Правильные многогранники

Содержание

1. Введение _______________________________________________________стр. 2                                                                                      
2. Основное содержание_____________________________________________стр.3

1. Платоновы тела______________________________________________стр.3-5
2. Космология Платона_________________________________________стр. 6-7
3. Многогранники в природе, искусстве и архитектуре_______________стр. 7-8

3. Заключение______________________________________________________стр. 9
4. Список литературы_______________________________________________стр.10

1. Введение

По элективному курсу «Наглядная геометрия» нами была пройдена тема «Многогранники». Особый интерес к этой теме проявился после введения понятия правильные многогранники: откуда произошло такое название, как они устроены, где встречаются…

Цель исследования: познакомиться с миром правильных многогранников

Задачи исследования:

• рассмотреть виды и строение правильных многогранников;
• построить 5 платоновых тел;
• построить простейшие звездчатые многогранники октаэдра и икосаэдра;
• рассмотреть многогранники в природе и архитектуре и искусстве.

2. Основное содержание

Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

        Есть выпуклые и невыпуклые, правильные и неправильные многогранники. Мы обратим внимание на правильные, а значит выпуклые, тела.                                                Что такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Существует только пять выпуклых правильных многогранников, причём их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники). В «Началах Евклида» дано строгое тому доказательство.

1. Платоновы тела

Эти многогранники принято называть Платоновыми телами (Рис. 1), названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал их в своей космологии [5].

Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр (Рис. 2). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (Рис. 3). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр.

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате при дальнейшем соединении треугольников получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (Рис. 4).

Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (Рис. 5).

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (Рис.6).

        Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

        Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен — ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Числовые характеристики Платоновых тел

2. Космология Платона

        Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

        Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр — Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб — Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр — Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.

        Таким образом, представление о «сквозной» гармонии бытия древние греки связывали с ее воплощением в Платоновых телах [5].

3. Многогранники в природе, искусстве и архитектуре

 Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

 Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр [1].

В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений, что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим геометрическим фигурам, которые рассматривал еще Евклид в «Началах» с математической точки зрения, а Платон в своих диалогах — с космологической точки зрения. С другой стороны, с распространением математической перспективы впервые стало возможным «увидеть» эти фигуры на рисунках, и они стали изучаться более подробно.

Флорентийский художник Паоло Уччелло (1397—1475) интересовался новыми законами перспективы, а также изобразил приближенные представления различных тел в виде совокупностей многогранников. На ниже представлен звездчатый многогранник, выполненный из мрамора для венецианского собора Святого Марка, предположительно созданный Уччелло [2].

Многогранники в архитектуре [4]

Галикарнасский мавзолей

Лучшие архитекторы того времени построили мавзолей в виде почти квадратного здания, первый этаж которого был собственно усыпальницей. Снаружи эта громадная погребальная камера, площадью 5000 кв. метров и высотой около 20 метров, была обложена отесанными и отполиро-ванными плитами белого мрамора. Во втором этаже, окруженном колоннадой, хранились жертвоприношения, крышей же мавзолея служила пирамида.

Египетские пирамиды

Они словно вырастают из песков пустыни - колоссальные, величествен-ные, подавляющие человека необычайными размерами и строгостью очертаний. Стоя у подножия пирамиды, трудно себе представить, что эти огромные каменные горы созданы руками людей. А между тем они были действительно сложены из отдельных каменных глыб, как в наше время дети складывают пирамиды из кубиков.

Храм Артемиды Эфесской

Храм достигал 109 метров в длину, 50 - в ширину. 127 двадцатиметровых колонн окружали его в два ряда, причем часть колонн были резными и барельефы на них выполнял знаменитый скульптор Скопас. Основание крыши – мраморная плита.

Башня Сююмбике. Башня Сююмбике находится в Казани и состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды а верхние - многогранники.

Мечеть Кул-Шариф

Одна из главных мусульманских мечетей республики Татарстан и Казани. Расположена на территории Казанского кремля. Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников.

3. Заключение

В результате работы мы познакомились с интереснейшим, красивейшим, загадочным миров многогранников. Подробно рассмотрели правильные многогранники, выявили их связь с природой. Выполнили модели Платоновых тел и простейшие звездчатые модели октаэдра и икосаэдра. Цель работы достигнута и задачи выполнены.

Можно, конечно, спросить: «Какая от них польза?» Мы развили свой кругозор, развили чертежные навыки, которые нам пригодятся в будущем. И в очередной раз убедились, что математика – наука, вовсе не оторванная от реального мира.

Для себя после завершения данной работы поставил цель, в будущем более подробно рассмотреть данную тему и построить другие звездчатые формы икосаэдра. Потому что это не просто красиво, но и очень интересно.

4. Список литературы

1. Интернет-ресурс URL адрес: http://w2.miwzua.com/PolyHedRon/Priroda.htm
2. Интернет-ресурс URL адрес: http://geometry-and-art.ru/mnogogr_in_art.html
3. Интернет-ресурс URL адрес:

http://freemath.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/matematika_v_zhizni/mnogogranniki_v_arkhitekture/15-1-0-166

4. Интернет-ресурс URL адрес: https://sites.google.com/site/spbsh129/3-a-naucno-prakticeskaa-konferencia/mnogogranniki-v-arhitekture
5. Интернет-ресурс URL адрес: http://www.goldensectionclub.net/personalities/platon