Исследовательская работа на тему:

«Интересные способы умножения чисел»

Выполнила : Королева София

 ученица 4 класса

МБОУ НОШ №21

Руководитель: Ситникова О.Н.

Южно - Сахалинск

2015г

Оглавление

Введение        3

Основная часть. Различные способы умножения        5

1. Ведический способ умножения        5

2. Русский способ умножения        6

3. Графический способ умножения        9

4. Практическое использование результатов исследования        12

Заключение        13

Список литературы        14

Что такое умножение?
Это умное сложение.
Ведь умней умножить раз,
Чем слагать все целый час.

А.Усачёв

Введение

К сожалению, наш мир устроен так, что мы вынуждены запоминать все нужное и ненужное. Мозг человека как расширяемый склад. И то, как он расширится – целиком в наших руках.

Еще в 1 классе я спросил у мамы: «Что такое умножение?». Этот вопрос возник у меня потому, что моя старшая сестра выполняла задание по математике, связанное с этим действием. Мама мне объяснила принцип умножения чисел, и я очень легко выучил таблицу умножения. Чем старше я становился, тем сложнее были задания по математике, в которых необходимо было умножать разные числа: однозначные на многозначные и многозначные на многозначные. На уроках математики учителя подсказывали, как можно проще считать, применяя различные математические хитрости. Привычные и сложные операции можно выполнять существенно быстрее и эффективнее. В своей исследовательской работе мне хочется рассмотреть дополнительные способы счета, отличные от тех, которые преподаются в школе. Применение различных способов умножения позволит легче считать «в уме», что пригодится как на уроках математики, так и при сдаче экзаменов, а также в повседневной жизни.

Цель моей  работы: исследовать различные «непифагоровы» способы умножения чисел.

Объект исследования: математическая операция «умножение».

Предмет исследования: способы умножения чисел.

Актуальность: в школе изучают таблицу умножения, а затем учат умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения однозначных и многозначных чисел. Исследование различных способов умножения позволит легче считать «в уме», что пригодится как на уроках математики, так и при сдаче экзаменов в 9 и 11 классе, а также в повседневной жизни при покупке товаров, проведении различных подсчётов.

Новизна: знакомство с различными способами умножения.

Задачи  исследования:

1.        Изучить литературу по теме.

2.        Ознакомить учащихся с различными способами умножения чисел.

3.        Проанализировать результат (проследить, улучшился ли устный счёт учащихся).

Практическая значимость: пробудить интерес учащихся класса к исследуемой теме, применять полученные знания в повседневной жизни.

Этапы исследования:

- сбор материала о способах умножения чисел;

- систематизация и обобщение результатов исследования;

- вывод.

Методы исследования:

- поисковый;

- описательный;

- метод анализа и обобщения.

Основная часть. Различные способы умножения

В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Преподаваемый метод умножения «в столбик» в школе – один из способов. Но самый ли эффективный ли это способ?

1. Ведический способ умножения

Считается, что основы современной математики были заложены в работах Евклида, Ньютона и Лейбница. Имеется, однако, ряд работ, неизвестных широкому кругу читателей, изложенные в Ведах - древнейшем памятнике человеческой культуры, превосходящем по возрасту, по крайней мере, на несколько тысяч лет все известные древнегреческие труды. Веды, в переводе с санскрита источник знания (ср. с русск. ведать), согласно индийским верованиям, содержат все знания, как научные, так и этические, исходно данные человечеству. Веды, написанные на санскрите в форме коротких изречений (сутр), не содержат теорем и математических выкладок. Вместо этого имеются операционные инструкции - правила решения определенных задач. Интерпретация инструкций требует как глубокого знания ведической культуры, так и профессиональной математической подготовки. В «Ведах» описано быстрое умножение двух двузначных чисел. Этот метод назван «ведическим» и довольно широко применяется в современной Индии.

Допустим, мы хотим умножить числа: 32×12. Сначала умножим цифры, стоящие в старшем разряде (разряде десятков) и запишем на первое место в произведение:

32×12=3…

Далее умножим числа, стоящие в младшем разряде (разряде единиц) и запишем на последнее место в произведении:

32×12= 3… 4.

Теперь перемножим наружные цифры и внутренние цифры, сложим их и запишем в произведение между раннее записанными числами:

32* 12=384

(2*1+3*2=8).

Итак, 32*12=384.

В случае если при умножении получается двузначное число, то привычно пишем последнюю цифру в результат, а первую прибавляем в уме к предыдущему разряду.

Например:

1. 42*18=4 …
2. 42*18=4…6 (1 в уме)
3. 42*18=4(4*8+2*1+1в уме)6=4(35)8=756

2. Русский способ умножения

Весьма отчётливое понимание значения умножения выражено в старинной «Арифметике» Магницкого.

«…Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения». В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы раньше упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит

таблицы и гордит,

Не может познати

числом что множати

И во всей науки,несвобод от муки,

Колико не учиттуне ся удручит

И в пользу не будет аще ю забудет.

Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими с глубокой древности.

Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа. Вот пример, необходимо умножить 32×13. Для этого первый множитель будем делить на 2, а второй множитель умножать на 2:

Табл.1

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

(32 × 13) = (1 × 416).

И всё бы в этом объяснении было здорово, если бы оно было исчерпывающим. Но, достаточно взять пару других примеров, с другими числами (см. Табл 2.), как будет нетрудно увидеть недостаточность описания и объяснений действия упомянутого алгоритма русского умножения.

В частности, если какое-либо из чисел будет нечётным…

Если нечётным будет только один из множителей, то делить необходимо чётный множитель, а умножать нечётный. Предположим, нам необходимо умножить 16 на 75. (Табл.2) Делим первый множитель на 2, а второй умножаем на 2, пока первый множитель не станет равным 1.

Табл. 2

Если же оба множителя – нечётные числа, то один из них представляют в виде суммы ближайшего чётного и единицы и производят те же самые операции, а затем добавляется остаток.

Т.е. если в нашем примере вместо 16 взять 17, то 17 = 16 + 1, что даст (16*75) + (1*75) = 1200 + 75 = 1275. Вся эта нехитрая, но довольно изящная арифметика была представлена вот на таком плакате (Рис.1):

Рис.1

Есть ещё одно описание и правила применения данного способа умножения.

В статье М. А. Цайгера «Русский, народный способ умножения» способ «русского умножения» описан так: Итак, пусть нам необходимо умножить два числа. Например, числа: 97 и 19. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается. Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа, и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение (см. рис.2).

Рис. 2

Итак, 97×19 = 1216 + 608 + 19 = 1843.

Преимущество данного метода в том, что надо знать не всю таблицу умножения, а лишь уметь умножать и делить на два.

3. Графический способ умножения

Этот способ известен очень давно. В некоторых источниках его называют «китайским», а в некоторых «японским». Суть графического способа в рисовании линий и нахождении их точек пересечения. Рассмотрим на примере.

Допустим, необходимо умножить 31×12.

В первом множителе в разряде десятков (первая цифра) стоит число 3, а в разряде единиц (второе число) стоит число 1. Рисуем линии, количество которых соответствует этим числам (рис 3):

Рис 3.

Во втором множителе в разряде десятков (первая цифра) стоит число 1, а в разряде единиц (второе число) стоит число 2. Рисуем линии, количество которых соответствует этим числам (рис 4), пересекая уже начерченные раннее линии так, чтобы десятки пересеклись с десятками, а единицы с единицами:

Рис 4.

Теперь считаем точки пересечения начерченных линий (рис. 5):

В голубом овале получилось 3 точки пересечения, в розовом – 7, а в жёлтом – 2 точки пересечения. Значит искомый результат: 32×12=372.

В случае если при подсчёте точек пересечения получается двузначное число, то привычно пишем последнюю цифру в результат, а первую прибавляем в уме к предыдущему разряду.

Этот метод позволяет перемножать не только многозначные числа (что почему-то акцентируют), но и однозначные. Допустим, вы забыли, сколько будет пятью семь. Нарисуйте пачку из пяти параллельных отрезков и другую пачку из семи параллельных отрезков, пересекающих первую пачку. Посчитайте точки пересечения - получите 35. На рисунке 6 видна тождественность ведического метода и стандартного умножения столбиком.

Рис.6

Теперь вопрос - а что, если в записи числа присутствует ноль? В этом случае для него не рисовать линию? Линию рисовать нужно, но ее надо пометить (например, сделать пунктирной) и число пересечений между ней и другими линиями (в том числе, другими пунктирными) всегда считать равным нулю.

На рисунке 7 приведён пример умножения чисел, в записи которых присутствует ноль: 203х31:

Рис. 7

Преимущество графического метода умножения в том, что он позволяет умножать числа, не зная таблицы умножения вообще. Нужно уметь только складывать.

4. Практическое использование результатов исследования

С этими интересными способами умножения я поделился с учащимися своего класса на уроке математики. Ребята заинтересовались ими. Верность умножения проверяли привычными действиями в столбик. Несколько человек стали применять эти способы умножения при вычислениях, что повысило их технику счёта.

На диаграмме показано изменение техники счёта у учащихся:

Заключение

Исследовательская работа посвящена различным интересным способам умножения многозначных чисел, которые представляют собой оригинальные, непифагоровы способы вычисления.

Сделан исторический обзор некоторых источников, содержащих описание числовых манипуляций отвечающих умножению, а также других, похожих способов действия.

Показано, что каждый из способов умножения имеет ряд важных отличительных признаков, делающих его уникальным и универсальным средством умножения (среди подобных ему способов).

Старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта показывают, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись.

Умение считать является необходимым элементом образования, так как ошибки в расчётах сбивают с пути и внимание, нужное для осмысления хода решения какой-то задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчётами.

Нами рассмотрены старинные способы умножения и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Список литературы

1. Катлер Э.,  Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. Просвещение, 1967.
2. Перельман Я.И. Быстрый счёт. Ленинград, 1941. 12 с.
3. Депман И. «Рассказы о математике».  – Ленинград.:  Просвещение, 1954. – 140 с.
4. Корнеев А.А.  Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/
5. Олехник  С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К.  «Старинные занимательные задачи». –  М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

Интернет – источники:

6. http://kids.to-var.com/index.php/sunduchok/stihi-i-pesni/292
7. http://anovichkov.msk.ru/?p=1699
8. http://www.numbernautics.ru/content/view/278/44/
9. http://www.tower-libertas.com/showthread.php?t=3917
10. http://lib.rus.ec/b/193685/read
11. http://www.school.edu.ru/attach/8/573.pdf
12. http://www.altai.fio.ru/projects/group1/potok33/site/proekt1/travel/umnozenie.htm