зрения геометрии ………………11-12

1.4. Создание модели геометрической иллюзии …….……………..13-14

Заключение…………………………………………………………....15

Литература………………………………………………………….....16

Введение

В школе мы начали изучать в 7 классе новый предмет «Геометрия», нас не покидала одна мысль: «Зачем доказывать очевидное?».  Учитель на доске чертит два равных треугольника и доказывает их равенство. Зачем?  Мы же видим, что они равны. И такие примеры «доказательства очевидного» при решении геометрических задач мы наблюдали на уроках постоянно.

Своими сомнениями поделилась с учителем математики. На что услышала странный ответ: «Не верь глазам своим! На уроках геометрии я часто прибегаю к обману».  Но прежде чем «обман» открылся, учительница попросила меня нарисовать домик (куб). Я нарисовала дом. А учитель меня спрашивает: «Почему в твоем доме углы не прямые?»  Я удивилась: «На моем рисунке дом в форме прямоугольного параллелепипеда. У него все углы прямые!» На что учительница взяла транспортир и доказала, что углы моего нарисованного домика действительно не прямые. А рисунок мой – иллюзорный обман.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что приступая к решению геометрической задачи мы, как правило, первым делом строим чертёж. В древние времена решение на этом и заканчивалось. Все доказательства сводились к одному слову  ”Смотри!” Но всегда ли мы можем доверять нашему зрению? Оказывается, нет!

Так кому же или чему верить?  Почему нас обманывает наше собственное зрение?  Почему оно нас подводит?  Я решила разобраться,  что такое математическая иллюзия, в какой момент и почему мы сталкиваемся со зрительными иллюзиями, стоит ли доверять всему, что мы видим и правда  ли, что не подвижные предметы  могут двигаться.  Ответы на эти и другие "почему" мы  постарались  найти в своей работе.

Мы выдвинули Гипотезу: зрительные иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии, а «волшебство» зрительных иллюзий  обосновать математически.

Цель исследования: Объяснение зрительных иллюзий  с помощью геометрических законов.

Для достижения  цели поставлены следующие задачи: 

• Изучить теоретический материал по данной теме;
• Изучить задачи, связанные со зрительными иллюзиями, и объяснить их с точки зрения геометрии;
• Изучить восприятие иллюзий учащимися нашей школы;
• Создать собственную оптическую иллюзию 

Объект исследования:   геометрические  иллюзии.

Предмет исследования:  применение геометрических фигур в создании зрительных иллюзий.

 Методы исследования:

• Теоретический: изучение литературы, Интернет-ресурсов, сопоставление существенных признаков;
• Эмпирический: доказательство, анкетный опрос, анализ, сравнение, обобщение, классификация информации;
• Математический: построение  диаграмм

1.Основная часть «В мире математических иллюзий»

1.1. Мир иллюзий

Восприятие одного и того же предмета может быть разным и нельзя с уверенностью говорить, что все увиденное нами является таковым.

 Иллюзия – это искаженное, неадекватное отражение свойств воспринимаемого объекта. В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение». Это говорит о том, что иллюзии с давних времен считались сбоями в работе зрительной системы. Изучением причин их возникновения занимались многие исследователи. Давайте зададимся вопросом: «Что такое обман зрения?» Скорее всего, ответите вы на этот вопрос  так: «Обман зрения - это когда мы видим то, чего нет на самом деле. И мы очень часто встречаемся с этим в жизни».

Давайте рассмотрим  один пример на рисунке 1 и 2 изображены вогнутые или прямые линии?

                        Рис.1                                                                Рис.2

Оптические иллюзии – это,   оптический обман нашего мозга.  Когда наш глаз получает картинку – включается огромное количество процессов в нашем мозге. Мы начинаем анализировать этот процесс словно компьютер. Начинается анализ расположения основных граней и углов, структура цвета на виде или позиция источника света. И во многих случаях этот анализ неосознанно получается, неточен – происходит коррекция зрительных образов.  

Каковы причины появления зрительных иллюзий. Во-первых, изображение на сетчатке перевернуто. Во-вторых, из-за несовершенных оптических свойств глаза картинка на сетчатке размазана. В-третьих, глаз совершает постоянные движения: скачки при рассматривании изображений и при зрительном поиске, мелкие непроизвольные колебания при фиксации на объекте, относительно медленные, плавные перемещения при слежении за движущимся объектом. Таким образом, изображение находится в постоянной динамике. В-четвертых, глаз моргает приблизительно 15 раз в минуту, а это значит, что изображение через каждые 5-6 секунд перестает проецироваться на сетчатку. Так что же "видит" мозг? Поскольку человек обладает бинокулярным зрением, то фактически он видит два размытых, дергающихся и периодически исчезающих изображения, а значит, возникает проблема совмещения информации, поступающей через правый и левый глаз.

    Геометрические иллюзии – это иллюзии, созданные с использованием различных геометрических фигур, и их окрашивания в разные цвета. Какие же виды зрительных иллюзий существуют? Оптических иллюзий огромное количество. Я приведу примеры иллюзий, которые объяснимы с  математической точки зрения.

Так как до сих пор нет их точной классификации, то предлагаю свою:

1. Иллюзии размера
2. Иллюзии движения
3. Иллюзии двойственности
4. Иллюзии глубины

Иллюзии размера

Пример оптической иллюзии, возникающей в результате свойства глаза переоценивать длину вертикальных линий по сравнению с горизонтальными. Высота фигуры, изображённой на рисунке 3, кажется больше, чем её ширина, на самом деле они равны. У Т образной фигуры на рисунке 4 вертикальная линия кажется длиннее на самом деле они равны.

                                            Рис.3                      Рис.4

Иллюзии, относящиеся к восприятию направлений линий на рисунках 5 и 6 (длинные, косо направленные прямые линии кажутся расходящимися в разные стороны).

                                       Рис.5                      Рис.6

Иллюзии движения

Иллюзия движения- это  анимационные изображение, в которых сложно определить направление движения или вращения. Потрясающие иллюзии придумал японский психолог и дизайнер Акиоши Китаока. Когда вы смотрите на его "Невероятных змей", круги начинают медленно вращаться, а узор с ромбами становится пластичным и подвижным.

                                  Рис.7                                                    Рис.8          

Ну и кто сказал, что нарисованные человечки не могут танцевать? Переводите свой взгляд туда - сюда, и чем быстрее вы будете это делать, тем быстрее они будут двигаться.

                                                Рис.9

Иллюзия двойственности. 

Двойственные изображения- это изображения, допускающие различные соотношения «фигуры» и «фона» в зависимости от имеющихся у субъекта представлений. Двойственные или многозначные изображения объясняются тем, что при восприятии подобных рисунков у человека возникают различные представления, одинаково соответствующие изображенному. Поэтому достаточно выделить какую либо характерную деталь, соответствующую определенному представлению, чтобы затем сразу же увидеть определенный предмет. На рисунках 10- 14   представлены двойственные изображения или перевертыши.

Принцесса или старуха?   Молодая медсестра или старуха?   Осел или тюлень? 

       Рис.10                                  Рис.11                                              Рис.12

Лев или мышь?                                                               Белка или собака?

                  Рис.13                                                          Рис.14

Иллюзия глубины

Иллюзия восприятия глубины- это неадекватное отражение воспринимаемого предмета и его свойств. Наиболее изученными являются эффекты, наблюдаемые при зрительном восприятии двухмерных контурных изображений. Мозг бессознательно видит рисунки одно-выпуклые (вогнутые). Восприятие зависит от направления внешнего или реального освещения.

Мы привыкли, что объем предмета легко передать на бумаге с помощью света и тени. Однако и некоторые контурные рисунки , причем очень неожиданным образом ,создают нам впечатление объемности изображения , его глубины. На рисунках 15- 17

                 Рис 15                                  Рис.16                              Рис.17

Явление иррадиации - зрительное восприятие плоского или объемного изображение на контрастном фоне, иллюзия заключается в том, что одно изображение может казаться больше другого. Примеров тому может быть множество, но самым ярким из них является сравнение между собой длин отрезков, величин углов, расстояний между предметами, в восприятии формы предметов и прочее, совершаемые наблюдателем при определённых условиях. Ошибки эти весьма многочисленны, разнообразны. Иллюзии цвета и контраста- это искажения восприятия стимулов, являющиеся результатом противоположного, или контрастного, влияния окружающих их, или контекстуальных, стимулов, в которые они включены. Иллюзии контраста потому представляют особый интерес, что подчеркивают роль зрительного контекста в восприятии площади, длины, формы и пространственной ориентации. Светлые предметы на темном фоне кажутся увеличенными против своих настоящих размеров и как бы захватывают часть темного фона. Мы представили на рисунках 18- 21

Рис.18                                         Рис.19                             Рис.20                                     Рис.21

Плоская геометрия - изучение тел на плоскости, у которых существует только два измерения: длина и ширина. Примером плоской геометрии могут служить такие фигуры, как: квадрат, круг, треугольник, трапеция, различные многоугольники и все тому подобное. Геометрия тел - более сложная геометрия с построением, изучением трехмерных или объемных фигур.

1.2.Опрос учащихся «Не верь глазам своим»

Мы провели опрос у учащихся нашей школы по теме Геометрические иллюзии. Данные исследования представлены в таблице:

1.3.Объяснение иллюзий с точки зрения геометрии

Наверное, у многих из вас возникал вопрос: зачем тратить время на доказательство того, что и так ясно? И в самом деле, зачем доказывать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой?  Может, и правда, доказательства нужны только учителям математики?

Рассмотрим несколько задач и объясним иллюзии, встречающиеся в задачах с точки зрения геометрии.

Задача 1: определить высоту столба (вышки, дерева и т. п,)

                  Рис.22

Отойдем от столба на расстояние, на котором больший палец вытянутой вперед руки закроет его полностью (то есть их видимые размеры станут одинаковыми), подсчитав при этом число сделанных шагов. Для взрослого человека среднее расстояние от глаза до большого пальца вытянутой руки составляет 60 см, длина самого пальца - 7 см, а длина шага - 65 см. По этим данным легко вычислить примерную высоту столба. Аналогично определяется расстояние до недоступного объекта по его известной высоте. Отметим, что описанный способ надежен для оценки сравнительно близких расстояний до нескольких сотен метров; чем меньше предмет и чем дальше он находится, тем выше погрешность измерений.

Вывод: С позиции геометрии, в приведенном примере мы имеем дело с подобными фигурами или соответствующими отрезками, а именно высотами  различных по форме фигур.  Поэтому можно утверждать, что если два предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до предметов.

Задача 2. Рассмотрим две «убегающие» от нас параллельные линии (трамвайные или железнодорожные). Они кажутся сходящимися в некоторой точке горизонта. При этом сама точка представляется нам бесконечно удаленной и недосягаемой. Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются.

               Рис.23                                 Рис.24                  Рис.25

Доказательство: эта иллюзия объясняется особенностью зрительного восприятия. Объект (шпала), находящийся на различных расстояниях от наблюдателя, виден под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых (рельсов) его угловой размер уменьшается, что приводит к видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно, когда угол зрения достигает некоторой "критической" величины, глаз перестает различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для него в одну точку.

Вывод: существует предельное значение угла зрения - наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.

1.4.Создание модели геометрической иллюзии

Только самостоятельно пробуя создавать оптические иллюзии в виде рисунков или моделей можно оценить все тонкости, необходимые для создания подобных обманов. Теперь, когда мы обсудили суть некоторых иллюзий, можно начинать создавать свои иллюзии.

 Я долго думала над тем, чем я смогу удивить окружающих. Какую простую и в то же самое время «волшебную» иллюзию я могу создать, ведь нужно, чтобы она завораживала и была настолько простой, чтобы её смог сделать каждый желающий. Я решила сделать «Парящий куб».

На первый взгляд здесь нет ничего необычного: двухцветный куб каким-то образом закреплён на площадке, которую я держу в руках. С помощью этой площадки я двигаю куб. На самом же деле всё не совсем так…

Поворачиваю я перед вами совсем не куб, а только три его грани. И то, что кажется нам выпуклым и объёмным, в действительности оказывается вогнутым вовнутрь. Для того чтобы получить показанный эффект, необходимо определённое освещение. Кроме этого, наблюдатель должен находиться прямо напротив показывающего иллюзию.

Наше зрение несовершенно и иногда мы видим не то, что существует в действительности.  Но тот факт, что огромное  большинство людей  получают иногда одинаковые ошибочные зрительные впечатления, говорит об объективности нашего зрения и о том, что оно, дополняемое мышлением и практикой, дает нам относительно точные сведения о предметах внешнего мира. С другой стороны, тот факт, что разные люди в процессе зрительного восприятия обладают различной способностью ошибаться, иногда видят в предметах то, чего другие не замечают, говорит о субъективности наших зрительных ощущений и об их относительности.

  Можно сделать вывод, что глаз любого человека видит мир одинаково, но восприятие увиденного – это процесс  мышления человека. Поэтому каждый человек воспринимает мир по-своему.  И надо уважать мнение каждого.  Но образное мышление, воображение можно развивать. И можно, используя в учебном процессе иллюзорные картины, способствовать этому развитию. Это обогатит учащихся и даст возможность увидеть всю многогранность окружающего нас мира. Также это разнообразит досуг, как ребенка, так и взрослого.

Заключение

Мир иллюзий чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение этого мира имеет довольно важное значение не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения искусства.

         Каждый человек воспринимает мир по-своему.  И надо уважать мнение каждого.  

Материал, представленный в работе, расширяет кругозор, пополняет теоретические знания и объясняет многие иллюзии с геометрической точки зрения.

Геометрические иллюзии широко применяются в жизни человека. Их используют дизайнеры одежды, дизайнеры интерьера, архитекторы, создатели рекламных роликов, мультфильмов и др.

Большая часть окружающей нас информации приходит в наш мозг через глаза. Даже если человек живёт без «розовых очков», он не всегда реально сможет увидеть ситуацию. Так устроен наш глаз.

Зная особенности зрения, человек может анализировать получаемую картинку, понимать, когда глаза его обманывают, а когда изображение полностью реально.

Подобные знания могут существенно облегчить жизнь для нас, избавив от неприятностей, связанных со зрительскими обманами. Помогут лучше понимать некоторые природные явления, устройства некоторых предметов.

Начиная изучать геометрическую иллюзию, я задала себе такой вопрос: всегда ли мы можем доверять нашему зрению? Оказывается, нет! За время моего исследования и изучения материала я открыла для себя много нового по данной теме. Например, я намного лучше узнала, что такое иллюзии, как они появляются,  некоторое их предназначение. Изучая данную тему, я пришла к выводу, что иллюзии очень интересный объект для изучения. В ходе своей работы я поняла, что геометрические иллюзии создают богатые возможности для художников, фотографов, модельеров. Однако, инженерам и математикам приходится быть осторожными с чертежами и подкреплять очевидное точными расчётами.

В ходе работы цель была достигнута. Решены поставленные задачи. Гипотеза исследования полностью подтвердилась. Иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии.

Не всегда верьте своему зрению. Нужны математические расчеты измерения и доказательства, чтобы подтвердить истину.

Литература

1. О.Р. Рутерсвард, «Невозможные фигуры». — М.: Стройиздат, 1990.

2. И. Д. Артамонов, «Иллюзии зрения», изд.3 – М., Наука, 1969.

3. Н. Ю. Григорьева, « Живая математика», М.2006г.

4. Г.Пере, «Мир математики: Абсолютная точность и другие иллюзии»

Интернет ресурсы

http://www. 2004/6/ochevidnoe. shtml - Иллюзии зрительного восприятия. Очевидное-невероятное. Журнал «В мире науки», июнь 2004 № 6.

http://www.book/gregory. htm - Л. Р. Грегори «Разумный глаз».

https://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия

http://www.optifarm.ru/content/?sid=66 

http://www.psy.msu.ru/illusion/ 

http://imp-world-r.narod.ru/contents.html

https://artelectronics.ru/posts/matematicheskie-illyuzii-moritsa-eshera

https://ru.wikipedia.org/wiki/Иллюзия_Дельбёфа