Исследовательская работа "Математические методы в экономике"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5

г. Лермонтов

УЧЕБНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

на тему

ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПАРАМЕТРЫ РЕНТ. ГОДОВАЯ ОБЫЧНАЯ РЕНТА. СОВРЕМЕННОЕ И НАРАЩЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ И ИХ РАСЧЕТ

Выполнил:

Смолянинов Кирилл,

10 класс

Проверил:

Горбаченко В.И.

Лермонтов, 2019

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        3

1. Современная стоимость финансовых рент        5

2. Наращенные суммы финансовых рент        11

3. Ренты пренумерандо        13

Список литературы        14

ВВЕДЕНИЕ

Многие финансовые операции (банковские и коммерческие контракты с погашением долга в рассрочку, инвестиционные проекты и т.п.) предполагают не разовые платежи Р и , а некоторую последовательность платежей – потоки платежей. Потоки платежей могут быть регулярными (через финансовые промежутки времени) и нерегулярными, платежи такого потока могут быть отрицательными (затраты, инвестиции) или положительными (доходы).

Независимо от происхождения и назначения платежи называются финансовой рентой (или просто рентой), если:

  платежи регулярные, т.е. следуют через одинаковые промежутки времени;

  платежи одного знака – только затраты или только доходы.

Параметры финансовых рент:

• период ренты – промежуток времени между двумя последовательными платежами;
• срок ренты – промежуток времени от начала первого периода до конца последнего;
• размер (величина) отдельного платежа;
• ставка процента, по которой делаются начисления процентов;
• способ и частота начисления процентов.

По количеству выплат в году ренты делятся на годовые (выплаты раз в год) и -срочные ( - количество выплат в году).

По количеству начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением  раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов могут совпадать с моментами уплат членов ренты, могут не совпадать. Величина платежа может быть одинакова – постоянная рента или меняться по какому-либо закону – переменная рента.

По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате (например, выплаты в счет погашения кредита). Число членов такой ренты заранее известно. Условная рента – выплаты зависят от наступления случайного события, а поэтому число членов ренты заранее не известно. К таким рентам относятся страховые аннуитеты – различные последовательные платежи в имущественном и личном страховании.

По продолжительности ренты делят на ренты с ограниченным сроком (срок заранее оговаривается) и, следовательно, с конечным числом выплат и вечные ренты, когда срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами.

Если срок ренты начинается сразу после подписания сделки, то говорят о немедленной ренте; если устанавливается некоторый промежуток времени после подписания сделки, в течении которого рента не выплачивается, то говорят об отложенной ренте.

По моменту внесения платежа в пределах установленного периода: если платежи осуществляются в конце периода, то рента называется обыкновенной или постнумерандо. Если в начале периода – то пренумерандо. Пусть контракт предусматривает поквартальное погашение задолжности в конце каждого квартала на протяжении трех лет платежами одинаковой величины. Это означает, что предусматривается постоянная, квартальная, верная, ограниченная (трехлетняя) рента постнумерандо. Если первый период ренты начинается через  лет после подписания контракта – то это отложенная на  лет рента.

Задачи с финансовыми рентами можно разбить на две группы. В одной группе задач необходимо находить современную стоимость всех платежей (членов) ренты с помощью дисконтирования этих платежей, в другой группе задач – типа задачи о создании фонда – платежи поступают на счет в банк, на платежи начисляются проценты и надо найти наращенную на конец ренты сумму.

1. СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

1.1.  Годовая постоянная рента постнумерандо

Платежи одинаковой величины производятся один раз в конце года в течение n лет. Пусть  - размер годового платежа. Необходимо найти современную стоимость на начало ренты этих платежей при ставке дисконтирования (ставке сложных процентов) -  процентов годовых. Обозначим современную стоимость платежей А, тогда дисконтируя первый платеж на один год, второй на два года и т.д., получим

.

Вынесем R за скобки, выражение в скобках – это сумма первых n членов геометрической прогрессии с  и знаменателем прогрессии . Подставляя эти выражения в формулу для суммы геометрической прогрессии

,

получим для А

, где

Величина  называется коэффициентом приведения годовой постоянной ренты постнумерандо.

Если известна современная стоимость А такой ренты, то размер R годового платежа находится по формуле

Пример 1. Кредит 10 тыс. долл. выдан на 5 лет под 10% годовых. Условия погашения: платежи годовые, постоянной величины, в конце года. Найти размер годового платежа.

Платежи в счет погашения долга образуют постоянную годовую ренту постнумерандо, современная стоимость которой находится согласно формуле. Размер долга  равен современной стоимости всех платежей, делаемых в счет погашения долга, т.е.

   или  

, ,

- размер годового платежа.

За пять лет будет выплачено

   из них 10 тыс. долл.  – это выплата основного долга, а 3 тыс. 189 долл. 90 центов – процентные деньги.

Пример 2. Какую сумму надо положить в банк, чтобы иметь возможность в течение 10 лет выплачивать ежегодно (в конце года) сумму 20 тыс. руб., если на вклад начисляются проценты по сложной ставке  годовых?

Пусть: , ,  год., тогда задачу решает основное утверждение: сумма S, которая сегодня положена в банк под  годовых равна современной стоимости будущих всех выплат, т.е.

 или

 тыс. руб.

При  годовых

 тыс. руб.

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом: ренту, обеспечивающую в течение 10 лет ежегодные выплаты в конце года по 20 тыс. руб. и имеющую доходность 8% годовых можно сегодня приобрести за 134 тыс. 202 руб.

1.2. Отложенная на  лет годовая рента постнумерандо

Пусть начало ренты, обеспечивающей выплаты по R ден. ед. в конце года в течение n лет сдвинуто на  лет. Тогда формула дает  ренты на начало ренты. Современную стоимость ренты на момент подписания контракта найдем, дисконтируя А еще на  лет по ставке , т.е.

Пример 3. Найти стоимость отложенной на 2 года ренты предыдущего примера, т.е. с тыс. руб., лет,  годовых. Получаем для стоимости A такой ренты.

 тыс. руб., что естественно, меньше стоимости немедленной ренты. 

1.3. Бессрочная годовая постоянная рента постнумерандо

Современную стоимость бессрочной ренты такого вида найдем, полагая   , тогда

   или  

Ставка процента   - это доходность вложений денег в покупку этой ренты по цене А. Ежегодный платеж   - это процентный ежегодный доход с этой суммы.

Пример 4. Для обеспечения старости решено приобрести пожизненную годовую, бессрочную ренту постнумерандо, обеспечивающую ежегодные выплаты        20 тыс. руб. при доходности этой сделки  годовых стоимость такой ренты согласно формуле равна

Если приобретается отложенная на 5 лет бессрочная рента с такими характеристиками, то ее стоимость на момент подписания контракта, равна

1.4.   Современная стоимость некоторых других рент

Годовая рента с начислением процентов  раз в году по номинальной ставке  процентов годовых

Пусть:  - размер годового платежа, платеж в конце года,  - срок ренты в годах, А – современная стоимость ренты на начало ренты, тогда

,    

Пояснение:  - разовому начислению процентов за год по номинальной ставке , соответствует начисление процентов на платеж один раз в год по ставке сложных процентов , поэтому для получения современной стоимости необходимо произвести замену

.

 - срочная рента

 - ставка сложных процентов. Платежи  раз в году, в течение n лет, дисконтирование платежей проводится по ставке сложных процентов .

Если  - размер годового платежа (равный сумме  одинаковых платежей), что современная стоимость на начало ренты этих платежей А равна

,

 где

Пояснение: для получения формулы  надо сделать замену: , , , .  Действительно, перейдем к дисконтированию с периодом, равным периоду следования платежей, со ставкой дисконтирования . За n лет будет  таких периодов, а размер платежа за период будет .

Рента  - срочная, с дисконтированием по номинальной ставке , при начислении процентов  раз за год.

Пусть  - размер годового платежа,  - срок ренты, тогда современная стоимость А этой ренты на начало ренты находится по формуле

,  где

Если , то

Пример: Кредит 2 тыс. долл. выдан на 2 года под 9% годовых с условием ежемесячной выплаты долга платежами одинаковой величины постнумерандо. Найти сумму месячного платежа в счет погашения долга.

Исходим из того, что современная стоимость этих платежей А равна сумме долга . Если 9% годовых – это ставка сложных процентов,  имеем:

,  годовых ,  года, .

 -  размер месячного платежа. За 2 года будет выплачено 2185,2 долл.: 2 тыс. долл. – основной долг, 185,2 долл. – проценты на долг.

Если 9% годовых понимать как номинальную ставку  и начисление процентов – помесячное, т.е. ,  имеем

 - размер месячного платежа.

2. НАРАЩЕННЫЕ СУММЫ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

2.1. Годовая постоянная рента постнумерандо

На счет в банке в конце каждого года вносится  денежных единиц в течение  лет. На платежи начисляются сложные проценты по ставке  годовых. Необходимо найти наращенную на счете за  лет сумму .

На последний платеж проценты не начисляются, предпоследний платеж необходимо нарастить на год, предыдущий на 2 года и т.д. Первый платеж пролежит на счете n-1 лет, имеем

В квадратных скобках стоит сумма первых n членов геометрической прогрессии с  и . Обозначим эту сумму , имеем, учитывая что

, где  

 - коэффициент наращения годовой постоянной ренты постнумерандо. Если известны , , , то годовой платеж  находится по формуле

Пример. Решено создать через 5 лет целевой фонд в размере 100 тыс. руб. Для этого на счет в банке поступают платежи, образующие годовую постоянную ренту постнумерандо. На платежи начисляются проценты по сложной ставке 20% годовых. Размер годового платежа  находим согласно (99). Имеем:

2.2. Годовая рента с начислением процентов  раз в году по номинальной ставке  годовых

 Платеж один раз в конце года в течение n лет. Проценты начисляются  раз по ставке . Для наращенной суммы этой ренты получаем

,

где  

2.3. Рента  - срочная

На платежи начисляются проценты по сложной ставке  годовых,  - размер годового платежа; соответственно  - размер разового платежа. Для наращеной за  лет суммы этой ренты имеем

,

где

3. РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО

Рента пренумерандо означает, что платежи поступают в начале соответствующего периода. Это приводит к тому, что число периодов начислений процентов на каждый член ренты на один больше чем для ренты постнумерандо, соответственно, число периодов дисконтирования у члена ренты пренумерандо на один меньше, чем у соответствующего члена постнумерандо. Обозначим  и  - современная стоимость и наращенная сумма ренты постнумерандо,  и  - современная стоимость и наращенная сумма ренты пренумерандо.

 Годовая постоянная рента пренумерандо.

  или  , где ;

  или  , где.

Р - срочная рента пренумерандо.

 или , где ;

 или , где .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гущин Д. Д. Встречи с финансовой математикой [Электронный ресурс]: статья / Гущин Д.Д. – СПб.: 2016. – 34 с. – Режим доступа: http://reshuege.ru/
2. Козырев В. М. Основы современной экономики: Учебник / В.М. Козырев. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 544 c. : ил.
3. ЕГЭ 2017. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В.Ященко [и др]. – М.: Экзамен, 2017. – 247 c.
4. Гуринович С.Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием: Пособие / С.Л. Гуринович. – Минск: Новое знание, 2008
5. Вигдорчик Е.В. Элементарная математика в экономике и бизнесе / Е.А. Вигдорчик, Т.М. Нежданова. – М: Вита-Пресс, 1995.
6. Липсиц И.В. Экономика без тайн / И.В.Липсиц. – М.: Омега-Л, 2006. – 656 с.
7. Мицкевич А.А. Экономика в задачах и тестах: Пособие для учителя / А.А. Мицкевич. – М.: Вита-Пресс, 1995. – 320 с.
8. Мицкевич А.А. Сборник заданий по экономике / А.А. Мицкевич. – М.: Вита-Пресс, 1998. – 144 с.
9. Савицкая Е.В. Уроки экономики в школе / М.: Вита Пресс, 2006. – 448 с.
10. Симонов А.С. Некоторые приложения геометрической прогрессии в экономике / А.С. Симонов . – М.: Вита-Пресс, 1999. – 160 с.
11. Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты / А.С. Симонов // Математика в школе. – 1998. - № 4.- с. 13-15.