"Лента Мёбиуса"

Министерство образования и науки республики Бурятия

Муниципальное автономное  общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 35»

XVII -ая Республиканская научно-практическая конференция школьников

«Шаг в будущее»

Геометрия

Тема: «Лента Мёбиуса и ее свойства»

Выполнила: Понушкова Настя

                                                                                  ученица 11 «Б» класса

Руководитель: Заиграева Н. М.,

учитель высшей категории

                                                                 Улан-Удэ

Оглавление

Введение

1. Представление о ленте Мёбиуса

      1.1. Немного биографии

      1.2. Лента Мёбиуса

      1.3. Топологические свойства

2. Свойства и теоремы

      2.1. Формы бумажной полоски

      2.2. Развертывающаяся поверхность

      2.3. Теорема 1

      2.4. Теорема 2

      2.5. Теорема 3

Заключение

Список использованной литературы

Приложения

Введение

     В наше время очень актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Написано немало научных трудов, изобретений, в которых применяются свойства ленты. Мы рассмотрели применение листа Мёбиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту. Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике: если ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

     Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательств использовали свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

     Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной, изогнутой в пространстве большого числа измерений. Из этого же, в свою очередь, можно сделать вывод о реальности теорий зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мёбиуса, возвращаются в исходную точку, превращаясь в зеркальных своих двойников – сердце смещается вправо, правши превращаются в левшей, спираль ДНК меняет направление закрученности. В случае же изменения направления электронов вокруг ядер или вокруг своей оси произойдёт аннигиляция.

     Существует гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как утверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой своего зеркального двойника.

Цель исследования: изучить свойства ленты Мёбиуса и доказать их более коротким и рациональным путем.

Задачи:

1. систематизировать теоретический материал
2. создать презентацию “Все гениальное – просто, все простое - гениально”
3. продемонстрировать ряд свойств ленты Мёбиуса

Методы исследования: применялись общие методы, теоретический анализ и синтез

1. Представление о ленте Мёбиуса

1.1. Немного биографии

     Август Фердинанд Мёбиус (17.11. 1790 – 26.09.1868),(см. Приложение рис.1) немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. С 1816 г. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейпцигского университета. Известны труды по проективной геометрии. В частности, впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон ребер» и которые не имеют объема. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса).

1.2. Лента Мёбиуса

     Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница.

     Из этого свойства следуют удивительные превращения ленты. Если разрезать ленту вдоль посередине, то вместо двух колец получится одно. Причём оно больше и тоньше исходного. А вот если разрезать  ленту на расстоянии 1/3 её ширины от края, то получится два кольца. Одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма "затейливое" переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?.. Попробуйте сами!

     При повороте на 360 градусов получим двустороннюю поверхность. При закрашивании её непременно нужно перевернуть на другую сторону.

     При разрезании вдоль посередине получим два кольца, сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди - и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

      Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4... Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно и обратное утверждение: "гениально, как все простое".

     И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - ТОПОЛОГИЯ. (см. Приложение )

1.3. Топологические свойства

1. Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него.
2. Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.
3. Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.
4. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог попутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в свое зеркальное отражение.
5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

2. Свойства и теоремы

2.1. Формы бумажной полоски

      Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается  мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров» – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

     Сделать это можно так (см. Приложение рис. 2). Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его  чётное  число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка 2 видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбиуса, оказался смятым.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно  изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё ленту Мёбиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна λ, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это λ.

     Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно.

     Здесь мы докажем для λ неравенства

1,57 (π/2)  ≤  λ  ≤ 1,73 (√ 3 )

(при этом наличием склеиваемых участков полоски мы пренебрегаем: предполагается, что края полоски склеиваются встык)

2.2. Развертывающаяся поверхность

Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков его математический смысл.

     Запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить  без складки  пополам, но нельзя сложить вчетверо (Приложение рис. 3). Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус («фунтик»), но нельзя сделать сферу или даже её кусочек (Приложение рис. 4).

     Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его, математики называют развёртывающимися. (Примеры развёртывающихся поверхностей показаны на рис. 5 Приложения.). Существует целая теория развёртывающихся поверхностей, среди достижений которой – удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонарду Эйлеру). Я не собираюсь здесь излагать общую теорию развёртывающихся поверхностей: всякая общая теория скучновата. Я приведу только некоторые свойства развёртывающихся поверхностей, нужные для дальнейшего.

1. Через каждую точку A развёртывающейся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в A. Иначе говоря, в каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности.
2. Если через точку A, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём A не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий A, является плоским. В таком случае точку A мы будем называть плоской.
3. Если точка A, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, a, то окрестность точки A устроена так. Через точку A проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, скажем, b (Приложение рис. 6). Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая a, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколь угодно близко от точки A, имеются не плоские точки. Точку A в этой ситуации мы будем называть полуплоской.    

     Подчеркнём, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

     П р и м е р ы. Лист бумаги, свёрнутый в трубочку или в фунтик, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У трубочки образующие составляют семейство параллельных отрезков, у фунтика – семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих. Например, образующие и плоские точки развертывающейся поверхности, изображённой на рисунке 7 а, показаны на рисунке 7 б (на нём поверхность развёрнута в плоский лист бумаги): тонкие синие линии – образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.

Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника, то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причём у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек (см. рис. 7 б).

2.3. Теорема 1:  

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть лента Мёбиуса сделана из бумажной полоски длины l. Намотаем на неё длинную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мёбиуса. Отметим на длинной ленте прямолинейные образующие и плоские точки (как на рисунке 7б). Получится что-то вроде рисунка 8. Картина периодична: всё повторяется с периодом, равным 2l. При сдвиге влево или вправо на l картинка меняется, но строго определённым образом; именно, она переворачивается. Области плоских точек представляют собой четырёхугольники, ограниченные двумя отрезками противоположных краёв ленты и двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты. (Всё это следует из свойств 1-3, приведённых в п. 2.2) Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывным семейством образующих (Приложение рис. 9).

      Возьмём любую образующую из нашего семейства, скажем, [AB]. Если симметрично отразить её в средней линии полоски и затем перенести в любую сторону (скажем, вправо) на l, то получится отрезок CD, который тоже является образующей из нашего семейства (рис. 10). Заметим, что |AC| + |BD| = 2l. При наматывании нашей длинной ленты на ленту Мёбиуса образующие [AB] и [CD] займут одинаковое положение, причём точка A совместится с D, а точка B – с C; другими словами, отрезки AB и CD составят в пространстве угол в 180°. Между [AB] и [CD] располагается непрерывное семейство образующих. При движении от [AB] к [CD] величина угла, который эти образующие составляют в пространстве с [AB], непрерывно изменяется от 0° до 180°.

     Возьмём любое n и найдём между [AB] и [CD] такие образующие [A1B1], ..., [An–1Bn–1], что величина угла между [AB] и [AkBk] равна k·180°/n (точки A1, ..., An–1 в этом порядке лежат между A и C, а точки B1, ..., Bn–1 в этом порядке лежат между B и D; см. рис. 11). Длина каждой из образующих больше или равна l, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше 180°/n. Каждая из сумм |AA1| + |BB1|, |A1A2| + |B1B2|, ..., |An–1C| + |Bn–1D| не меньше длины a2n стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Это видно из рис.12 Приложения. На этом рисунке отрезки AkE и Ak+1Bk+1 равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону, |AkF| = |AkH| = 1 и [FG] || [EBk]. Мы видим, что |AkAk+1| + |BkBk+1| = |EBk+1| + |BkBk+1| ≥ |EBk| ≥ |FG| ≥ |FH| ≥ a2n.

     Итак, 2l = |AC| + |BD| = (|AA1| + |BB1|) + (|A1A2| + |B1B2|) + ... + (|An–1C| + |Bn–1D|) ≥ na2n, т.е. 2l  при любом  n не меньше половины периметра правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит, 2l не меньше половины длины самой этой окружности, то есть π, и l ≥ π/2. Теорема доказана.

2.4. Теорема 2:   λ ≤ √3

     Для доказательства этой теоремы достаточно объяснить, как склеить ленту Мёбиуса из полоски, длина которой больше √3. Предположим, что её длина в точности равна √3. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника (рис. 13). Перегнём полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба (рис. 14). Края AB и CD полоски совместятся, причём точка A совместится с точкой D, а точка B – с точкой C. Получится лента Мёбиуса.

     При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше √3, то  излом  по образующей можно заменить  изгибанием, производимым на узком участке (рис. 15). То есть, излом вдоль прямолинейного отрезка можно заменить близким к нему изгибанием.

     Получившаяся лента Мёбиуса показана на рисунке 16.

Т е о р е м а 3: Ленту Мёбиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, большей π/2.

     Делается это так. Возьмём достаточно большое нечётное n и построим правильный n-угольник, вписанный в окружность диаметра 1. Рассмотрим, далее, n содержащих центр окружности треугольников, каждый из которых ограничен стороной и двумя диагоналями n-угольника (рис. 17; здесь n=7). Эти треугольники покрывают наш n-угольник, некоторые его места – по нескольку раз. Приложим теперь эти n треугольников друг к другу так, как показано на рисунке 18, после чего отрежем по длинной медиане половину самого левого треугольника и приложим её к самому правому треугольнику (рис. 18). Получится прямоугольная полоска с отношением длины к ширине, большим π/2 и стремящимся к π/2 при n, стремящимся к ∞. Если последовательно перегнуть эту полоску по всем проведённым на ней линиям, чередуя направления сгиба (рис. 19), то треугольники расположатся как на рисунке 17. Отрезки AB и CD при этом почти совместятся – между ними окажется только несколько слоёв сложенной бумаги. При этом «почти совмещении» точка A совместится с D, а точка B – с C, так что если бы мы смогли «пропустить ленту сквозь себя» и склеить |AB| с |CD|, то получилась бы лента Мёбиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы это сделали в доказательстве теоремы 2. Что получится, я попробовала изобразить на рисунке 20.

Заключение

     Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательства были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

     В результате нашей работы мы доказали некоторые свойства ленты Мёбиуса более коротким и рациональным путём, чем это было сделано ранее. Они могут быть полезными для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.

     При выполнении данной работы я расширила свои познании в области геометрии. Познакомилась с основами топологии. При написании этой работы я узнала весьма интересные сведения: историю появления ленты Мёбиуса, ее свойства, области применения ленты, а также ряд удивительных гипотез.

     А в конце мне хотелось бы привести несколько строк о волшебной ленте.

Это всё она - лента Мёбиуса:     

Она магнитофонной ленты удлиняет срок,    

Пружину делает рабочей впрок.

И ремень передач, штурвал и принтер

Используют её всеядный принцип.

     А если философией заняться,

     То право, я боюсь, вы будете смеяться,

     Но лента даже тут находит примененье,

     Чтоб объяснить заветных слов пересеченье.

Бермудский треугольник тоже лента объясняет

Куда же корабли там прытко исчезают?

Попав в портал меж разными мирами,

Они, увы, навеки расстаются с нами.

     А астронавты, что по ленте той кочуют

     И в космосе незваные ночуют,

     Домой вернутся уж в обличии ином –

     Зеркальном отражении своём.

 Но главный я секрет приберегла к концу,

Поскольку нет уж равных этому венцу –

Познанию о том, что даже ДНК

Является фрагментом ленты той, во как!

     Вот почему генетикам так трудно код открыть,

     Что лента Мёбиуса, склонная хитрить,

     Всё время от вниманья ускользает,

     Расшифровать секрет не позволяет.

 На ленту Мёбиуса взобралась нынче я

 И говорю оттуда вам, друзья:

 Покуда лента эта существует,

 Пусть больше ничего вас не волнует!

Список использованной литературы

1. Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич Геометрия. – Ч. 2. – М.: Просвещение, 1976.
2. Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1988
3. Квант: научно-популярный журнал. – 1975, № 7; 1977, № 7.
4. С. Г. Смирнов. Библиотека “Математическое просвещение”. Вып. 27. – М: МУНМО, 2003
5. Энциклопедический словарь юного математика. – М: “Педагогика”, 1985
6. Б. А. Кордемский Топологические опыты своими руками Квант1974, №3,

Приложения

                                                                   Рис.1

Тополо́гия (от греч. τόπος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре.

                               Рис.2

                             Рис.3                                                                             Рис.4

                                 Рис.5                                                                        Рис.6

                                                          а)            Рис.7            б)

Рис.8

Рис.9

                               Рис.10                                                                 Рис.11

                             Рис.12                                                                  Рис.13

Рис.14

                    Рис.15                                                                  Рис.16

                  Рис.17                                      Рис.18                                           Рис.19

                                          Рис.20

Экспресс-опрос: