Оригами в геометрии

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Усть-Бюрская средняя общеобразовательная школа»

«Физико-математическое направление»

«Оригами в геометрии»

                                                                                Автор:

                                                                                Романова Ангелина,

 ученица 7 класса

                                                                                Руководитель:

                                                                                Шиман Ольга Алексеевна,

                                                                                учитель математики

с.Усть-Бюр

 2019 год

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………3

1.Основная часть «Оригами в геометрии»…………….…..………...4-8

1.1 История появления оригами………..…………………………......4

1.2. Применение метода оригами в геометрии…….. ………………..5-6

1.3. Эксперимент «Сумма углов в треугольнике» …….……………..7-8

 Заключение…………………………………………………………...... 9

Литература…………………………………………………………........10

Приложение……………………………………………………………...11-13

Введение

Каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги — это кораблик или самолетик, а  летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами». Оригами – древнее искусство складывания бумажных фигурок.

Чаще всего люди воспринимают оригами просто как способ изготовления бумажных игрушек и украшений интерьера, и мало кто задумывается о том, что это древнее искусство имеет тесную связь с математикой. Занявшись этим искусством, я увидела, как сильно оригами связана с геометрией.

С оригами можно знакомиться и повторять основные геометрические фигуры. Разверните фигурку оригами и посмотрите на складки – вы увидите обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей. Складывание самой простой фигуры оригами включает в себя решение простейших геометрических задач на построение, таких, как построение перпендикуляра к данной прямой, построение биссектрисы угла и т.д. Все это меня очень заинтересовало. Я подумала, что с помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.

Актуальность состоит в том что, оригами не только искусство, хобби, развивающая игра, но и наглядный способ решения многих геометрических задач и даже доказательство теорем.

Мы выдвинули Гипотезу: применение техники оригами, может визуально облегчить решение  задач и доказательство теорем по геометрии.

Цель:  исследование возможностей применения оригами для решения геометрических задач и доказательство теорем.

Задачи:

• Изучить историю происхождения оригами
• Систематизировать изученный материал
• Рассмотреть возможности оригами в решении геометрических задач на построение, доказательства некоторых теорем.
• Провести социологический опрос учащихся моего класса

Объект исследования – оригами.

Предмет исследования – оригами в геометрии.

Методы исследования:

• Теоретический: изучение литературы, Интернет-ресурсов, сопоставление существенных признаков;
• Эмпирический: доказательство, анкетный опрос, анализ, сравнение, обобщение, классификация информации;
• Математический: построение  диаграмм.

Основная часть «Оригами в геометрии»

1.1.История появления оригами

Орига́ми (яп. 折り紙, букв.: «сложенная бумага») — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в Древний Китай. Появление оригами тесно связано с изобретением техники изготовления бумаги в Китае, но наибольшее распространение оригами получило в Японии и стало значимой частью культурного наследия этой страны. Оригами стало значительной частью японских церемоний уже к началу периода Хэйан. Самураи обменивались подарками, украшенными носи, своего рода символами удачи, сложенными из бумажных лент. Сложенные из бумаги бабочки использовались во время празднования свадеб синто и представляли жениха и невесту.Однако, независимые традиции складывания из бумаги, хоть и не столь развитые, как в Японии, существовали среди прочего в Корее, Германии и Испании.

Постепенно оригами распространилось по всему свету и завоевало популярность во многих странах.

Существует определённый набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия. Бо́льшая часть условных знаков была введена в практику в середине XX века известным японским мастером Акирой Ёсидзавой (1911—2005).

Классическое оригами предписывает использование одного листа бумаги без применения клея и ножниц.

Представляю простые базовые формы:

                                     Рис. 1

1.2. Применение метода оригами в геометрии

Среди учащихся 7 класса  я провела опрос. Для того что бы выяснить, знают ли они что такое оригами и где применяются возможности этого искусства. Получены следующие результаты.

1. Знаете ли вы что такое оригами? (В классе 19 учащихся)

Да - 95%, Нет -5%  (Да – 18 учащихся, нет – 1 учащийся)

2. Увлекались ли вы оригами?

Да - 11%, Нет - 47%, Иногда - 42% (Да – 2 учащихся, нет – 9 учащихся, иногда - 8 учащихся)

3. Знаете ли вы об оригамных возможностях при решении геометрических задач?

Да -11%, Нет - 89% (Да- 2 учащихся, нет – 17 учащихся)

Диаграмма 1 «Социологический опрос»

Вывод: многие учащиеся знают, что такое оригами. Но очень малая часть детей этим увлекается. И лишь 11% знает о возможностях оригами при решении задач, что и определило цель моей работы.

Я просмотрела учебники математики 5-6 классов и геометрию 7 класса на наличие упражнений, предусматривающих работу на перегибание бумаги в ходе процесса выполнения. Таких заданий в учебниках не было. И тогда я начала рассматривать задания, которые можно было бы выполнить оригамным методом.

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Оригами обладает мощным потенциалом в решении геометрических задач на построение. Вот некоторые из них, решаемые методами оригами:

1) построение биссектрисы угла;

2) построение высоты треугольника;

3) построение медианы.

 При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

Рассмотрим несколько задач на построение отрезков, длины которых выражены через другие, известные отрезки и числа, с помощью оригами.

В традиционном курсе геометрии задачи на построение решаются при помощи циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести произвольную прямую, прямую, проходящую через данную точку, прямую, проходящую через две данные точки.  При помощи циркуля можно отложить от данной точки отрезок на данной прямой или описать окружность. Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразия задач;

Существует алгебраический метод решения задач на построение. Он состоит в том, что решение задач сводится к построению некоторого отрезка (или нескольких отрезков). Величину искомого отрезка выражают через величины известных отрезков с помощью формулы. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле.

Теорема. Отрезок можно построить по известным отрезкам циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда длина этого отрезка выражается через длины известных отрезков и рациональные числа при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления.

Рассмотрим сначала решение простых задач на построение отрезков с помощью оригами.

Задача 1. Дан квадратный лист бумаги со стороной а. Построить отрезки:

1) ; 2).

Решение.  1) Совместить две противоположные стороны квадрата, перегнуть лист. Получаем сгиб 1. От точки касания сгиба 1 и стороны до угла квадрата расстояние равно а/2 (рис. 2)

    Рис.2                                               Рис. 3

2)  Повторить пункт 1, совместить сгиб 1 с параллельной ему стороной, перегнуть лист. Получаем сгиб 2. От угла и до сгиба 2 и от сгиба 2 до сгиба 1 расстояние равно а/4 (рис. 3).  

1.4. Эксперимент «Сумма углов в треугольнике»

С целью доказательства или опровержения  теории, что оригами способствует лучшему усвоению материала по геометрии, мы  провели эксперимент, в рамках  изучения темы: «Сумма углов треугольника».

На первоначальном этапе теорема была объяснена математическим способом.

После объяснения материала был проведен контрольный срез по доказательству теоремы. Результаты представлены в обобщенной таблице 1.

Затем  эта же теорема была рассмотрена при  помощи  техники оригами.

По её итогам также провeдён контрольный срeз. Результаты срезов представлены, в сравнении в таблице 1.

Таблица 1 «Контрольный срез по изучению теоремы о сумме углов в треугольнике»

Таким образом,  использование техники оригами на уроках геометрии способствуют пониманию задач и повышению качества усвоения материала.

Докажем оригамным методом теорему «Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны».

Доказательство: Возьмём лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы – углы 1 и 2.

Согнём лист по секущей АВ. (Рис.4) Совместим вершины накрест лежащих углов – точки А и В. (Рис. 5-6) Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

             Рис. 4                                                                      

                                                                                  Рис.5

                  Рис.6

Заключение

Оригами имеет широкий диапазон применения: архитектура, математика, педагогика, психология, дизайнерство. Оригами находит применение и в других науках, а также широко используется в современных технологиях. Например, в 1970 году японским астрофизиком Корио Миурана основе техники жесткого оригами была разработана схема складывания «миура-ори», которая используется сегодня для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология употреблялась для складывания бумажных документов,  карт местности, упаковки. Оригами - это одно из направлений арттерапии - возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства. Оригами - это уникальная возможность развития тонкой моторики (двигательной функций организма человека, объединяющей биохимические, физиологические и психологические системы), что особенно важно при воспитании детей, точнее для развития интеллекта. Оригами - идеальная дидактическая игра, развивающая фантазию и изобретательность, логику и пространственное мышление, воображение и интеллект. Пространственная трансформация плоского листа позволяет легко осваивать сложные математические понятия, решать задачи по геометрии в форме игры. Японская мудрость издревле гласит:«Великий квадрат не имеет пределов».

Попробуй простую фигурку сложить,

И вмиг увлечёт интересное дело.   (А. Е. Гайдаенко.)

В результате исследовательской работы гипотеза была подтверждена. В ходе исследования я пришла к выводу о том, что оригами можно считать одним из способов решения математических задач. Закончив свою работу, я поняла, что оригами, как основа различных направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии. В результате работы я увидела на некоторых примерах задач, что многие понятия курса геометрии гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригами. Оригами может помочь при выполнении геометрических построений, при решении задач и доказательстве теорем школьного курса геометрии. На мой взгляд, применение на практике оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять при изучении геометрии и учить этому школьников.

Я думаю, что занятия оригами способствуют развитию пространственного воображения, глазомера, внимания, памяти, фантазии и творческого мышления.

Список литературы:

1. С. Афонькин. Искусство складывания из бумаги  Оригами. Искусство складывания из бумаги. – 1997.
2. С. Н. Белим.  Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998
3. Всё про оригами - искусство складывания из бумаги [Электронный ресурс]. Адрес: www.origami.ru
4. О.А. Щеглова. Оригами. Волшебный мир бумаги. - Издательство: Владис, Рипол Классик, 2007.
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8

Приложение  №1

Свойство биссектрис

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:

1. На треугольном листе бумаги обозначим угол 1.
2. Возьмем вторую вершину, (такую, которая при сгибании листа позволит разделить угол 1) и согнем ее так, чтобы сторона справа относительно угла 1 совпала с противоположной стороной от этого угла. Полученный сгиб будет биссектрисой угла 1.
3. Отметим угол 2. Произведем аналогичную операцию и получим биссектрису угла 2.
4. Отметим угол 3. Произведем аналогичную операцию и получим биссектрису угла 3.

В результате проведенных операций получим точку пересечения биссектрис.

Приложение № 2

Задача 1(на построение): Разделить прямой угол на три равные части.
  1) Оригамное  решение:

Найдем середину стороны. Совмещаем нижний правый угол с серединным перпендикуляром нижней стороны
Намечаем линию сгиба. На развернутом листе получили три  равных угла
2) Математическое обоснование :

Предположим, что нам необходимо вписать в квадрат равносторонний треугольник, причем так, чтобы одна из сторон совпадала со стороной квадрата.  Вершина треугольника будет лежать на серединном перпендикуляре, т.к. высота и медиана совпадают. Загнув край на 2-ом этапе, мы получаем равенство сторон и, следовательно, местонахождение вершины, причем линия сгиба будет являться биссектрисой угла треугольника, ч. т. д.