Теория вероятности

Слайд 1

Слайд 2

Сущность и основные понятия теории вероятности Испытание – это совокупность условий и действий, при которых получен или может быть получен тот или иной результат (это действие, которое может повторяться при неизменных условиях любое число раз). Событие - это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Комплекс условий – это совокупность условий, при которых повторяется испытание.

Слайд 3

Частота случайного события - это отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие к общему числу испытаний. где p – частота появления события А, n A – число испытаний, в которых наступило событие А; n – число проведенных испытаний Вероятность события - это численная мера степени объективной возможности этого события. где Р(А) – вероятность наступления события А, m – число случаев, благоприятствующих появлению события А; n – число всех равновозможных случаев, образующих полную группу событий

Слайд 4

Полная группа событий События в опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Слайд 5

Основные теоремы теории вероятности Аксиома 1. Вероятность невозможного события равна нулю (Р(А) = 0). Аксиома 2. (условие нормировки) Вероятность достоверного события равна единице (Р(В) = 1). Аксиома 3. (свойство позитивности) Вероятность случайного события – неотрицательная величина. Т е. заключена в пределах от нуля до единицы (0 < P(C) < 1). Аксиома 4. (правило сложения вероятностей) Если случайные события попарно несовместные, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Слайд 6

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Слайд 7

Теорема сложения вероятностей . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(А + B) = P(A) + P(B). Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде : Пример: Склад боеприпасов состоит из трёх объектов (хранилищ). Самолёт, атакующий склад боеприпасов, выпускает по цели ракету, которая с вероятностью p =0,20 попадает в хранилище № 1, с вероятностью p =0,30- в хранилище № 2, с вероятностью p =0,15 - в хранилище № 3. Склад уничтожается, если ракета попадает в какое-либо хранилище. Какова вероятность уничтожения боеприпасов? Решение – Пусть А – поражение цели, А i - попадание ракеты в i – хранилище, i = 1, 2, 3. Тогда P(A) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) = 0,20 + 0,30 + 0,15 = 0,65

Слайд 8

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Очевидно, при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать и в таком виде: P(АВ) = P(A)P(B/А) Пример: По объекту производят пуск двух ракет, вероятности попадания которых равны соответственно 0,8 и 0,9. Предполагая попадания ракет независимыми событиями, найти вероятность уничтожения объекта, если известно, что для этого требуются два попадания. Решение – Пусть события А и В – попадания первой и второй ракеты в объект. Согласно условию, это – независимые случайные события. Так как объект будет уничтожен лишь в том случае, когда в объект попадут обе ракеты – и первая, и вторая, то уничтожение объекта есть событие АВ и Р(АВ) = Р(А)Р(В) =0,8 * 0,9 = 0,72 .

Слайд 9

Применение теории вероятности в наши дни Сегодня теория вероятностей применяется во всех современных естественных науках. На основе теории вероятностей построены научные теории статистической физики, квантовой механики, теории эволюции, генетики, теории информации, исследования операций и др. На языке теории вероятностей формулируются существенные, объективные связи, изучаемые в научных теориях. Вероятностно-статистические методы играют важную роль в практической деятельности – это контроль качества продукции, техническая диагностика оборудования, технология производства, обеспечения надежности оборудования, организация массового обслуживания, военное дело (стрельба, бомбометание, тактика, теория боеприпасов), получение достоверных результатов измерений, астрономические наблюдения и многое другое.