Исследовательская работа "Увлекательная девятка".

Увлекательная девятка.

Автор: Квич Александр, ученик 5 «Б» класса МОУ «Средняя школа №8»

Руководитель: Чернова Ольга Васильевна, учитель математики МОУ «Средняя школа №8.

   Однажды на уроке математики учительница показывала различные фокусы, она так быстро отгадывала спрятанные нами цифры, что мне стало очень интересно, как это можно разрешить.  Оказывается, что всё это решает только одно число - девять. Мне стало интересно, что означает число девять у разных народов мира, какими такими качествами оно обладает, как с помощью девятки можно проверить правильность решения примеров.

 Проблема моего исследования, почему  именно девятка, а не какое другое число помогает разрешить данные вопросы.

Объектом исследования было множество  натуральных чисел.

Предметом исследования являлись цифра и число девять.

Цель исследования получить модель использования числа девять для решения увлекательных  задач.

задачи:

 1.Изучить историю числа девять, его значение у разных народов мира;

2.Изучить свойства девятки;

3.Рассмотреть и доказать некоторые свойства девятки;

4.Научиться решать занимательные задачи

5.Рассмотреть правило остатков и применить его для проверки девяткой.

6.Формулировать выявленные свойства.

 В процессе моей работы у меня возникли две гипотезы.

Гипотеза. 1. Если использовать число девять, как инструмент для отыскания                            отсутствующего числа, то получим следующие результаты:

1). Возможность  быстрого  определения зачеркнутой цифры.

2).Правильного приписывания нужного числа к данному числу и определению спрятанной  цифры.

                   2. Если использовать « правило остатков», то получим способ проверки девяткой.

Пифагор говорил: « Все вещи можно представить в виде чисел». Числа – символ порядка, в противовес  хаосу.

Изучая различную литературу, я нашел интересные факты, связанные с числом 9:
1. Девять планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон).2. Девять чинов ангельских.3. Девять месяцев беременности.

4. Девять дней поминовения.5. Девять кругов ада.6. Девять сфер (небес) рая.
7. Девять муз искусства.

 Я рассмотрел некоторые свойства, связанные с девяткой. Проверил экспериментально и установил, что всегда  делится на девять:

Факт 1. Разность между любым числом и суммой его цифр.

Факт 2. Разность двух чисел с одинаковыми цифрами, но разным порядком их расположения.

Факт 3. Разность двух чисел с одинаковыми суммами цифр  у каждого из них.     И  доказал эти  свойства аналитически.

 Я рассмотрел задачу. Определение зачёркнутой цифры. Запишите два числа с одинаковыми цифрами, но разным порядком их расположения. Найдите  разность  между ними. Зачеркните в разности одну цифру и запишите сумму всех оставшихся цифр разности. Я смогу определить зачеркнутую цифру. Разность задуманных чисел всегда будет делиться на 9, по факту 2, значит, и сумма цифр разности будет делиться  на 9, тогда спрятанную цифру легко найти.

 Рассмотрим увлекательный  способ отыскания отсутствующего числа. Расположите произвольно числа от 1 до 9. Спрячьте одно из них, найдите сумму чисел, соединив их линией только один раз, и скажите мне результат суммы и  я скажу вам, какое число вы спрятали.

Рассмотрим таблицу умножения всех двузначных чисел с одинаковыми цифрами на 99 Как, зная только одну цифру произведения определить все остальные? Первая цифра + третья =9.  Вторая + четвертая=9.

Любое многозначное число приводится к «однозначному», путем сложения всех цифр в него входящих. Это можно найти в любой книге по нумерологии. Например, если на физическом плане мы имеем число 23, то на тонком ему будет соответствовать число 5. Потому как 2+3= 5  Точно так же числу 561478 будет соответствовать число 4. Потому как 5+6+1+4+7+8=31 и далее 3+1=4. Используя этот принцип, я составил таблицу наподобие таблицы умножения. Только все результаты умножения в этой таблице сведены к однозначному числу, описанным выше способом. Вот, что у меня получилось. Посмотрите на это внимательно! Видите?

Я был заинтересован  полученным результатом  и сделал некоторые выводы.
Вывод 1. При умножении ЛЮБОГО числа на 9 в итоге всегда получаем 9.
Затем я выдел все столбцы и строки, имеющие цифру 9, и тем самым разбил таблицу на квадраты и прямоугольники.

Вывод 2. Сумма чисел в каждом полученном квадрате и прямоугольнике равняется 9. (опять эта девятка!) Смотрим. По верхнему ряду. Верхний  синий квадрат: 1+2+2+4 = 9. Следующий за ним белый прямоугольник: 3+6=9. Верхний красный квадрат: 4+5+8+1=18  1+8=9. Следующий за ним белый прямоугольник: 6+3=9. Верхний синий квадрат: 7+8+5+7=27  2+7=9.

И так далее.

Вывод 3. Всего цифр в таблице 81, что соответствует 8+1=9.

Вывод 4. Сумма всех цифр таблицы (после приведения к однозначному числу) равняется 9.

Вывод 5. Всего выделенных участков 36. 3+6=9. 

Вывод 6.Закрашенных квадратов 9. Оставшихся участков- 27, что тоже соответствует девяти.

Факт 4. Проверка девяткой правильности выполнения действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Проверка девяткой основана на «правиле остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения равен произведению остатков.  

Рассмотрим примеры.

    12452           5    1+2+4+5+2=14 1+4=5   

+    5386           4     5+3+8+6=22    2+2=4  

    36548           8    3+6+5+4+8=26 2+6=8    

   54386            8   5+4+3+8+6=26  2+6=8    5+4+8=17 1+7=8   8=8

 Проверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность за слагаемые. Аналогично можно проверить действия умножения и деления.

Итак, в процессе моей работы у меня появилась гипотеза, если использовать число девять как инструмент для отыскания спрятанной цифры, то можно легко эту цифру найти, можно без труда умножить двузначное число составленное из одинаковых цифр на 99 и выполнить проверку  действий сложения , вычитания, умножения и деления , расширить знания о числах и цифрах. И я создал модель девятки. Эту модель могут использовать как ученики, так и учителя на уроках математики. О способе проверки девяткой я рассказал ученикам своего класса, а также ученикам 7 и 10 классов. Я научил их выполнять проверку с помощью девятки. Данный способ ребят очень увлек и заинтересовал, особенно десятиклассников. Теперь они могут на ЕГЭ, где запрещено пользоваться калькулятором, без особых проблем проверить себя.