Проектная работа "Дополнительные построения в решении геометрических задач задач"

Слайд 1

Дополнительные построения при решении планиметрических задач Молчанов Кирилл, МБОУ СОШ № 46 с УИОП, 8 класс XX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

Слайд 2

Процент выполнения олимпиадных задач с использованием дополнительных построений в 2015-2017 годах на региональном и заключительном этапах олимпиады имени Леонарда Эйлера Год Уровень олимпиады Общее количество участников Количество геометрических задач Задачи с использованием метода дополнительных построений % участников, получивших максимальный балл (7 баллов) % участников, получивших минимальный балл (0 баллов) или не приступавших к решению 1 задача 2 задача 1 задача 2 задача 2015 заключительный 173 2 2 69% 14% 17% 76% 2016 заключительный 239 2 2 23% 1% 64% 97% 2017 заключительный 239 2 2 24% 77% 64% 20% 2018 региональный 2181 2 2 12% 26% 76% 66% 2018 региональный (ХМАО - Югра) 23 2 2 0% 26% 100% 70% Процент выполнения олимпиадных задач с использованием дополнительных построений в 2018 году на региональном этапе в ХМАО - Югре

Слайд 3

Цель работы: изучить метод дополнительных построений при решении геометрических задач Задачи: - изучить различные виды дополнительных построений, которые используются при решении геометрических задач; - провести группировку различных видов дополнительного построения; - рассмотреть разные случаи использования одного и того же дополнительного построения для поиска рационального решения .

Слайд 4

Приёмы дополнительного построения Разбиение фигур проведение перпендикуляров, радиусов окружности в точки касания, высот в трапеции Дополнение фигур проведение в многоугольнике прямой, параллельной одной из имеющихся (или параллельных прямых) разбиение фигуры на части с целью получения треугольника и параллелограмма построение дополнительного треугольника построение параллелограмма, с помощью продления медианы построение вспомогательной окружности

Слайд 5

Разбиение фигур. Построение прямой параллельной одной из имеющихся (или параллельных прямых) Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Слайд 6

Разбиение фигур. Разбиение фигуры на части для получения треугольника и параллелограмма Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

Слайд 7

Дополнительное построение треугольника Рис. 10 Рис. 9 Рис. 8 Рис. 11

Слайд 8

Дополнительное построение треугольника Рис. 13 Рис. 14 Рис. 12 Рис. 15

Слайд 9

- Прямоугольный треугольник достраивается до равнобедренного треугольника - Если дана трапеция, то с помощью продолжения боковых сторон она достраивается до треугольника - Если в треугольнике, параллелограмме или трапеции дана биссектриса одного из внутренних углов, то проводится дополнительное построение треугольника Дополнительное построение треугольника Рис. 16 Рис. 16 Рис. 17 Рис. 19 Рис. 18

Слайд 10

Построение дополнительной окружности Рис. 11 - Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы. - Если дан четырехугольник, у которого суммы противоположных углов равны, то вокруг него описывается окружность. Признаком существования для четырехугольника описанной окружности обладают квадрат, прямоугольник и равнобедренная трапеция. - Если дан четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, то в него вписывается окружность. - Если даны две окружности с общей внешней касательной, касающиеся друг друга внешним образом, то в рассмотрение вводится треугольник, вершинами которого служат три точки касания данных фигур

Слайд 11

Решений одной задачи с помощью построения прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже Задача. Дан треугольник АВС. Точка N принадлежит АС, точка M принадлежит ВС. Известно, что AN:NС=1:5 и BM:MC=1:2. AM пересекает BN в точке Q. Определите BQ:QN. ( Генкин, Г. З. Три подхода к решению некоторых задач // Математика в школе. 2002. № 3 )

Слайд 12

Проведение прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через противоположную вершину (3 случая)

Слайд 13

Проведение прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через данные точки M, N, Q (7 случаев)

Слайд 14

Проведение прямой, параллельной отрезку АМ (3 случая)

Слайд 15

Проведение прямой, параллельной отрезку BN (3 случая)

Слайд 16

Построим AF  BC BN  AF = F 1) ∆ AFN  ∆ BNC по двум углам Из подобия треугольников следует Тогда AF =0,6 y 2) ∆ BQM  ∆ AQF по двум углам. Поэтому 3) Пусть FN = t , тогда BN =5 t . Пусть QN = h ,тогда 5t+5h=15t-3h, h=1,25t, BQ=BN-QN=5t-1,25t=3,75t Ответ: BQ : QN =3:1 Проведение прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через противоположную вершину (3 случай)

Слайд 17

Выводы 1. Есть 16 различных случаев выполнения дополнительных построений в рассматриваемой задаче. Все они основаны на подобии треугольников, различаются случаи лишь количеством рассмотренных пар подобных треугольников, которых может быть две, три и более. 2. Наиболее рациональным вариантом решения задачи будет проведение параллельной прямой для стороны AC через точку В. 3. Умение находить самостоятельно удачное дополнительное построение приходит с опытом решения задач.

Слайд 18

Список используемой литературы и источников Атанасян, Л. С. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев – 6-е изд., перераб. – М. : Просвещение, 2016. Бежану, Т. В. К вопросу о геометрических решениях геометрических задач. Альманах современной науки и образования Тамбов: Грамота, 2009. № 6 (25). C. 26-29. ISSN 1993-5552. Генкин, Г. З. Три подхода к решению некоторых задач // Математика в школе. 2002. № 3 с. 25-25. Дурова, Е.М. Метод дополнительных построений при решении планиметрических задач / Е.М. Дурова, Э.Ф. Капленко; Воронеж. ун-т.– Воронеж, 1995.– 16 с.– Деп. в ВИНИТИ 18.09.95, № 2580–В95. Итоговые протоколы заседания жюри по итогам регионального этапа всероссийской олимпиады школьников в Ханты-Мансийском автономном округе - Югре в 2017-2018 учебном году [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://olymp.iro86.ru/index.php/home/2018-01-22-04-25-52 , свободный – (12.03.2018). Пойа, Д. Как решать задачу: Пособие для учителей / Пер. с англ. В. Звонарёвой и Д. Белла; Под ред. Ю. Гайдука. - Изд. 2-е.- М.: Учпедгиз, 1961. - 207 с.: ил. Пойа Д. Как решать задачу. – М., 1961 с.74. Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. / И. Ф. Шарыгин. - Москва: Просвещение, 1989. - 252 с. Формирование исследовательских компетенций учащихся в процессе обучения решению планиметрических задач: [электронный ресурс] учеб. пособие / С. Н. Скарбич ; науч. ред. д-р пед. наук, проф. В. А. Далингер. – 2-е изд., стереотип. – М. : ФЛИНТА, 2011. – 194 с.