Ряд Фибоначчи

Опубликовано Сукова Надежда Иларьевна вкл 28.03.2019 - 21:35

Автор:

Короткий Андрей

В работе представлен материал о числах Фибоначчи и их применении

Скачать:

Вложение	Размер
Проектная работа о числах Фибоначчи	1002.42 КБ

Предварительный просмотр:

Учебно-исследовательская конференция

«Науки юношей питают»

Направление – математика

Ряд Фибоначчи

Работу выполнил:

Короткий Андрей Витальевич,

ученик 8 «А» класса

МБОУ «Гимназия № 6»

Научный руководитель:

Сукова Надежда Иларьевна,

учитель математики

МБОУ «Гимназия №6

г. Архангельск

2019

Оглавление

Введение ………………………………………...…………………...…………………..….. 3

Глава 1. Историческая справка ……………………………...……………..……..…….…. 4

Глава 2. Что же такое ряд Фибоначчи? ................................................................................... 4

- 2.1. Свойства последовательности Фибоначчи………………………………………….. 4

Глава 3. Связь последовательности Фибоначчи и золотого сечения …...………………. 5

Глава 4. Ряд Фибоначчи в разных сферах жизни ………………………………………… 5

- 4.1. Архитектура……………………………………………………...……………………. 5

- 4.2. Литература…………………………………………………………………………….. 6

- 4.3. Филлотаксис………………………………………………...………………………… 6

- 4.4. Платоновы тела и ряд Фибоначчи…………………………………………………... 6

- 4.5. Ряд Фибоначчи и Бином Ньютона……………………...…………………………… 6

- 4.6. Обход по кресту………………………………………………………………………. 7

- 4.7. Ряд Фибоначчи и бинарный ряд……………………………………………………… 7

- 4.8. Векторный ряд Фибоначчи…………………………………………………………… 7

- 4.9. Рычажные весы………………………………………………………………………… 7

- 4.10. Циклы ряда Фибоначчи……………………………………………………………… 7

- 4.11. Космос………………………………………………………………………………… 7

- 4.12. Тело человека и золотое сечение……………………………………………………. 8

Заключение..............................................................……………...……………………………. 8

Список литературы……………………...……………………...……………………………. 9

Интернет-источники ………………...…………………..……...……………………………. 9

Приложение № 1 ……………………………………………………………………….. ……..10

Введение

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества.

Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… Суть последовательности Леонардо заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих. Эта последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые числами Фибоначчи, и это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Цель исследования: определение математических пропорций и изучение областей их применения, проявления.

Задачи исследования:

Познакомится с происхождением ряда Фибоначчи
Показать многообразие ряда Фибоначчи
Провести собственный опыт исследования

Предмет исследования: математические пропорции

Объект исследования: числа Фибоначчи

Проблема исследования: поиск сведений о числах Фибоначчи

Методы исследования:

Анализ учебной, справочной, специальной литературы и интернет-ресурса
Обобщение данных

Глава 1. Историческая справка

Одним из основателей современной европейской математики считается Леонардо Пизанский(Leonardo Pisano; около 1170 – около 1250) по прозвищу Фибоначчи. О жизни Фибоначчи известно не много. Итальянский математик. Родился в Пизе, стал первым великим математиком Европы позднего Средневековья. Он издавал свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков он узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и убедился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Глава 2. Что же такое ряд Фибоначчи?

Числа Фибоначчи – числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Числовой ряд, носящий сегодня его имя, вырос из проблемы с кроликами, которую Фибоначчи изложил в своей книге «Liber abacci», написанной в 1202 году. Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной.

Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару? Можете убедиться, что число пар в каждом из двенадцати последующих месяцев будет соответственно 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.

Иными словами, число пар кроликов создает ряд, каждый член в котором — сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа — числа Фибоначчи.

1 + 1= 2 5 + 8 = 13
2 + 3 = 5 8+ 13= 21
3 + 5 = 8 13 + 21 = 34

21 + 34 = 55 …..

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...

2.1. Свойства последовательности Фибоначчи

Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличению порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618).

13:21=0,619…

21:34=0,618…

При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.

55:144=0,382…

144:55=2,618…

Подбирая, таким образом, соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

Ещё интересное свойство числа Фибоначчи является, что произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

Глава 3. Связь последовательности Фибоначчи и золотого сечения

Природа решает задачу с двух сторон и складывает полученные результаты. Когда получает в сумме 1, то делает переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных операций и для порождения золотого сечения пользуется другим рядом – рядом Фибоначчи.

Отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого сечения. 13:8 ≈ 1,625 21:13 ≈1,615 34:21 ≈1,619 55:34 ≈1,618 89:55 ≈1,618 Коэффициент приблизительно равный 1,618 , известен как золотое сечение.

Глава 4. Ряд Фибоначчи в разных сферах жизни

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний.

Пpиводимые ниже примеры показывают присутствие этой математической последовательности в разных сферах жизни и еще раз доказывают связь с Золотым сечением.

4.1. Архитектура

В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция, соблюденная в архитектурных сооружениях, больше всего радует глаз. Таким примером является Часовня Темпьетто в Риме, Парфенон в Афинах, Собор Парижской Богоматери в Париже.

4.2. Литература

Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения, например, стихотворение А.С. Пушкина «Сапожник»:

Картину раз высматривал сапожник

И в обуви ошибку указал;

Взяв тотчас кисть, исправился художник.

Вот, подбочась, сапожник продолжал:

«Мне кажется, лицо немного криво...

А эта грудь не слишком ли нага?»...

Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

«Суди, дружок, не свыше сапога!»

Есть у меня приятель на примете:

Не ведаю, в каком бы он предмете

Был знатоком, хоть строг он на словах,

Но черт его несет судить о свете:

Попробуй он судить о сапогах!

Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая(мораль притчи) в 5 строк (13, 8 ,5 - числа Фибоначчи).

4.3. Филлотаксис

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены даже явления природы, в которых эта последовательность, похоже, играет немаловажную роль. Одно из них — филлотаксис (листорасположение) — правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против.

И каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.

4.4. Платоновы тела и ряд Фибоначчи

Существует всего пять уникальных форм, имеющих первостепенное значение. Они называются Платановыми телами. Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики:

1) Все грани такого тела равны по размеру.

2) Ребра Платонова тела — одной длины.

3) Внутренние углы между его смежными гранями равны.

4) Будучи вписанным в сферу, Платоново тело каждой своей вершиной касается поверхности этой сферы.

4.5. Ряд Фибоначчи и Бином Ньютона

Посмотрев на рисунок, мы видим, что производящие функции этих рядов еще и тесно взаимосвязаны с биномом Ньютона(1-X).

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...(1 строка)

12, 20, .....(2 строка)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…(3 строка)

Первая строка отражает "нормальный" алгоритм формирования ряда Фибоначчи.

Вторая строка начинается с икосаэдра, в котором 13 вершина оказалась центром структуры, отражая свойства ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА. Аналогичный ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ имеется и у додекаэдра.

Эти два кристалла порождают новое измерение – нормированную монаду "икосаэдр-додекаэдр", которая и начинает формировать новый виток ряда Фибоначчи (третья строка).

4.6. Обход по кресту

На рисунке видна многоуровневость и многомерность ряда Фибоначчи.

Каждый член ряда Фибоначчи способен к формированию и формирует, по образу и подобию, собственный ряд Фибоначчи.

4.7. Ряд Фибоначчи и бинарный ряд

Единство ряда Фибоначчи и бинарного ряда является неоспоримым фактом.

Периодическая система химических элементов, бинарный ряд, ряд Фибоначчи и золотое сечение оказываются тесно взаимосвязанными.

4.8. Векторный ряд Фибоначчи

Матрица 8х8, на главной диагонали стоит «белый свет». При переходе в новое измерение он порождает в нем дополнительную пару цветов, используя многомерные рычажные весы. В результате мерность результирующей матрицы радуги изменяется в соответствии с числами ряда Фибоначчи. Данная информация свидетельствует о том, что множество периодически повторяющихся случайностей, совпадений, мистификаций и т.д., сливаясь в единый поток, с неизбежностью приводят к выводу о существовании периодической закономерности.

4.9. Рычажные весы

Формируют и самую фундаментальную Периодическую систему физического мира – Периодическую систему химических элементов.

4.10. Циклы ряда Фибоначчи

"Циклы Фибоначчи" – это вертикальные линии, отстоящие друг от друга на временные интервалы.

Ряд Фибоначчи является направлением в теории кодирования информации.

4.11. Космос

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и

Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в.

4.12. Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски исходя из соотношения золотого сечения.

Леонардо Да Винчи создавал свои шедевры досконально изучив параметры человеческого тела и используя формулу золотой пропорции.

Друнвало Мелхиседек в книге "Древняя тайна Цветка Жизни" пишет: «Да Винчи вычислил, что, если нарисовать квадрат вокруг тела, потом провести диагональ от ступней до кончиков вытянутых пальцев, а затем провести параллельную горизонтальную линию (вторую из этих параллельных линий) от пупка к стороне квадрата, то эта горизонтальная линия пересечет диагональ точь-в-точь в пропорции «фи», как и вертикальную линию от головы до ступней. Если считать, что пупок находится в той совершенной точке, а не слегка выше для женщин или чуть ниже для мужчин, то это означает, что тело человека поделено в пропорции «фи» от макушки до ступней.

Заключение

В работе рассмотрена лишь малая часть области применения чисел Фибоначчи и их свойств. Не смотря на простоту данного ряда чисел, есть множество свойств, приводящих к интересным математическим фактам. Существует даже теория, что спираль, построенная с помощью чисел Фибоначчи – это «Печать Творца».

При выполнении работы я убедился, что природа сама творит красоту по законам математики. Одним словом, в данной теме еще многое не исследовано, и, кто знает, где еще скрываются числа Фибоначчи.