Основы координатного метода решения стереометрических задач

Опубликовано Воронина Наталья Владимировна вкл 31.07.2019 - 20:14

Автор:

Смольяков Вадим

Если у ученика 11 класса имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического
рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, мне кажется, что стоит заняться изучением координатно-векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца. К сожалению, в школьном курсе геометрии решению задач координатно-векторным методом уделяется мало времени.

Скачать:

Вложение	Размер
broshyura_smolyakov.docx	576.79 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное казенное образовательное учреждение «Средняя школа №5 городского округа г. Михайловка Волгоградской области»

Основы координатного метода решения стереометрических задач

Выполнил: Смольяков Вадим 11Б

Руководитель: Воронина Наталья Владимировна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………….…….. 3

Расстояние между двумя точками................................................ 4

Расстояние от точки до прямой…................................................. 4

Расстояние от точки до плоскости.............................................. 6

Угол между двумя прямыми......................................................... 8

Угол между прямой и плоскостью…………….…....…….…… 10

Угол между плоскостями............................................................. 12

Задачи для самостоятельного решения...................……….….. 15

Ответы...................…………....................................................… 18

Список и источники литературы…............................................ 19

Введение

Координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
Находим координаты необходимых для нас точек.
Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
Переходим от аналитических соотношений к геометрическим

В задании С2 чаще всего требуется найти:

угол между двумя скрещивающимися прямыми
угол между прямой и плоскостью,
угол между двумя плоскостями,
расстояние между двумя скрещивающимися прямыми,
расстояние от точки до прямой,
расстояние от точки до плоскости

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками A и B есть длина отрезка AB находится по формуле:

AB =, где A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb)

Пример.

Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2 =
= √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 + (-2 - 3)2 = √72 + 12 + 52 = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Пример.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки

D1 до прямой РQ, где Р и Q – середины соответственно ребер

A1B1 и ВС.

Решение.

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке A. Найдем координаты точек P(0; 0,5;1),Q( 0,5; 1; 0),D1( 1; 0; 1).

Из треугольника D1PQ, используя формулу

Находим

Ответ:

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Также расстояние от точки M(x0,y0,z0) до плоскости α, заданной уравнением ax+by+cz+d=0, можно вычислить по формуле

Пример.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки A1 до плоскости BDC1

Решение.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки B(0;1;0), D(1;0;0) и С1(1;1;1). Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости ax+by+cz+d=0. Получим систему уравнений

Ответ:

Угол между двумя прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 .

Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

При нахождении угла между прямыми m и l используют формулу

или в координатной форме

где - векторы, соответственно параллельные этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или

Пример.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми AE и DF, где E и F - точки, расположенные на ребрах CD и C1D1 так что

Решение.

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке

Тогда

, где α - искомый угол

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90 .

Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0 .

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле

где n {x1;y1;z1} – вектор нормали плоскости α, p{x2;y2;z2} – направляющий вектор прямой l. Прямая l и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда x1x2+y1y2+z1z2=0

Пример.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми AD1 и плоскостью α, проходящей через точки A1, E, F, где точка E - середина ребра C1D1, а точка F лежит на ребре DD1, так, что D1F=2DF

Решение.

Пусть n = {x,y,z} - вектор, перпендикулярный плоскости α, - искомый угол

Вектор n найдем из условий перпендикулярности этого вектора векторам A1E и A1F, т.е. из условий. AD1=√2

Ответ: .

Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0,180) .

Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0,90]

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0

Применение здесь векторно-координатного метода позволяет свести решение исходной задачи к задаче о нахождении угла:

а) между векторами нормалей данных плоскостей

б) между направляющими векторами скрещивающихся прямых a и b, лежащих в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к их линии пересечения

Порядок решения таких задач:

Пусть плоскость ABC задается точками A,B,C , а плоскость KLM точками K,L,M

1. Находим координаты точек A,B,C .

2. Находим уравнение плоскости . Для этого координаты точек A,B,C подставляем в уравнение плоскости ABC : $a_1{x}+b_1{y}+c_1{z}+d_1=0$ . Получем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты a_1,b_1,c_1 .

Коэффициенты a_1,b_1,c_1 в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости ABC : $vec{n_{ABC}}(a_1,b_1,c_1)$

3. Находим координаты точек K,L,M

4. Находим уравнение плоскости . Для этого координаты точек K,L,M подставляем в уравнение плоскости KLM : $a_2{x}+b_2{y}+c_2{z}+d_1=0$

Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты a_2,b_2,c_2 .

Коэффициенты a_2,b_2,c_2 в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости KLM : $vec{n_{KLM}}(a_2,b_2,c_2)$

5. Косинус угла varphi между плоскостями находится по такой формуле:

$cos{varphi}={delim{|}{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{|}}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2}}$

Пример.

Найти угол между плоскостями 2x+3y+6z-5=0 и 4x+4y+2z-7=0

Решение.

Векторы n1={2;3;6} и n2={4;4;2} - векторы нормалей плоскостей 2x+3y+6z-5=0, 4x+4y+2z-7=0 соответственно. Тогда по формуле косинус угла между данными плоскостями равен:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Ответы

1) 3 11) 1:1:1

2) 12)

3) 5 13) 30˚

4) а) б) в) 14)

5) 15)

6) 16)

7) 1 17)

8) 18)

9) 19)

10) 60˚

Список литературы

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ 2013Многогранники:

типы задач и методы их решения

https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/11/04/ispolzovanie-metoda-koordinat-v-prostranstve-dlya
https://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/11mat_1112/geom/g-1112-1104-koordinaty-sait.pdf
Смирнова И.М. Смирнов В.А. Геометрия 10-11 класс: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003

Фокус-покус! Раз, два,три!

Зимняя ночь. Как нарисовать зимний пейзаж гуашью

Новогодняя задача на смекалку. Что подарил Дед Мороз?

Заколдованная буква

Гораздо больше риска в приобретении знаний, чем в покупке съестного