Республиканская Х научно-практическая конференция школьников

по общественным дисциплинам «Моя страна – моя Россия»

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №21

с. Семеновка г. Йошкар-Олы»

Секция: «Через тернии к звездам»

Исследовательская работа

Старославянская система счисления

Работу выполнил:

Репин Андрей Сергеевич,

учащийся 6 класса

МОУ «Оршинская основная общеобразовательная школа им. ак. Ожиганова Л.И.»

Научный руководитель:

Ведерников Денис Ярославович,

учитель математики и информатики

МОУ «Оршинская основная общеобразовательная школа им. ак. Ожиганова Л.И.»

Йошкар-Ола

2019

Содержание

Введение        3

Глава 1. Системы счисления        4

1.1.  Число и цифра        4

1.2. Система счисления, группы систем счисления        5

Глава 2. Старославянская система счисления        7

2.1. Математика в Древней Руси        7

2.2. Особенности буквенного обозначения цифр        7

2.3. Изготовление брошюры по теме «Старославянская система счисления»        9

Заключение        11

Список использованных источников        13

Приложение……………………………………………………...………………….14

Введение

Математика – точная наука, которая оперирует различными числами. Числа имеют цифровое обозначение.

Актуальность работы. Нашу жизнь невозможно представить без чисел. Числа и цифры окружают нас повсюду: на часах, на мобильных устройствах, на компьютере, в магазине, в книгах, газетах и журналах, в телевизоре. Для вычислений мы пользуемся цифровыми обозначениями. В математике применяют арабские цифры. Как получилось так, что мы, русские, стали пользоваться именно этими цифрами? Была ли у древних славян своя система счисления? В этой работе мы попытаемся найти ответы на эти вопросы.

Объектом исследования является старославянская система счисления.

Предмет работы составляют цифровые обозначения чисел на Руси.

Цель исследования – выяснить особенности старославянской системы счисления.

Для достижения обозначенной цели необходимо решить следующие задачи:

1. изучить литературу и источники по данной проблеме;
2. дать определение понятий «цифра», «число», «система счисления», «виды систем счисления»;
3. охарактеризовать особенности старославянской системы счисления;
4. составить дидактический материал по теме.

Практическая значимость работы заключается в составлении брошюры, которая будет включать в себя занимательные задачи и примеры, основанные на старославянской системе счисления. Это пособие может быть использовано школьниками и учителями на факультативных занятиях, внеклассных мероприятиях.

Глава 1. Системы счисления

1.1.  Число и цифра

Математика есть наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Основным средством при установлении и изучении количественных отношений действительного мира является число. Оно нужно человеку для количественного сравнения между собой двух множеств или совокупностей предметов.

Над числами устанавливаются и производятся человеком необходимые для решения практических задач действия: сложение, вычитание, умножение, деление. [2; 19]

В те далекие времена, когда люди едва научились говорить и пользоваться огнем, они знали только два числа: один и два. Если пересчитываемых предметов было больше двух, то люди говорили просто «много». Постепенно к первым двум числам прибавлялись новые и новые. Люди научились считать до пяти и соединять два «пятка» в десяток. Этому помогали руки человека. Потом человек научился соединять пятки в пары и считать десятками. [1; 4-6]

Перед людьми, освоившими натуральный ряд чисел до некоторой достаточно далекой границы, встала необходимость создания удобных способов называния и записи чисел. [2; 26]

Сначала появились особые названия для чисел – сначала для небольших, а потом для все больших и больших. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их. [7; 332] Обозначение чисел при помощи цифр называется нумерацией (от лат. numerus – число).

Цифры – это условные знаки для обозначения чисел. Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее – черточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей черточек.

В Древнем Египте около 5000 лет назад числа обозначали иероглифами. Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Ефрата в период от II тысячелетия до н э до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин и лежащий клин.

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, обозначали цифры при помощи точек и горизонтальных линий.

В Древней Греции цифры обозначались буквами греческого алфавита. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Сходная система обозначения чисел применялась и в Древней Руси, культура которой была тесно связана с греческой культурой Византии. [8; 326-328]

Таким, образом, число и цифра – два разных понятия, которые следует различать. Число – это основное понятие математики величина, при помощи которой производится счёт. А под цифрой следует понимать знак, обозначающий число. [6] 

1.2. Система счисления, группы систем счисления

Системы счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Начиная с  эпохи палеолита люди стремились группировать точки, полосы и насечки по 3,4,5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В древности чаще всего считали на пальцах, и поэтому предметы стали группировать по 5 или по 10. В дальнейшем десяток десятков и десяток сотен получили свои названия. Для удобства записи такие узловые числа стали обозначать особыми знаками. Если при пересчет оказывалось 2 сотни 7 десятков и еще 4 предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз – знак для десятка и четыре раза – знак для единицы. Знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи друг на друга. При такой записи значение записанного числа не зависело от порядка расположения. Подобные системы счисления стали называть непозиционными. К ним относятся системы счисления у древних египтян, греков и римлян. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. [7; 274-275]

Кроме непозиционных существуют позиционные системы счисления. Их особенность заключается в том, что для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен и тысяч используются одни и те же символы, стоящих в конкретных разрядах. У каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, то ее помечают специальным знаком – нулём. [8; 19]

У древних вавилонян система счисления вначале была непозиционной, но впоследствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи знаков, и перешли к позиционной системе счисления. В настоящее время мы используем десятеричную систему счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении ее на одно место. У вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз. Такую систему счисления называют шестидесятеричной. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Таким образом, системы счисления бывают позиционными и непозиционными. К позиционным относятся вавилонская, индийская системы, система племен майя и ацтеков. Выделяют также двоичные, троичные, восьмеричные, двенадцатеричные, шестнадцатеричные, сорокаичные системы.

Непозиционные системы счисления представлены системами древних египтян, греков, римлян и славян.

Глава 2. Старославянская система счисления

2.1. Математика в Древней Руси

Предки русского народа – славяне – с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В X веке нашего летоисчисления у славян появилась письменность. С этого времени начинается «писаная» история Древней Руси.

У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была жизнь, практика. Постепенно рождались и накапливались навыки счета, правила измерения. В первом тысячелетии у славян появилась денежная единица – рубль, название которой сохранилось и до наших дней. Слово «рубль» происходит от глагола «рубить». Первые рубли, по всей вероятности, были просто кусочками металла, которые отрубали от полосы серебра и меди. Для того чтобы разрубить металлическую полосу на равные части, нужно было знать простейшие дроби, уметь складывать и вычитать числа. При измерении полей славяне употребляли и более сложные дроби. В раскопках славянских селений ученые находили изображения циркуля. Значит, древним славянам были известны некоторые свойства окружности. [3]

2.2. Особенности буквенного обозначения цифр

Среди систем счисления у многих народов применялись такие, в которых числа изображались буквами алфавита. К ним относятся римская и греческая системы.

К греческой буквенной нумерации восходит и древнерусская нумерация. Она использует 27 букв.

В отличие от римской славянская нумерация пользовалась не заглавными, а строчными буквами. Над буквами, изображающими числа, ставился особый значок – титло. Этот значок употреблялся и в обычном письме для сокращения слов.

Числа одиннадцать, двенадцать и другие двузначные числа записывались с помощью двух букв.  Титло ставилось только над одной буквой. Порядок цифр в числе был такой же, как в его названии. Например, если надо было написать слово «пятнадцать», сначала писали «пять», потом «десять». А например, в числе «двадцать три» мы сначала называем десятки, потом единицы, у наших предков это отражалось и в письме. Место цифры, её положение в числе не имело значения. У нас же теперь одна и та же цифра, в зависимости от её положения, может обозначать разные числа.

Специальный знак был для обозначения тысячи. С помощью повторения этого знака можно было записать значительно большие числа.

Десять веков назад на Руси не знали еще чисел, больше чем тысяча. Названия чисел были тогда почти такие же, как и у нас, только произносились немного иначе. Число «один» называлось «един»; число 20 – «двадесять»; 1000 – «тысяща». Слово «единый» до сих пор осталось в нашем языке. [1; 12-13]

Числа 1000, 2000 и т.д. записывали теми же буквами, что 1,2,…, но слева внизу ставили опознавательный знак тысяч.

Десятки тысяч также отмечались первыми буквами алфавита, но уже без титла, и буквы обводились кружком.

Сотни тысяч изображались похожим образом, но кружок складывали из точек.

Наконец, миллионы отмечались кружочком из черточек.

Числа, которые обозначались буквами в кружочках, точках и черточках, имели специальные названия: «тьма», «легион», «леодр».

Описанная нумерация получила название «малое число». В ней отчётливо прослеживаются зачатки позиционной системы, поскольку для обозначения разрядов применяются одни и те же символы.

В одной из славянских рукописей XVII века упоминается и другая система – «большое число» или «великое число». [8; 16]

В этих рукописях десять тысяч называется не «тьмою», а десятком тысяч. Слово же «тьма» обозначает тысячу тысяч, т.е. миллион. Кроме того, появляются и следующие наименования: «тьма тем» или «легион» (т.е. миллион миллионов, или триллион), «легион легионов» или «леодр», и, наконец, «леодр леодров» или «ворон».

В одной рукописи упоминается еще «колода», равная десяти воронам, и при этом замечается, что «сего числа несть больше». [1; 12-13]

Славянская нумерация употреблялась в России до XVIII века, после этого только в церковных книгах. [2; 56]

Вместе с реформами Петра I в Россию из Европы пришла позиционная десятичная система счисления, которой мы пользуемся и сейчас. [8; 16]

2.3. Изготовление брошюры по теме «Старославянская система счисления»

Изучив особенности старославянской системы счисления, мы решили изготовить брошюру, которая содержала бы задания по написанию старославянских цифр и различные примеры для вычислений с этими цифрами.

Наша работа состояла из нескольких этапов:

1. проектирование наполняемости брошюры;
2. разработка примеров и задач;
3. замена арабских цифр на старославянские;
4. создание брошюры.

Результатом работы стало пособие, которое содержит в себе несколько разделов:

1. таблицы соответствия старославянских цифр и арабских;
2. прописи для упражнения в написании старославянских цифр;
3. примеры на различные арифметические действия;
4. задачи на проценты и на движение.

Цель нашего пособия: ознакомление учащихся со старославянской системой счисления; совершенствование написания старославянских цифр; умение применять полученные знания на практике путем решения примеров и задач.

Заключение

Наша работа была посвящена исследованию особенностей старославянской системы счисления.

Для этого мы изучили литературу по нашей теме. Выяснили, что число и цифра – два разных понятия, которые следует различать. Число – это основное понятие математики величина, при помощи которой производится счёт. А под цифрой следует понимать знак, обозначающий число.

Системы счисления – это способы записи чисел. Существуют непозиционные и позиционные системы счисления. Особенность позиционных систем счисления заключается в том, что для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен и тысяч используются одни и те же символы, стоящих в конкретных разрядах. У каждого разряда есть своя позиция. К позиционным относятся вавилонская, индийская системы, система племен майя и ацтеков. Выделяют также двоичные, троичные, восьмеричные, двенадцатеричные, шестнадцатеричные, сорокаичные системы.

В непозиционных системах значение записанного числа не зависит от порядка расположения. Непозиционные системы счисления представлены системами древних египтян, греков, римлян и славян.

Славянская система является разновидностью алфавитных систем. Для записи чисел используются буквы славянского алфавита, над которыми ставился специальный знак «титло». Порядок цифр в числе был такой же, как в его названии. У славян были такие названия чисел как «тьма», «легион», «леодр», «колода». Здесь начинают прослеживаться зачатки позиционной системы счисления.

Старославянская система счисления просуществовала до XVII века, потом, благодаря реформам Петра I,  была заменена на позиционную десятичную систему.

Нами было разработано пособие [Приложение А], которое содержит в себе несколько разделов:

1. таблицы соответствия старославянских цифр и арабских;
2. прописи для упражнения в написании старославянских цифр;
3. примеры на различные арифметические действия;
4. задачи на проценты и на движение.

Цель нашего пособия: ознакомление учащихся со старославянской системой счисления; совершенствование написания старославянских цифр; умение применять полученные знания на практике путем решения примеров и задач.

Таким образом, цель нашего исследования достигнута, все поставленные перед нами задачи были решены.

Список использованных источников

1. Берман, Г.Н. Счёт и число (Как люди учились считать). – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
2. Депман, И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. – М.: Издательство «Просвещение», 1965. – С. 55-57.
3. Депман И.Я. Мир чисел: Рассказы о математике / Рис. Ю. Киселева. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – Л.: Дет.лит., 1982. – 71 c.
4. Депман, И.Я., Виленкин, И.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287с.
5. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3 томах. Том 1. С древнейших времен до начала нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Издательство «Наука», 1970. – С. 252-254.
6. Ожегов, С.И., Шведова, Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80000 слов и фразеологических выражений / Российская академия наук. Институт русского языка им. В.В.Виноградова. – 4-е изд., дополненное. – М.: ООО «А ТЕМП», 2013. – 874с.
7. Энциклопедический словарь юного математика. / Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352с.
8. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика. / Глав. ред. М.Д. Аксёнова; метод. и отв. ред. В.А. Володин. – М.: Аванта+, 2003. – 688с.
9. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. ред. О.Г. Хинн; Худож. А.В. Кардашук, А.Е. Шабельник, А.О. Хоменко. – М.: ООО «Издательство АСТ-ЛТД», 1998. – 480с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Брошюра «Старославянская система счисления»