Проектная работа по теме "Квадратные уравнения".

Опубликовано Давыдова Елена Владимировна вкл 22.06.2019 - 7:58

Автор:

Обучающиеся 10 класса.

Проектная работа выполнена обучающимися 10 класса. Содержит историческую справку.ю способы решения квадратных уравнений и примеры их применения. Будет полезна как при изучении темы, так и в процессе повторения и подготовки к ГИА.

Скачать:

Вложение	Размер
Проектная работа учеников по теме "Квадратные уравнения".	177 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ –

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА с. МЕЧЁТНОЕ

СОВЕТСКОГО РАЙОНА САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Проектная работа по теме: «Решение квадратных уравнений различными способами.»

Работу выполнили : Ученики 10 класса.
Руководитель : Давыдова Е.В.

2018-2019уч. год

Содержание

1.Определение понятия «Квадратное уравнение»……………… 3

2.История квадратных уравнений…………………………………. 4

3.Неполные квадратные уравнения……………………………… 5

4.Способы решений квадратных уравнений
4.1.Разложение левой части уравнения на множители………… 5
4.2.Метод выделения полного квадрата………………………… 5
4.3.Решение квадратных уравнений по формуле………………. 5
4.4.Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета. 7
4.5.Решение уравнений с помощью переброски……………… 8
4.6.Свойства коэффициентов квадратного уравнения…….…… 9

4.7. Геометрический метод ……………………………………… 10

4.8. Неполные квадратные уравнения ………………………….. 12

5.Дидактические материалы……………………………………….. 13
6. Литература………………………………………………………. 14

Определение понятия «Квадратное уравнение».

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.
Числа a.b.c называются коэффициентами квадратного уравнения.
a- называется первым коэффициентом;
b- называется вторым коэффициентом;
c- свободным членом
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ().

Если в квадратном уравнении коэффициенты и не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Например, .

Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение является корнем квадратного уравнения , потому что или — это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

Решить уравнения.

Пример 1. 2x·(x+3)=6x-x2.

Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:

2x2+6x=6x-x2; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x2+6x-6x+x2=0; приводим подобные слагаемые:

3x2=0, отсюда x=0.

Ответ: 0

(Материал предоставила Иванова П.)

История Квадратных уравнений.

        Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
        Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax² = c и ax² + bx = c и привел методы их решения.
        Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения.
        Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры). (Материал подготовила Яковлева Ю.).

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Разложение левой части уравнения на множители.

(Материал предоставила Никулина Д.)

1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.

Ответ: -12; 2.

Метод выделения полного квадрата.

(Материал предоставила Сергеева М.)

Выделение полного квадрата - это такое тождественное преобразование,
при котором заданный трехчлен представляется в виде (a±b)2(суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения).

Пример:
Решить уравнение x² + 14x + 45 = 0
Решение:
Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражение
x²+ 14x + 49 = 0.
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x² + 14x + 45 число 4, чтобы выделить полный квадрат
x² + 14x + 45+4−4 =0

(x² + 14x + 45+4)−4=0

(x² + 14x + 49)−4=0

(x+7)2−4=0
Применим формулу «разность квадратов» a²−b²= (a−b)⋅(a+b)
(x+7)2 − 22=0

( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0

( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0

x + 5 = 0, x + 9 = 0

x1 = – 5, x2 = – 9 Ответ: –9;–5.

Решение квадратных уравнений по формуле.

(Материал предоставил Чжен Д.)

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Важно знать: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

x2 − 8x + 12 = 0;
5x2 + 3x + 7 = 0;
x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

x2 − 2x − 3 = 0;
15 − 2x − x2 = 0;
x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Решение простого квадратного уравнения

Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

                                (Материал предоставил Сисекенов С.)

        Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

        Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения. Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.
        Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что
x1 + x2 = -p

x1 * x2 = q

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения x2 + px + q = 0
При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1 и x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1 + x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).

II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

1). x2 -7x + 12 = 0
Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.
Ответ: 3; 4.

2). х2 + 10x + 16 = 0

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма

-p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Ответ: -8; -2.

3)x2 - 2x - 15 = 0

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то большее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

Ответ: -3; 5.

4) x2 + 5x - 36 = 0

q= -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, большее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Ответ: -9; 4.

Решение квадратных уравнений способом переброски.
(МАТЕРИАЛ ПРЕДОСТАВИЛА ЯНЮШКИНА П.)

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2 х2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = и х1 = . При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Примеры :

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11y +30 = 0.

Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5;3.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения
(Материал предоставил Денисов Д..)

Свойство 1
Дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то
x1 = 1, x2 = c/a

Свойство 2
Дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a

Пример:
341x² + 290x - 51 = 0
Решение:
Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.
Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию
свойства 2
341 - 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы
можем воспользоваться свойством 2.
x1 = -1 и х2 = 51/341
Ответ: -1; 51/341.
Свойство 3
Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0. Коэффициент b представлен в виде 2k, т.е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде
D = (b/2)2 + a*c

Пример:
3x² + 2,2x - 0,16 = 0
Решение:
Коэффициент b = 2,2
D = 1,12 + 3 * (-0,16) = 1,69
x1.2= (-1,1 ± 1,3)/3

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида
ax²+bx+c=0, ax²+bx+c=0,
где x — неизвестное, a, b,c — коэффициенты.
Выражение ax²+bx+c называют квадратным трёхчленом.
Корень — это значение переменной x, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.
Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия.
a называют первым или старшим коэффициентом,
b называют вторым, средним или коэффициентом при x,
c называют свободным членом.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a.

x²+px+q=0,
Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Геометрический способ решения квадратных уравнений.
(Материал предоставил Платонова К)

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

* Примеры.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис. 15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4* 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25* 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у - 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где

у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис. 16).

3) Решить геометрически уравнение у2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем у2 - 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у2 - 6у равным ему числом 16, получаем: (у - 3)2 = 16 + 9, т.е.

у - 3 = ±

или у - 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = - 2.

Неполные квадратные уравнения.

(Материал предоставила Иванова П.)

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.
1)Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0. Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
2)Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0). Если знаки a и c — разные, уравнение имеет два корня.
3)Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0. Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

$1){x^2} - 49 = 0$