Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа»

пгт Троицко-Печорск Республики Коми

Исследовательская работа по теме

Теория вероятностей вокруг нас

Автор работы:

Ерофеев Иван,

обучающийся 9б класса

Руководитель:

Цыбренкова Антонида Владимировна,

 учитель математики

2017г

пгт Троицко-Печорск

Содержание

Оглавление

Введение…………………………………………..…………………………..….3                  

Теоретическая часть

Глава I. Теория вероятностей – что это?………………..……………............…6

 Глава II. Основные понятия теории вероятностей……………….…………...7

2.1. Случайные события…………………………………………….……….…..7

2.2. Перестановки. Размещения. Сочетания…………………….…………..…9

Глава III. Теория вероятностей  в жизни……………………………………..11

Глава IV. ОГЭ  как пример использования теории вероятностей жизни.... ..14          

2.1. Основной государственный экзамен ………………………………….13-14                                                                  Заключение……………………………………………..……………………….16

Литература…………………………………………………………....……..…..16Приложения………………………………………………………….………… 18

Высшее назначение математики…состоит  в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н.Винер

Введение

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.  Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно. Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклоняться от него. Они не были робами случая, но вместе с тем они были очень далеки от теории вероятностей. Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики-какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встречах со случайными событиями.

Мы,  не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случится”, “это маловероятно”. Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Кто из двух шахматистов будет играть белыми? Какая из двух футбольных команд начнет игру? Чтобы решать такие вопросы по справедливости, принято подбрасывать монету, потому что «орел» ил и»решка» выпадают примерно с равной частотой. У меня возникли вопросы: как называется наука, которая изучает подобные вопросы? Поможет ли ее знание мне при сдаче ОГЭ?  Сегодня я хочу вам рассказать об этой науке и  о том что у меня получилось в ходе поиска ответов на эти вопросы.

Цель моего  исследования: выявить где встречается теория вероятностей в жизни человека и поможет ли теория вероятностей  успешно сдать экзамен обучающимися  9б класса путем угадывания правильного ответа.

Для реализации целей я  поставил  перед собой задачи:

1) собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

2)  рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3)  провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки обучающимися  9-х классов нашей школы при сдаче  ОГЭ по математике путем угадывания правильного ответа.

Я выдвинул  гипотезу: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования – теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей. Методы  исследования:1) анализ,2) синтез, 3) сбор информации, 4) работа с печатными материалами, 5) эксперимент.

Я считаю, что вопрос, исследованный в моей работе, является актуальным по ряду причин:

1. Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
2. Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника основной школы  – Основной государственный экзамен.  Успешная его сдача - это  дело случая или нет?

Глава 1.Теория вероятностей.

Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали Нельзя сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Оказывается случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.

Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». В словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как  «возможности осуществления чего-нибудь». И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений».

Под случайными явлениями понимаются явления с определенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Очевидно, что в природе, технике, экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XVI – XVII вв. Они принадлежали  Д. Кардано, Б.Паскалю, П. Ферма, Х. Гюйгенсу, и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Я. Бернулли (XVII – начало XVIII в.), который доказал теорему, теоретически обосновавшую накопленные ранее факты и названную в дальнейшем «законом больших чисел».

Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на XVII – XIX вв. благодаря работам А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона и др. Весьма плодотворный период развития «математики случайного» связан с именами русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Люпунова и А.А. Маркова( XIX – XXв.)

Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей  внесли российские математики С.Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А.Н. Колмогоров, Е. Нейман. Особо следует отметить неоценимый  вклад академика А.Н. Колмогорова в становление теории вероятностей как математической науки.

Глава 2. Основные понятия теории вероятностей.

2.1 Случайные события.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Случайным событием (возможным событием или просто  событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Событие называется  достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется  невозможным,  если в результате испытания оно вообще не может произойти.

События называются  равновозможными,  если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Например, извлечение туза, короля из колоды карт.

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Численная мера степени  объективной возможности наступления события называется  вероятностью события.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А),тогда формула для вычисления  вероятности  записывается так:

Р(А)=, где m ≤n(1)

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания.  

где Р(А) -   вероятность события А;

m – число случаев, благоприятствующих событию А;

n – общее число случаев.

Пример 1.Гена, Юра, Филипп, Вадим и Таня бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Таня.
Решение

Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 1 случай, когда игру начинает Таня, а количество всех случаев 5. Поэтому искомое отношение равно 0,2 

Ответ: 0,2.

Пример2. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, восемь неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение

Из 100 фонариков 100 − 8 = 92 исправны. Значит, вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется одним из них равна 0,92

Ответ: 0,92

Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие  исследуемому испытанию исходы. Решая  экзаменационные КИМ, часто встречается именно этот вид вероятности. Вероятностные оценки широко используются в физике и биологии, в социологии и демографии, в экономике и политике, в спорте и в повседневной жизни каждого человека. Если, например, в прогнозе погоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70%, это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики и стоит, выходя из дома, захватить плащ или зонт.

 Пример 1.  При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n=6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны. Событию А – « появление четного числа очков» благоприятствуют три исхода – 2, 4 и 6 очков. По формуле Р(А)=1/2.

Ответ: 1/2.

2.2  Перестановки. Размещения. Сочетания

Некоторые комбинации объектов встречаются наиболее часто и имеют определённые названия: перестановки размещения и сочетания. Рассмотрим самые простейшие, именно те, которые встречаются в курсе математики 9 класса и необходимы при сдачи ОГЭ.

2.2.1.Перестановки.

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно

Пример 1.  Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно

2.2.2.Размещения.

Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов. ( 0<= m<=n). Если комбинации из n  элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения, то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. Число размещений из n  элементов по m  равно

.

 Пример 2. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования.

11

2.2.3 Сочетания.

Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют  сочетаниями   из n элементов по m. Число сочетаний из n элементов по m равно

.

Пример 3.  В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. их число равно =120.

В приложении к данной работе я представлю задачи из открытого банка заданий (ФИПИ), которые встречаются в теме «Теория вероятностей»

Глава 3. Теория вероятностей в жизни.

Связь теории вероятностей с действительной жизнью очень тесная. Еще в глубокой древности появились азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы (т.е. бросание костей из конечностей животных) и в игральные кости (кубики с нанесенными на гранях точками). В средневековой Европе азартные игры способствовали зарождению и становлению комбинаторики и теории вероятностей.

В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.

Игры в кости

Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости — каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.

Лотерея

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота).

Карточные игры

Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде.

Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет.

Кроме решения задач, связанных с различными играми и лотереями, Л. Эйлер решал задачи, связанные с проблемами страхового дела и демографии. Он сформулировал 6 важных задач демографии и указал формулы для их решения. Приведу две его задачи.

«Найти вероятность того, что лицо возраста m лет проживет еще n лет.

Из данной группы в M лиц данного возраста m лет найти число лиц, которые проживут еще n лет».

Его идея решения подобных задач, служит основой для демографических расчетов, и по сей день.

         Вот пример задачи, где ясно прослеживается связь теории вероятности с экологией.

Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, из которых 5 оказались помеченными. Сколько примерно рыб в пруду?

Решение. Пусть в пруду х рыб. Из них 90 рыб помеченных, значит вероятность выловить помеченную рыбу составляет 90 : х. Выловили 84 рыбы, из них помеченных – 5. Значит, вероятность выловить помеченную рыбу – 5:84. Так как эти вероятности равны, то можно составить уравнение: 90 :х = 5:84.

Решим это уравнение: 5х = 90∙84;

х = (90∙84): 5 = 1512

Ответ: в пруду приблизительно 1512 рыб.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины теория вероятности позволяет достоверно вычислить колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Также теория вероятности является основой такой науки как статистика. На формулах этого раздела математики построено так называемая теория игр.

Глава 4. ОГЭ как пример использования  теории вероятностей жизни

Я  обучаюсь в 9 классе, и   мне в этом году предстоит сдавать экзамены.

   Среди нерадивых учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?» Я провел   опрос среди обучающихся своего класса: можно ли практически угадать 7 заданий, т.е. сдать ОГЭ по математике без подготовки. Результаты такие: 30% учащихся считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом.

Я решил  проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.  

Также я познакомился с формулой Бернулли — это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли,  выведшего формулу:

P(m)=

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

• найти   общее количество  исходов  этой ситуации;
• найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;
• найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

По данному предмету тест включает 20 заданий 1 части  из которых 7 заданий с выбором ответа из  предложенных. Для того, чтобы пройти порог на экзамене в 2017 году достаточно правильно выполнить 8  заданий. Каждое задание имеет несколько вариантов ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем. Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Решение: В данном случае

n = 4 всего варианта ответа

m = 1 правильно вариант ответа

p = 1/4

q = 1-1/4=3/4

Вычисление 4!/1!*(4-1)! *(1/4)*(1/3)^3=0,037

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,037%!

На примере демонстрационного варианта теста  ОГЭ 2017 года я предложил  обучающимся 9б класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось. Средний балл по классу составил 1,81.

В результате проведенного эксперимента-исследования и применяя формулу Бернулли, я доказал, что сдать экзамены путем угадывания ответа невозможно. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ОГЭ,  и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения.

Заключение

В результате проделанной мной работы, я добился  реализации поставленных перед собой задач:

во-первых, понял, что теория вероятностей - это огромный раздел науки математики и  изучить его   в один заход невозможно;

во-вторых, перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я понял, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности;

в-третьих, исследовав вероятность успешной сдачи обучающимися 9б класса ОГЭ  по математике, я пришел к выводу, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ОГЭ. Таким образом,  выдвинутая мной гипотеза подтвердилась: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни. Я доказал, что к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось.

   На примере моей работы можно сделать и более общие выводы:  подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

Литература

1. Алгебра 9 класс. Ю.Н Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Москва «Просвещение», 2015г

2. Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.

3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.

4. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984.

5. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.
6. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007.
7. Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.
8. Федосеев В.Н .Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.
9. Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд. перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997.

Ресурсы:

1. http://www.blagodeteleva-vovk.com/theory/never.htm
2. http://habrahabr.ru/blogs/gtd/101695
3. http://www.prosto.ws/2010/03/02/ot-teorii-veroyatnosti-k-teorii-vsego
4. http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter4/section3/paragraph1/theory.html
5. http://ru.wikipedia.org/wiki

6. www.fipi.ru

Приложение 1 Ответы на вопросы теста

2              

4

5  

6

7

Приложение 2

Распределение обучающихся по количеству набранных баллов

Приложение 3

1. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.
2. На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
3. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Кате не выпадет.
4. На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
5. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
6. Из 1600 пакетов молока в среднем 80 протекают. Какова вероятность того, что случайно выбранный пакет молока не течёт?
7. На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 3 с мясом, 6 с капустой и 3 с вишней. Максим наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
8. Из 1200 чистых компакт-дисков в среднем 72 непригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранный диск пригоден для записи?
9. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 чёрных, 3 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
10. Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что случайно выбранный монитор работает?
11. Из 600 клавиатур для компьютера в среднем 12 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная клавиатура исправна?
12. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?
13. В каждой двадцатой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдёт приз в своей банке.
14. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.
15. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечётное число очков.
16. В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек, из них 13 — красные,
    19 — зелёные, 44 — фиолетовые, ещё есть синие и чёрные. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или зелёная ручка.
17. Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орёл. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
18. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,516. В 2005 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 497 девочек. Насколько частота рождения девочки в 2005 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?
19. Андрей выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 10.
20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз.
21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз
22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.
23. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,17. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
24. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
25. В магазине канцтоваров продаётся 118 ручек, из них 32 — красные,
    39 — зелёные, 7 — фиолетовых, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана зелёная или чёрная ручка.
26. В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу,
    четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу
    в магазине фонарик окажется исправен.